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固體準晶彈性的物理基礎建立以后，有一個發展 方向同經典彈性的發展道路相類似，即同數學物理建 立密切關系，只有依據強有力的數學物理，才能把前 述物理思想和物理理論轉化成偏微分方程，按照理論 和應用的需要，把物理問題轉換成偏微分方程的邊值 問題或初值一邊值問題，討論問題的適定性和可解性 ，并且用解析方法（尤其是復分析）和數值方法，得 到數學解，才能為科學和工程服務。范天佑編著的《 固體與軟物質準晶數學彈性與相關理論及應用》的工 作主要限于這一討論。
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準晶中的聲子和相位子就是量子化的產物，它們雖然不能等同于單個原子和單個分子，但是屬于Landau對大量原子集體激發的量子力學描述的“準粒子”。而對稱性和相位對準晶的重要性就更明顯了。Anderson把Landau理論用于晶體，從序參量的相位定義了聲子。Bak等發展了Landau一Anderson的理論，把序參量的相位推廣到高維空間，因而定義了相位子。準晶與晶體的不同，準晶內不同晶系的區別，都是由對稱性來區分的。這些事例說明準晶及其彈性屬于現代物理學的主旋律領域。雖然范天佑編著的《固體與軟物質準晶數學彈性與相關理論及應用》并不進一步討論準晶物理學，但是認識以上物理思想，對我們會有幫助。
目次
第1章 晶體
1.1 晶體結構的周期性，晶胞（元胞）
1.2 三維晶格的種類
1.3 對稱性和點群
1.4 倒格子
1.5第一章附錄若干基本概念
參考文獻
第2章 經典彈性理論的框架
2.1 一些基本概念復習
2.2 彈性理論的基本假定
2.3 位移與變形
2.4 應力分析和運動方程
2.5 廣義Hooke定律
2.6 彈性動力學，波動
2.7 小結 第1章 晶體
1.1 晶體結構的周期性，晶胞（元胞）
1.2 三維晶格的種類
1.3 對稱性和點群
1.4 倒格子
1.5第一章附錄若干基本概念
參考文獻
第2章 經典彈性理論的框架
2.1 一些基本概念復習
2.2 彈性理論的基本假定
2.3 位移與變形
2.4 應力分析和運動方程
2.5 廣義Hooke定律
2.6 彈性動力學，波動
2.7 小結
參考文獻
第3章 準晶及其性質
3.1 準晶的發現
3.2 準晶的結構與對稱性
3.3 準晶物理性能的簡單介紹
3.4 一維、二維和三維準晶
3.5 二維準晶和平面準晶
參考文獻
第4章 固體準晶彈性的物理基礎
4.1 固體準晶彈性的物理基礎
4.2 變形張量
4.3 應力張量和運動方程
4.4 自由能和彈性常數
4.5 廣義Hooke定律
4.6 邊界條件和初始條件
4.7 準晶相關常數的簡短介紹
4.8 小結和邊值或初值一邊值問題的數學可解性
4.9第4章附錄：基于Landau密度波理論的準晶彈性物理
基礎的描述
參考文獻
第5章 一維準晶彈性理論及其化簡
5.1 六方準晶的彈性
5.2 把彈性問題分解成平面和反平面彈性問題的疊加
5.3 單斜準晶系的彈性
5.4 正交準晶系的彈性
5.5 四方準晶系的彈性
5.6 一維六方準晶空間彈性問題和解的表示
5.7 一維準晶彈性的其他結果
參考文獻
第6章 二維準晶彈性及其化簡
6.1 二維準晶平面彈性基本方程：五次和十次對稱晶系中的點群
5m和1Omm情形
6.2 基本方程組的化簡：位移勢函數法
6.3 基本方程組的化簡：應力勢函數法
6.4 點群5，5五次和點群10，10十次對稱準晶平面彈性
6.5 點群12ram十二次對稱準晶平面彈性
6.6 點群8ram八次對稱準晶平面彈性，位移勢
6.7 點群5，5五次和點群10，10十次對稱準晶彈性的應力勢
6.8 點群8mm八次對稱準晶彈性的應力勢
6.9 準晶的工程彈性與數學彈性
參考文獻
第7章 應用I——一維和二維準晶中的若干位錯和界面問題及其解答
7.1 一維六方準晶中的位錯
7.2 點群5m和10mm對稱準晶中的位錯
7.3 點群5，5五次對稱和點群10，10十次對稱準晶中的位錯
7.4 點群8mm八次對稱準晶中的位錯
7.5 點群12mm十二次對稱準晶中的位錯
7.6 準晶和晶體的界面問題
7.7 位錯塞集、位錯群和塑性區
7.8 總結和討論
參考文獻
第8章 應用II——一維和二維準晶中的孔洞和裂紋問題及解
8.1 一維準晶中的裂紋問題
8.2 一維準晶中有限尺寸構型的裂紋問題
8.3 點群5m和10mm準晶中的Griffith裂紋問題——位移函數法
8.4 點群5，5及10，10準晶中的橢圓孔及裂紋問題——基于應力勢的方法
8.5 二維八次對稱準晶的橢圓孔／裂紋問題
8.6 二維五次和十次對稱準晶帶橢圓孔／裂紋的彎曲試樣的近似分析解
8.7 二維五次和十次對稱準晶帶裂紋的有限高度狹長體的分析解
8.8 二維十次對稱準晶單邊裂紋有限寬度試樣的精確分析解
8.9 一維六方準晶的三維橢圓盤狀裂紋的攝動解
8.1 0其他一維、二維準晶裂紋問題
8.1 1裂紋頂端的塑性區
8.1 2第8章附錄1：第8.1 節中解的推導
8.1 3第8章附錄2：第8.9 節中解的進一步推導
參考文獻
第9章 三維準晶彈性理論及其應用
9.1 二十面體準晶彈性的基本方程和材料常數
9.2 二十面體準晶反平面彈性問題和準晶一晶體界面問題
9.3 假設聲子一相位子不耦合的二十面體準晶平面彈性
9.4 二十面體準晶的聲子場一相位子場耦合的平面彈性問題——位移勢函數方法，六重調和方程
9.5 二十面體準晶的聲子場一相位子場耦合的平面彈性問題——應力勢函數方法
9.6 二十面體準晶中的直位錯
9.7 二十面體準晶中的Griffith裂紋——Fourier分析
9.8 二十面體準晶中的橢圓缺口／Griffith裂紋——復分析
9.9 立方準晶的彈性理論——反平面和軸對稱變形及三維裂紋問題
參考文獻
第10章 準晶彈性和缺陷動力學
10.1 基于Bak的論點的準晶彈性動力學
10.2 某些準晶的反平面彈性動力學
10.3 反平面彈性的運動螺型位錯
10.4 反平面彈性III型運動Grimth裂紋
10.5 二維準晶簡化型彈性一／流體一動力學，基本解
10.6 二維準晶的簡化型彈性一／流體一動力學及其在斷裂動力學
中的應用，數值分析
10.7 三維二十面體準晶簡化型彈性一／流體一動力學及其在斷裂
動力學中的應用，數值分析
10.8第10章附錄：有限差分格式的細節
參考文獻
第11章 準晶彈性的復分析方法
11.1 一維準晶反平面彈性問題中的調和方程及準雙調和方程
11.2 點群12mm二維準晶平面彈性問題的雙調和方程
11.3 四重調和方程的復分析方法及其在二維準晶中的應用
11.4 六重調和方程的復分析方法及其在三維二十面體準晶中的應用
11.5 準四重調和方程的復分析
11.6 結論與討論
11.7第11章附錄：復分析基礎知識
參考文獻
第12章 準晶彈性的變分原理和數值分析與應用
12.1 二十面體準晶彈性問題的基本方程
12.2 準晶彈性靜力學的廣義變分原理
12.3 二十面體準晶彈性的有限元方法
12.4 數值分析算例
12.5 結論與討論
參考文獻
第13章 準晶彈性解的某些數學原理
13.1 準晶彈性解的唯一性
13.2 廣義Lax—Milgram定理
13.3 三維準晶彈性的矩陣表示
13.4 準晶彈性邊值問題的弱解
13.5 弱解的唯一性
13.6 結論與討論
參考文獻
第14章 固體準晶的非線性性能
14.1 準晶塑性變形性能
14.2 準晶可能的塑性本構方程
14.3 非線性彈性和求解公式
14.4 基于某些簡單模型的非線性解
14.5 基于廣義Eshelbv理論的非線性解
14.6 基于位錯模型的非線性分析
14.7 結論與討論
14.8第14章附錄：若干數學細節
參考文獻
第15章 固體準晶斷裂理論
15.1 準晶線性彈性斷裂理論
15.2 建議的標準試樣裂紋擴展力和它的臨界值GIc的測量
15.3 非線性斷裂理論
15.4 動態斷裂理論
15.5 固體準晶材料斷裂韌性和有關力學性能的測量
參考文獻
第16章 固體準晶廣義流體動力學簡介
16.1 固體的黏性
16.2 晶體廣義流體動力學方程，對稱性破缺
16.3 固體準晶廣義流體動力學方程
16.4 一個沒有解決的困難問題
16.5 數值計算舉例
16.6 結論與討論
16.7第16章附錄：有關熱力學公式介紹
參考文獻
第17章 可能的十八次對稱的固體準晶及相關理論探索
17.1 “六維埋藏空間”或“六維鑲嵌空間”概念
17.2 十八次對稱固體準晶的彈性理論
17.3 十八次對稱固體準晶的彈性—／流體一動力學
17.4 十八次對稱準晶的彈性和動力學問題的分析解
17.5 十八次對稱準晶的位錯
參考文獻
第18章 軟物質準晶的概況
18.1 軟物質準晶的發現
18.2 軟物質準晶的特點
18.3 軟物質準晶的研究內容
18.4 軟物質材料的初步介紹
參考文獻
第19章 一類軟物質的可能的數學模型
19.1 軟物質概況再介紹
19.2 一類軟物質材料的數學模型
19.3 一類軟物質的彈性一／流體一動力學
19.4 簡化情形——不可壓縮假定
19.5 軟物質流體動力學——改進的模型
19.6 軟物質中聲音的傳播
19.7 邊界條件和邊值問題的可解性討論
19.8第19章附錄：經典流體力學簡介
參考文獻
第20章 軟物質準晶理論探索與應用和可能的應用
20.1 十二次對稱軟物質準晶
20.2 十八次對稱軟物質準晶
20.3 軟物質準晶的位錯解
20.4 軟物質準晶的比熱
20.5 軟物質準晶的Stokes—Oseen流，交替近似解
20.6 軟物質準晶的動力學——對沖擊載荷的瞬態響應，有限差分
分析
20.7 線性化靜力學解的積分表示
20.8 可能的五次與十次對稱軟物質準晶及其廣義流體動力學
20.9 結論與討論
參考文獻
第21章 結束語
參考文獻
主附錄 某些數學補充材料
附錄Ⅰ 與復分析有關某些補充計算
AⅠ.1 解（8.2 一19）的補充計算
AⅠ.2 解（11.3.5 4）的補充計算
AⅠ.3 點群5m，10mm和10，10二維準晶平面塑性的廣義內聚力模型
復分析的補充推導
AI.4 關于積分（9.2 —14）的計算
AI.5 關于積分（8.8 —9）的計算
參考文獻
附錄Ⅱ 對偶積分方程和某些補充計算
AⅡ.1 對偶積分方程
AⅡ.2 對偶積分方程（8.3 —8）和（9.7 —4）的解的詳細推導
AⅡ.3 對偶積分方程的解（9.8 —8）的推導
參考文獻
附錄Ⅲ 凝聚態物理學的Poisson括號方法、Lie群和Lie代數方法及其
在固體準晶和軟物質準晶的應用
AⅢ.1 凝聚態物理學的Poisson括號
AⅢ.2 有關公式和變分計算
AⅢ.3 有關動力學方程的推導
AⅢ.4 Lie群概念和有關公式的推導
參考文獻
索引
1.1 晶體結構的周期性，晶胞（元胞）
1.2 三維晶格的種類
1.3 對稱性和點群
1.4 倒格子
1.5第一章附錄若干基本概念
參考文獻
第2章 經典彈性理論的框架
2.1 一些基本概念復習
2.2 彈性理論的基本假定
2.3 位移與變形
2.4 應力分析和運動方程
2.5 廣義Hooke定律
2.6 彈性動力學，波動
2.7 小結 第1章 晶體
1.1 晶體結構的周期性，晶胞（元胞）
1.2 三維晶格的種類
1.3 對稱性和點群
1.4 倒格子
1.5第一章附錄若干基本概念
參考文獻
第2章 經典彈性理論的框架
2.1 一些基本概念復習
2.2 彈性理論的基本假定
2.3 位移與變形
2.4 應力分析和運動方程
2.5 廣義Hooke定律
2.6 彈性動力學，波動
2.7 小結
參考文獻
第3章 準晶及其性質
3.1 準晶的發現
3.2 準晶的結構與對稱性
3.3 準晶物理性能的簡單介紹
3.4 一維、二維和三維準晶
3.5 二維準晶和平面準晶
參考文獻
第4章 固體準晶彈性的物理基礎
4.1 固體準晶彈性的物理基礎
4.2 變形張量
4.3 應力張量和運動方程
4.4 自由能和彈性常數
4.5 廣義Hooke定律
4.6 邊界條件和初始條件
4.7 準晶相關常數的簡短介紹
4.8 小結和邊值或初值一邊值問題的數學可解性
4.9第4章附錄：基于Landau密度波理論的準晶彈性物理
基礎的描述
參考文獻
第5章 一維準晶彈性理論及其化簡
5.1 六方準晶的彈性
5.2 把彈性問題分解成平面和反平面彈性問題的疊加
5.3 單斜準晶系的彈性
5.4 正交準晶系的彈性
5.5 四方準晶系的彈性
5.6 一維六方準晶空間彈性問題和解的表示
5.7 一維準晶彈性的其他結果
參考文獻
第6章 二維準晶彈性及其化簡
6.1 二維準晶平面彈性基本方程：五次和十次對稱晶系中的點群
5m和1Omm情形
6.2 基本方程組的化簡：位移勢函數法
6.3 基本方程組的化簡：應力勢函數法
6.4 點群5，5五次和點群10，10十次對稱準晶平面彈性
6.5 點群12ram十二次對稱準晶平面彈性
6.6 點群8ram八次對稱準晶平面彈性，位移勢
6.7 點群5，5五次和點群10，10十次對稱準晶彈性的應力勢
6.8 點群8mm八次對稱準晶彈性的應力勢
6.9 準晶的工程彈性與數學彈性
參考文獻
第7章 應用I——一維和二維準晶中的若干位錯和界面問題及其解答
7.1 一維六方準晶中的位錯
7.2 點群5m和10mm對稱準晶中的位錯
7.3 點群5，5五次對稱和點群10，10十次對稱準晶中的位錯
7.4 點群8mm八次對稱準晶中的位錯
7.5 點群12mm十二次對稱準晶中的位錯
7.6 準晶和晶體的界面問題
7.7 位錯塞集、位錯群和塑性區
7.8 總結和討論
參考文獻
第8章 應用II——一維和二維準晶中的孔洞和裂紋問題及解
8.1 一維準晶中的裂紋問題
8.2 一維準晶中有限尺寸構型的裂紋問題
8.3 點群5m和10mm準晶中的Griffith裂紋問題——位移函數法
8.4 點群5，5及10，10準晶中的橢圓孔及裂紋問題——基于應力勢的方法
8.5 二維八次對稱準晶的橢圓孔／裂紋問題
8.6 二維五次和十次對稱準晶帶橢圓孔／裂紋的彎曲試樣的近似分析解
8.7 二維五次和十次對稱準晶帶裂紋的有限高度狹長體的分析解
8.8 二維十次對稱準晶單邊裂紋有限寬度試樣的精確分析解
8.9 一維六方準晶的三維橢圓盤狀裂紋的攝動解
8.1 0其他一維、二維準晶裂紋問題
8.1 1裂紋頂端的塑性區
8.1 2第8章附錄1：第8.1 節中解的推導
8.1 3第8章附錄2：第8.9 節中解的進一步推導
參考文獻
第9章 三維準晶彈性理論及其應用
9.1 二十面體準晶彈性的基本方程和材料常數
9.2 二十面體準晶反平面彈性問題和準晶一晶體界面問題
9.3 假設聲子一相位子不耦合的二十面體準晶平面彈性
9.4 二十面體準晶的聲子場一相位子場耦合的平面彈性問題——位移勢函數方法，六重調和方程
9.5 二十面體準晶的聲子場一相位子場耦合的平面彈性問題——應力勢函數方法
9.6 二十面體準晶中的直位錯
9.7 二十面體準晶中的Griffith裂紋——Fourier分析
9.8 二十面體準晶中的橢圓缺口／Griffith裂紋——復分析
9.9 立方準晶的彈性理論——反平面和軸對稱變形及三維裂紋問題
參考文獻
第10章 準晶彈性和缺陷動力學
10.1 基于Bak的論點的準晶彈性動力學
10.2 某些準晶的反平面彈性動力學
10.3 反平面彈性的運動螺型位錯
10.4 反平面彈性III型運動Grimth裂紋
10.5 二維準晶簡化型彈性一／流體一動力學，基本解
10.6 二維準晶的簡化型彈性一／流體一動力學及其在斷裂動力學
中的應用，數值分析
10.7 三維二十面體準晶簡化型彈性一／流體一動力學及其在斷裂
動力學中的應用，數值分析
10.8第10章附錄：有限差分格式的細節
參考文獻
第11章 準晶彈性的復分析方法
11.1 一維準晶反平面彈性問題中的調和方程及準雙調和方程
11.2 點群12mm二維準晶平面彈性問題的雙調和方程
11.3 四重調和方程的復分析方法及其在二維準晶中的應用
11.4 六重調和方程的復分析方法及其在三維二十面體準晶中的應用
11.5 準四重調和方程的復分析
11.6 結論與討論
11.7第11章附錄：復分析基礎知識
參考文獻
第12章 準晶彈性的變分原理和數值分析與應用
12.1 二十面體準晶彈性問題的基本方程
12.2 準晶彈性靜力學的廣義變分原理
12.3 二十面體準晶彈性的有限元方法
12.4 數值分析算例
12.5 結論與討論
參考文獻
第13章 準晶彈性解的某些數學原理
13.1 準晶彈性解的唯一性
13.2 廣義Lax—Milgram定理
13.3 三維準晶彈性的矩陣表示
13.4 準晶彈性邊值問題的弱解
13.5 弱解的唯一性
13.6 結論與討論
參考文獻
第14章 固體準晶的非線性性能
14.1 準晶塑性變形性能
14.2 準晶可能的塑性本構方程
14.3 非線性彈性和求解公式
14.4 基于某些簡單模型的非線性解
14.5 基于廣義Eshelbv理論的非線性解
14.6 基于位錯模型的非線性分析
14.7 結論與討論
14.8第14章附錄：若干數學細節
參考文獻
第15章 固體準晶斷裂理論
15.1 準晶線性彈性斷裂理論
15.2 建議的標準試樣裂紋擴展力和它的臨界值GIc的測量
15.3 非線性斷裂理論
15.4 動態斷裂理論
15.5 固體準晶材料斷裂韌性和有關力學性能的測量
參考文獻
第16章 固體準晶廣義流體動力學簡介
16.1 固體的黏性
16.2 晶體廣義流體動力學方程，對稱性破缺
16.3 固體準晶廣義流體動力學方程
16.4 一個沒有解決的困難問題
16.5 數值計算舉例
16.6 結論與討論
16.7第16章附錄：有關熱力學公式介紹
參考文獻
第17章 可能的十八次對稱的固體準晶及相關理論探索
17.1 “六維埋藏空間”或“六維鑲嵌空間”概念
17.2 十八次對稱固體準晶的彈性理論
17.3 十八次對稱固體準晶的彈性—／流體一動力學
17.4 十八次對稱準晶的彈性和動力學問題的分析解
17.5 十八次對稱準晶的位錯
參考文獻
第18章 軟物質準晶的概況
18.1 軟物質準晶的發現
18.2 軟物質準晶的特點
18.3 軟物質準晶的研究內容
18.4 軟物質材料的初步介紹
參考文獻
第19章 一類軟物質的可能的數學模型
19.1 軟物質概況再介紹
19.2 一類軟物質材料的數學模型
19.3 一類軟物質的彈性一／流體一動力學
19.4 簡化情形——不可壓縮假定
19.5 軟物質流體動力學——改進的模型
19.6 軟物質中聲音的傳播
19.7 邊界條件和邊值問題的可解性討論
19.8第19章附錄：經典流體力學簡介
參考文獻
第20章 軟物質準晶理論探索與應用和可能的應用
20.1 十二次對稱軟物質準晶
20.2 十八次對稱軟物質準晶
20.3 軟物質準晶的位錯解
20.4 軟物質準晶的比熱
20.5 軟物質準晶的Stokes—Oseen流，交替近似解
20.6 軟物質準晶的動力學——對沖擊載荷的瞬態響應，有限差分
分析
20.7 線性化靜力學解的積分表示
20.8 可能的五次與十次對稱軟物質準晶及其廣義流體動力學
20.9 結論與討論
參考文獻
第21章 結束語
參考文獻
主附錄 某些數學補充材料
附錄Ⅰ 與復分析有關某些補充計算
AⅠ.1 解（8.2 一19）的補充計算
AⅠ.2 解（11.3.5 4）的補充計算
AⅠ.3 點群5m，10mm和10，10二維準晶平面塑性的廣義內聚力模型
復分析的補充推導
AI.4 關于積分（9.2 —14）的計算
AI.5 關于積分（8.8 —9）的計算
參考文獻
附錄Ⅱ 對偶積分方程和某些補充計算
AⅡ.1 對偶積分方程
AⅡ.2 對偶積分方程（8.3 —8）和（9.7 —4）的解的詳細推導
AⅡ.3 對偶積分方程的解（9.8 —8）的推導
參考文獻
附錄Ⅲ 凝聚態物理學的Poisson括號方法、Lie群和Lie代數方法及其
在固體準晶和軟物質準晶的應用
AⅢ.1 凝聚態物理學的Poisson括號
AⅢ.2 有關公式和變分計算
AⅢ.3 有關動力學方程的推導
AⅢ.4 Lie群概念和有關公式的推導
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