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《高等數學》是河南省數學教學指導委員會推薦用書. 《高等數學》根據地方院校高等數學課程教學大綱的基本要求, 結合作者多年的教學研究和教學經驗編寫而成,內容包括函數與極限、一元函數微分學及其應用、一元函數積分學及其應用、常微分方程、向量代數與解析幾何、多元函數微分學及其應用、多元函數積分學及其應用、無窮級數和數學實踐與數學建模初步.《高等數學》注重體現高等教育大眾化背景, 順應教育教學改革新常態, 著力構建完備的數學知識體系架構, 強調數學思想方法滲透, 在基本概念講解、基本內容處理、典型例題引入、數學能力和素質提升等方面,力求做到結構完整、脈絡清晰, 便于讀者理解和掌握.
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《高等數學》可作為高等院校非數學專業理工類、經濟管理類、醫藥類、農林類等專業的高等數學課程教材, 也可供自學者閱讀和有關人員參考.
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章函數與極限
微積分學中的基本概念，如連續、導數和積分等，都是以極限理論為基礎的.極限思想方法是高等數學中的一個重要思想方法，極限理論推動了數學理論的發展，促使許多實際問題得以解決.在近代數學許多分支中，一些重要的概念與理論都是極限和連續函數概念的推廣、延拓和深化.因此，理解和掌握極限思想和方法是學好微積分的關鍵.
1.1函數
1.1.1變量的變化范圍
我們知道，在實際問題中有變量與常量之分.所謂變量，是指一個可以被賦予任何值的量.如果它的值是固定的，稱為常量(也稱為常數).這里需要將任意常數和**常數區分開來.在具體問題研究中，任意常數可以保持任何給定的值，而**常數則在所給定的問題中都保持相同的值.例如，半徑為r的圓周長為2 r;這里r為任意常數，而2和 為**常數.
對于任何變量都有一定的變化范圍，例如，電子產品的使用壽命、天氣的溫度等.變量的變化范圍也就是變量的取值范圍，通常用區間或鄰域表示，它們是實數集合R的一個子集.區間是*熟悉的常見的實數軸上的點集，它是以下幾種點集的總稱.設a;b2R，定義以下的區間集合.
(1)閉區間=fxja6x6bg;一個點a組成的集合fag=也是閉區間.
(2)開區間(a;b)=fxja<><>
<>
(3)半開半閉區間(a;b]=fxja0)的定義域.
解(1)由于
注意到x<0;知f(x)=.p1.x:所以，g(x)與f(x)在給定的定義域內是同一個函數.
(2)要使函數有意義，x需滿足
解之，得于是，函數的定義域為
(3)根據題意，有，解之，得
因為a>0;所以當1.a>aμ06
解.于是，所求定義域為
例1.2設x2R;用表示不超過x的**整數，如
所表示的函數為取整函數.顯然，取整函數滿足不等式
對于函數f(x)，如果其定義域為正整數集合N;可簡記為，稱為數列
用fang表示(為簡單起見，以后仍記為an).其中an表示數列的通項，n表示數列的項數.
1.1.3幾類特殊的函數
1.有界函數
設I為函數f(x)的定義區間①，如果存在常數M1;M2，使得對任意的
則稱函數f(x)是區間I上的有界函數.其中M1和M2分別稱為函數f(x)的下界和上界.如果這樣的M1和M2至少有一個不存在，則稱函數f(x)是區間I上的無界函數.換句話說，對任意給定的數M，總有一點x02I，使得f(x0)M:
例如，函數y=sinx在其定義域R內有界，因為對任意x2R;都有從幾何上看，有界函數的圖像介于直線y=M1和y=M2之間.
綜上，注意兩點:①函數f(x)的有界性與給定的區間有關，函數f(x)=在區間上有界，但在區間(.1;1)上無界;②函數f(x)在區間I上有界的充分必要條件是f(x)在區間I上既有上界，也有下界.
例1.3判定函數f(x)=xsinx在R上的有界性.因此，對任意的M>0;只要n>M，都有f(x0)>M:因此函數f(x)在R上無界.
2.單調函數
設I為函數f(x)的定義區間，如果對任意的x1;x22I;當x1<>
f(x1)<>
則稱f(x)是區間I上的單調增加函數，簡稱單增函數;當x1<>
f(x1)>f(x2);
則稱f(x)是區間I上的單調減少函數，簡稱單減函數.單調增加函數和單調減少函數統稱為單調函數.
如果對任意的x1;x22I;當x1<>
則稱函數f是區間I上的單調不減函數(單調不增函數).
例如，函數f(x)=x2在區間上單調減
少，但在區間(.1;+1)上不是單調函數;函數f(x)=x3在區間(.1;+1)上是
單調函數.
對數列an=f(n)而言，相應地，可以給出有界數列、無界數列、單調數列的
概念.
3.奇函數和偶函數
若函數f(x)在定義域內滿足
f(x)=.f(.x);
則稱函數f(x)是奇函數;若滿足
f(x)=f(.x);
則稱函數f(x)是偶函數.
例如，在R上，函數y=sinx是奇函數，函數y=cosx是偶函數，但函數y=sinx+cosx既非奇函數，也非偶函數.
根據奇函數和偶函數的定義，立即可以得到如下結論:偶函數的圖形關于y軸對稱;奇函數的圖形關于原點對稱，若奇函數在原點有定義，則f(0)=0
請讀者自行討論奇函數、偶函數經四則運算后得到的函數的奇偶性.
4.周期函數
設函數f(x)的定義域為D，如果存在T>0;對任意x2D;有x+T2D，且
f(x)=f(x+T);
則稱函數f(x)是周期函數，T稱為f(x)的周期.
如果在周期中存在*小的正值，通常稱為*小正周期.需要說明的是，周期函數不一定存在*小正周期.例如，Dirichlet函數就是一個不存在*小正周期的周函數.如果數T>0是函數f(x)的周期，則都是f(x)的周期.
Dirichlet函數D(x)是一個很特別的函數，它是有界的偶函數，且任何有理數都是其周期，但沒有*小正周期.
例1.4確定下列函數的奇偶性:
其中f(x)在R上有定義，且對任何的
恒有
解(1)由于
所以，函數f(x)為奇函數.
(2);經計算，易知
因此，g(x)為奇函數.
即f(x)為奇函數.于是，函數F(x)為偶函數.
微積分學中的基本概念，如連續、導數和積分等，都是以極限理論為基礎的.極限思想方法是高等數學中的一個重要思想方法，極限理論推動了數學理論的發展，促使許多實際問題得以解決.在近代數學許多分支中，一些重要的概念與理論都是極限和連續函數概念的推廣、延拓和深化.因此，理解和掌握極限思想和方法是學好微積分的關鍵.
1.1函數
1.1.1變量的變化范圍
我們知道，在實際問題中有變量與常量之分.所謂變量，是指一個可以被賦予任何值的量.如果它的值是固定的，稱為常量(也稱為常數).這里需要將任意常數和**常數區分開來.在具體問題研究中，任意常數可以保持任何給定的值，而**常數則在所給定的問題中都保持相同的值.例如，半徑為r的圓周長為2 r;這里r為任意常數，而2和 為**常數.
對于任何變量都有一定的變化范圍，例如，電子產品的使用壽命、天氣的溫度等.變量的變化范圍也就是變量的取值范圍，通常用區間或鄰域表示，它們是實數集合R的一個子集.區間是*熟悉的常見的實數軸上的點集，它是以下幾種點集的總稱.設a;b2R，定義以下的區間集合.
(1)閉區間=fxja6x6bg;一個點a組成的集合fag=也是閉區間.
(2)開區間(a;b)=fxja<><>
<>
(3)半開半閉區間(a;b]=fxja
解(1)由于
注意到x<0;知f(x)=.p1.x:所以，g(x)與f(x)在給定的定義域內是同一個函數.
(2)要使函數有意義，x需滿足
解之，得于是，函數的定義域為
(3)根據題意，有，解之，得
因為a>0;所以當1.a>aμ06
解.于是，所求定義域為
例1.2設x2R;用表示不超過x的**整數，如
所表示的函數為取整函數.顯然，取整函數滿足不等式
對于函數f(x)，如果其定義域為正整數集合N;可簡記為，稱為數列
用fang表示(為簡單起見，以后仍記為an).其中an表示數列的通項，n表示數列的項數.
1.1.3幾類特殊的函數
1.有界函數
設I為函數f(x)的定義區間①，如果存在常數M1;M2，使得對任意的
則稱函數f(x)是區間I上的有界函數.其中M1和M2分別稱為函數f(x)的下界和上界.如果這樣的M1和M2至少有一個不存在，則稱函數f(x)是區間I上的無界函數.換句話說，對任意給定的數M，總有一點x02I，使得f(x0)
例如，函數y=sinx在其定義域R內有界，因為對任意x2R;都有從幾何上看，有界函數的圖像介于直線y=M1和y=M2之間.
綜上，注意兩點:①函數f(x)的有界性與給定的區間有關，函數f(x)=在區間上有界，但在區間(.1;1)上無界;②函數f(x)在區間I上有界的充分必要條件是f(x)在區間I上既有上界，也有下界.
例1.3判定函數f(x)=xsinx在R上的有界性.因此，對任意的M>0;只要n>M，都有f(x0)>M:因此函數f(x)在R上無界.
2.單調函數
設I為函數f(x)的定義區間，如果對任意的x1;x22I;當x1<>
f(x1)<>
則稱f(x)是區間I上的單調增加函數，簡稱單增函數;當x1<>
f(x1)>f(x2);
則稱f(x)是區間I上的單調減少函數，簡稱單減函數.單調增加函數和單調減少函數統稱為單調函數.
如果對任意的x1;x22I;當x1<>
則稱函數f是區間I上的單調不減函數(單調不增函數).
例如，函數f(x)=x2在區間上單調減
少，但在區間(.1;+1)上不是單調函數;函數f(x)=x3在區間(.1;+1)上是
單調函數.
對數列an=f(n)而言，相應地，可以給出有界數列、無界數列、單調數列的
概念.
3.奇函數和偶函數
若函數f(x)在定義域內滿足
f(x)=.f(.x);
則稱函數f(x)是奇函數;若滿足
f(x)=f(.x);
則稱函數f(x)是偶函數.
例如，在R上，函數y=sinx是奇函數，函數y=cosx是偶函數，但函數y=sinx+cosx既非奇函數，也非偶函數.
根據奇函數和偶函數的定義，立即可以得到如下結論:偶函數的圖形關于y軸對稱;奇函數的圖形關于原點對稱，若奇函數在原點有定義，則f(0)=0
請讀者自行討論奇函數、偶函數經四則運算后得到的函數的奇偶性.
4.周期函數
設函數f(x)的定義域為D，如果存在T>0;對任意x2D;有x+T2D，且
f(x)=f(x+T);
則稱函數f(x)是周期函數，T稱為f(x)的周期.
如果在周期中存在*小的正值，通常稱為*小正周期.需要說明的是，周期函數不一定存在*小正周期.例如，Dirichlet函數就是一個不存在*小正周期的周函數.如果數T>0是函數f(x)的周期，則都是f(x)的周期.
Dirichlet函數D(x)是一個很特別的函數，它是有界的偶函數，且任何有理數都是其周期，但沒有*小正周期.
例1.4確定下列函數的奇偶性:
其中f(x)在R上有定義，且對任何的
恒有
解(1)由于
所以，函數f(x)為奇函數.
(2);經計算，易知
因此，g(x)為奇函數.
即f(x)為奇函數.于是，函數F(x)為偶函數.
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