凸分析及應用捷徑（簡體書）

凸集和凸函數的一些幾何性質在20世紀60年代之前已被許多傑出的數學家所研究（其中對凸函數的研究程度相對低一些），其中首推Hermann Minkowski和WernerFenchel。20世紀60年代初，R.Tyrrell Rockafellar和Jean-Jacques Moreau的工作使得凸分析得到了很大的發展，他們奠基了這個新領域的系統研究，凸分析是變分分析的基礎部分，其中廣義微分理論可用於研究初始資料不加任何可微假設的大量數學模型，凸分析在許多應用中的重要性至今已經得到了公認，這些應用領域中首先包括凸zui優化。凸性的存在不僅使全面地定性研究zui優解以及匯出zui優性的必要和充分條件成為可能，也有助於發展解凸zui優化問題的行之有效的數值算法，即使對不可微資料也如此。凸分析和zui優化理論正在對數學的許多方面及其應用發揮著日益增長的影響，這些應用特別包括控制系統、評估與信號處理、通信與網絡、電路設計、資料分析與建模、統計、經濟與金融等。
現在已經有致力於凸分析與zui優化的不同方面的基礎書籍，這裡我們特別指出Rockafellar的《凸分析》，Hiriart-Urruty與Lemarechal的《凸分析與zui小化算法》（兩卷）及其精簡版本，Borwein與Lewis的《凸分析與非線性zui優化》，Nesterov的《凸zui優化入門講義》和Boyd與Vandenberghe的《凸zui優化》，以及書末參考文獻中的其他書籍。
在凸分析與zui優化這個大的框架下，對剛剛開始利用凸分析接觸該領域更深的課題的學生和研究人員來說，本書可以充當一個橋樑，書中陳述的大多結果都給出了詳細的證明，並包括了許多圖表和練習，以便好地理解這些素材，本書採用了現代變分分析中建立的強有力的幾何方法，這種方法在凸的情形得到了簡化，以此給讀者提供了一個進入有限維空間中凸結構的廣義微分理論的捷徑，因此本書也可作為感興趣的讀者繼續研究非凸變分分析與應用的一個起點。從此角度來說，它對凸分析和變分分析方面的專家也可能是有意義的。zui後，本書的應用部分不僅涉及了與zui優性條件和次梯度算法有關的凸zui優化的經典課題，而且給出了一些近期的一類重要的選址問題的易於理解的定性和數值結果。
本書包括四章，安排如下：在第1章中我們研究凸集和凸函數的基本性質，其中特別關注在zui優化中起著重要作用的凸函數類。第2章主要致力於建立凸集的法錐和凸函數次梯度的基本運算法則，它們是凸理論的主流。第3章包含了凸分析的其他一些課題，它們在應用中有廣泛的用途，第4章則完全把注意力放在應用問題上，從定性和數值兩個角度討論了凸分析的基本結果在凸zui優化問題和選址問題的某些選題中的應用，zui後，書末給出了某些練習的答案和提示。
每章的zui後都有練習題，而圖表和例子則貫穿全書。參考文獻包含一些書籍和選取的論文，它們密切關聯於本書所討論的課題，也可以幫助讀者進一步學習更深的凸分析理論及其應用與擴展。
本書只需要線性代數和基礎微積分的基本知識，因此可用作本科生和研究生層次的凸分析及其應用課程的教科書。事實上，作者已經應用這些講義在他們的大學以及作為訪問學者在其他一些學校講授過這樣的課程，我們希望本書能使本科生和研究生、不同學科的研究人員以及從業者等廣泛群體更易於理解和進入凸分析這個領域。

譯者序
前言
符號表

第1章 凸集和凸函數
1．1 預備知識
1．2 凸集
1．3 凸函數
1．4 凸集的相對內部
1．5 距離函數
1．6 練習

第2章 次微分的運算
2．1 凸分離
2．2 凸集的法向量
2．3 凸函數的Lipschitz連續性
2．4 凸函數的次梯度
2．5 基本運算法則
2．6 最優值函數的次梯度
2．7 支撐函數的次梯度
2．8 Fenchel共軛
2．9 方向導數
2．10 上確界函數的次梯度
2．11 練習

第3章 基於凸性的有名結果
3．1 可微性的刻畫
3．2 Carath60dory定理和Farkns引理
3．3 Radon定理和Helly定理
3．4 凸集的切錐
3．5 中值定理
3．6 地平錐
3．7 極小時間函數和Minkowski度規
3．8 極小時間函數的次梯度
3．9 Nash均衡
3．10 練習

第4章 在最優化和選址問題中的應用
4．1 下半連續性和極小值點的存在性
4．2 最優性條件
4．3 凸最優化中的次梯度方法
4．4 Fermat-Torricelli問題
4．5 一個廣義的Termat-Torricelli問題
4．6 廣義Sylvestel問題
4．7 練習
部分練習答案和提示
參考文獻
索引