高等數學練習冊（簡體書）

本練習冊是依據高等學校理工類各專業對高等數學課程的教學要求而編寫的，內容上體現了教學的基本要求，涵蓋了這些專業所要求的必備知識點. 全書共 12章，涉及的主要內容有函數、極限與連續、一元函數微分學、一元函數積分學、微分方程、向量代數與空間解析幾何、多元函數微分學、重積分、曲線積分、曲面積分和無窮級數. 通過本練習冊的學習可以幫助讀者更好地理解基本概念，把握重點. 本練習冊可作為讀者學習高等數學課程的同步練習或習題使用，還可以作為大專院校非數學專業高等數學課程的參考資料.

目

第1章作業題一（極限概念與運算）............................................................................................1

第1章作業題二（無窮小的比較、重要極限、函數的連續性）................................................3

第2章作業題一（導數概念、求導法則）....................................................................................5

第2章作業題二（高階導數與微分）............................................................................................7

第3章作業題一（中值定理與洛必達法則）................................................................................9

第3章作業題二（泰勒公式及函數的單調性、凹凸性、導數應用）......................................11

第4章作業題一（不定積分的定義、性質及第一換元法）......................................................13

第4章作業題二（不定積分的計算）..........................................................................................15

第5章作業題一（定積分定義、性質及牛頓-萊布尼茨公式）.................................................17

第5章作業題二（定積分計算及反常積分）..............................................................................19

第6章作業題（定積分的應用）..................................................................................................21

第7章作業題一（基本概念與一階微分方程）..........................................................................23

第7章作業題二（高階微分方程）..............................................................................................25

第8章作業題一（向量代數）......................................................................................................27

第8章作業題二（空間解析幾何）..............................................................................................29

第9章作業題一（偏導數與全微分）..........................................................................................31

第9章作業題二（微分法及其應用）..........................................................................................33

第10章作業題一（二重積分及應用）........................................................................................35

第10章作業題二（三重積分及應用）........................................................................................37

第11章作業題一（曲線積分與格林公式）................................................................................39

第11章作業題二（曲面積分與高斯公式、斯托克斯公式）....................................................41

第12章作業題一（數項級數）....................................................................................................43

第12章作業題二（冪級數與傅里葉級數）................................................................................45

第1章A層提高練習題.................................................................................................................47

第2章A層提高練習題.................................................................................................................49

第3章A層提高練習題.................................................................................................................51

第4章A層提高練習題.................................................................................................................53

第5章A層提高練習題.................................................................................................................55

第6章A層提高練習題.................................................................................................................57

第7章A層提高練習題.................................................................................................................59

第8章A層提高練習題.................................................................................................................61

第9章A層提高練習題.................................................................................................................63

第10章A層提高練習題...............................................................................................................65

第11章A層提高練習題...............................................................................................................67

第12章A層提高練習題...............................................................................................................69

第一學期期末考試樣卷一..............................................................................................................71

第一學期期末考試樣卷二..............................................................................................................73

第一學期期末考試樣卷三..............................................................................................................75

第二學期期末考試樣卷一..............................................................................................................77

第二學期期末考試樣卷二..............................................................................................................79

第二學期期末考試樣卷三..............................................................................................................81

1.設.an.，.bn.，.cn.均為非負數列，且liman.0，limbn.1，limcn..，則必有().

n..n..n..

A.an.bn，對任意n成立B.bn.cn，對任意n成立

C.極限limac不存在limbc不存在

nnD.極限nn

n..n..

2.從limf(x).1不能推出().

x.x

0

A.f(x0.0).1B.f(x0.0).1C.f(x0).1D.lim[f(x).1].0

x.x

0

3.limf(x).1是limf(x).1的().

x.2.x.2

A.必要條件B.充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

4.當x..時，π.arctanx().

A.趨于0B.趨于.C.是有界變量D.是無界變量

5.函數f(x).xsin1在點x＝0處().

A.有定義且有極限B.無定義但有極限

C.有定義但無極限D.無定義且無極限

6.當.0時，函數().21.1的極限是().

2

x

1

x

xfx

x

2.1

A.1B..1C.0D.不存在且不是無窮大

1

x

7.當x..fx21.1的極限是(

時，函數().).

x

2.1

A.1B..1C.0D.不存在且不是無窮大

8.若f(x).k..,其中k是常數，當x.x0時,..，則limfx..

0()

.

xx

0

..

9.已知數列..xn...

222.2.(n重根號)，則limx..

.n..n

..

..

10.函數f(x)在點x0處左、右極限存在且相等是f(x)在點x0處極限存在的條件.

二、計算題

1.求limn2.4n2.3.2.求lim5x23.3x.2.

n..x..

2nxx5

7..

3.求lim

n2.2..4.求lim...1.1x.1.2x2....

nn

.

.

n..x.1

x

5.設()...axb,.0,求f(0.0)，f(0.0);若limf(x).1

fx.e,.xx≤0,x.0,求b.

.12n.1..2...an

aa

6.求lim..2n2.2n2...2n2...7.求lim1..bb2...bn(

a

.1,

b

.1).

n..n..

8.求limx22.3x.2.9.求lim

2.x.2

.

1x.

x.x.4x.323x.3.3

10.求lim(

x2.x.1.

x2.x.1).

x...

11.若lim..xx2..11.axb...0，求a，b的值.

.

x....

12.討論函數().x.1

fx

x.1，當x.1時，極限是否存在？

三、證明題

設P(x)是多項式函數，且limP(x)2.x3.2,limP(x).1.證明P(x).x3.2x2.x.

x..x.0x

x

一、選擇與填空題

1.當x.0時，xk與x.x2.x3是等價無窮小，則k.().

A.0B.1C.2D.3

x時，()x則當x0

2.若當x.0.x，.()都是無窮小，.x時，下列表示式中哪一個不一定是無窮小().

A.

.()

x

..()

x

B..2()x..2()C....()x().D..2()

xln1..xx

.()

x

3.當x.0時，函數ex2.cosx是x2的().

A.高階無窮小B.低階無窮小

C.同階但不等價無窮小D.等價無窮小

4.函數f(x)在點x0處有定義是f(x)在點x0處連續的().

A.必要但不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.無關條件

5.下列結論正確的是().

A.若f(x)在點x0處有定義且極限存在，則f(x)在x0處必連續

B.若f(x)在點0處連續，g(x)在點x0處不連續，則f()xg.()在點x0處必不連續

C.若f(x)與g(x)在點x0處都不連續，則f()xg.x在點x0

()處必不連續

D.若f(x)在點0處連續，g(x)在點x0處不連續，則f()xg.()在點x0處必不連續

xx

xx.sin2x

6.函數().x,x.0,在分段點x.0處().

fx..

.x.2,x.0

.

A.有定義且極限存在B.無定義且極限不存在

C.極限存在且連續D.極限存在但不連續

2

7.函數fx().x2.x

1.12的無窮間斷點的個數為().

x.1x

A.0B.1C.2D.3

8.極限lim

4n3cosn!..

n..

9n.2015

.11.

9.limxsin.sinx..

..

x.0.xx

……