非線性發展方程及其孤立波解（簡體書）

《非線性發展方程及其孤立波解/普通高等教育“十三五”規劃教材》主要研究有孤立波解的非線性發展方程的各種求解方法，如反散射變換方法、Backlund變換方法、Darboux變換方法、相似約化方法、Hirota雙線性方法以及若干種函數變換方法等。此外還介紹了有物理背景的非線性偏微分方程孤立波解形成的機理和非線性偏微分方程可積性的一些知識。該書可以作為應用數學、應用物理以及與非線性科學相關研究方向研究生的教材或參考書，也可作為高年級大學生、從事非線性科學研究的科研人員和教師的學習和科研參考用書。

2008年3月由清華大學出版社出版的《非線性偏微分方程引論》首次與讀者見面。近十年來，非線性科學在發展中確立了自己的科學地位，作為研究非線性偏微分方程及其孤立波解經典理論和方法的《非線性偏微分方程引論》仍然不可多得。當然我們必須顧及學科的最新發展，於是在北京郵電大學研究生院“2016年研究生教育教學改革與研究項目”的支持下，由北京郵電大學出版社出版本書的新版本，書名改為《非線性發展方程及其孤立波解》。本書與清華大學出版社出版的《非線性偏微分方程引論》的不同之處在於：
（1）根據非線性偏微分方程各種解法的使用和發展情況，我們將清華大學出版社版《非線性偏微分方程引論》中的第6章第2節“Darboux變換方法''和第6章第1節”Hirota雙線性方法“在增加了新的內容之後，分別單獨成章為”第4章Darboux變換“和”第6章Hirota雙線性方法“，除了講述兩種方法的基本應用之外，還講述了它們的拓展應用。
（2）在本書的”第7章特殊變換方法“中，增加了”Wronskian行列式法''一節，因為求解孤子方程解析n孤子解時，Wronskian行列式法克服了雙線性方法和反散射變換方法在行列式微分求導時的難題，可以直接驗證解。因此成為應用廣泛且十分高效的求解非線性偏微分方程的方法。
（3）刪除了清華大學出版社出版的《非線性偏微分方程引論》中“群的概念及其在微分方程中的應用簡介”一節，因為我們雖然在“相似約化”方法中應用了群的表示方法，但並未涉及群的概念與原理，即原來的這部分內容與其他內容聯繫不大，為了節省篇幅，在本書中刪除了這部分內容。
（4）將清華大學出版社出版的《非線性偏微分方程引論》中的“第4章可積性與Painleve性質”和“第5章相似變換與相似解”合併為現在的“第5章Painleve性質與相似約化”，使得結構更加緊湊，便於兩項內容聯繫性地理解。
清華大學出版社出版的《非線性偏微分方程引論》一直在北京郵電大學研究生學位課“應用非線性偏微分方程”的課上作為教材使用，選修這門課的同學們為本書修訂內容的選定做出了積極的貢獻，這里特別感謝杜仲、管樂陽、馬騰滕、王曉坡、陳寅楠等同學。特別感謝北京郵電大學劉文軍副教授對本書修訂提出的寶貴意見和建議。
“深入淺出，使學生感到不難學”一直是筆者在教學過程中和教材編寫中所追求的樸素目標。為了達成這一目標，對內容透徹地理解，然後用邏輯性的結構形式和語言形式把它們表示出來就成了本書的重要目標，但由於本人水平有限，可能還存在很多暫未發現的瑕疵，歡迎各位同行、讀者批評指正。

第1章典型方程及其孤立波解
1．1歷史回顧
1．2孤立波——非線性會聚和色散現象的巧妙平衡
1．2．1波動中的非線性會聚現象
1．2．2波動中的色散
1．2．3兩種效應的平衡——KdV方程的解釋
1．3 KdV方程及其孤立波解
1．3．1 KdV方程的導出
1．3．2 KdV方程的孤立波解
1． 3．3廣義KdV方程的孤立波解
1．4非線性Schr6dinger方程與光孤子
1．4．1非線性Schrodinger方程的導出
1．4．2非線性Schrodinger方程的單孤立波解
1．4．3非線性Schrodinger方程行波形式的孤立波解
1．5非線性Sine一Gordon方程
1．5．1 Josephson效應和非線性Sine一（}ordon方程
1．5．2非線性Sine-Gordon方程的孤立波解
1．5．3非線性Sine-Gordon方程的呼吸子解
1．6 Burgers方程及其孤立波解
1．6．1交通模型——Burgers方程的導出
1．6．2 Burgers方程的孤立波解
1．6．3 Hopf—Cole變換

第2章反演散射方法與多孤立波解
2．1散射與反散 問題
2．1．1單孤子
2．1．2雙孤子解
2．2散射數據隨時間的演化
2．3解KdV方程反散射法的具體過程和反演定理的證明
2．4 KdV方程的n孤子解
2．4．1單孤子解
2．4．2雙孤子解
2．4．3 n孤子解
2．5反演散射法的推廣
2．5．1 Lax方程
2．5．2 AKNS方法
2．6非線性Schr6dinger方程的反演散射解法
2．6．1基本思路
2．6．2非線性Schr6dinger方程Lax對的確定
2．6．3直接散射問題（本徵值問題）
2．6．4散射數據隨時間￡的演化
2．6．5逆散射變換
2 ．6．6孤子解的構造

第3章BJicklund變換
3．1 BJicklund變換的定義
3．2 KdV方程的B／icklund變換
3．3 B／icklund變換與AKNS系統
3．4非線性疊加公式
3．4 ．1 KdV方程的非線性疊加公式
3．4．2 Sine-Gordon方程的非線性疊加公式
3．4．3互換定理的證明
3．5 B／icklund變換與反散射之間的關係

第4章Darboux變換
4．1概述
4．2 KP方程的Darboux變換
4．3 Darboux變換方法求耦合KdV-MKdV系統的新解
4．4廣義Darboux變換求解KdV方程和非線性Schradinger的畸形波解
4．4．1 KdV方程廣義Darboux變換
4．4．2 Schradinger方程的廣義Darboux變換

第5章Painlev性質與相似約化
5．1可積性與Painlev6性質
5．2 WTC算法
5．3相似變換與相似解
5．3．1引言
5．3．2偏微分方程的經典Lie群約化法
5．4非經典無窮小變換方法
5． 5求相似解的直接方法（CK方法）

第6章Hirota雙線性方法
6．1 Hirota雙線性變換的相關概念與性質
6．1．1基本概念
6．1．2 Hirota雙線性方法的具體步驟
6．2 Hirota方法用於高階方程和變係數方程
6．2．1四階非線性Schr6dinge：方程的Hirota方法求解
6．2．2求解2+1維Kadomtsev-Petviashvili型方程的：lcklund變換和孤子解
6．3非線性偏微分方程的幾種解法之間的關係
6．3．1引言
6．3．2 Bicklund變換法和Hirota雙線性方法的區別與聯繫

第7章特殊變換法求解非線性偏微分方程
7．1齊次平衡方法
7．1．1方法概述
7．1．2用齊次平衡方法求解KdV-Burgers方程
7．1．3用齊次平衡方法求解非線性方程組
7．2函數展開方法
7．2．1 tanh函數法
7．2．2 Jacobi橢圓函數展開法
7．2．3函數展開法的擴展
7 ．3首次積分法
7．3．1首次積分法的基本原理
7．3．2利用首次積分法求解Fitzhugh-Nagumo方程
7．3．3 Fisher方程的精確解
7．4 Wronskian行列式法

附錄A橢圓函數與橢圓方程
A1橢圓函數
A1．1問題的提出
A1．2橢圓積分的定義
A1．3橢圓函數
A1．4橢圓函數的性質
A2 Jacobi橢圓函數與橢圓方程
附錄B首次積分與一階偏微分方程
B1一階常微分方程組的首次積分
B1．1首次積分的定義
B1．2首次積分的性質和存在性
B2一階線性偏微分方程的解法
B2．1一階線性齊次偏微分方程
B2．2一階擬線性偏微分方程
附錄C與波動相關的概念和術語
C1基本概念
C2線性波與非線性波
C3色散波
C4線性波和非線性波的色散
C4．1線性波的色散
C4．2非線性波的色散
參考文