跟吳正憲學教數學1(簡體書)
商品資訊
系列名:大夏書系‧吳正憲教育教學文叢
ISBN13:9787567580954
出版社:華東師範大學出版社
作者:武維民; 張秋爽
出版日:2019/05/30
裝訂/頁數:平裝/222頁
規格:26cm*19cm (高/寬)
商品簡介
作者簡介
名人/編輯推薦
序
目次
書摘/試閱
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商品簡介
為滿足眾多教師對吳正憲老師課堂教學的學習願望,本書選取了近年來吳老師經典的 16個課例,並從一線教師的角度對教學實錄進行了分析,同時分享了令人印象深刻的課堂花絮,並且邀請專家進行了點評,以深刻挖掘吳老師課堂的教育價值。
作者簡介
武維民,北京市房山區教師進修學校副校長,小學數學特級教師,正高級教師,吳正憲小學數學教師工作站核心組成員,北京兒童教育研究所兼職教研員。先後參與了教育部農村教師遠程培訓、小學數學課標網絡培訓、國培等項目的培訓工作,參與研究的成果榮獲首屆國家級教學成果一等獎、北京市基礎教育成果一等獎。
張秋爽,北京市順義區教育研究考試中心小學數學教研員,小學數學特級教師,正高級教師,北京市學科帶頭人,曾被評為北京市先進教育工作者、優秀青年教師,在教育部課程發展中心的遠程培訓、西部農村教師培訓等項目中任主講教師。參與研究的成果榮獲首屆國家級教學成果一等獎、北京市基礎教育成果一等獎。
張秋爽,北京市順義區教育研究考試中心小學數學教研員,小學數學特級教師,正高級教師,北京市學科帶頭人,曾被評為北京市先進教育工作者、優秀青年教師,在教育部課程發展中心的遠程培訓、西部農村教師培訓等項目中任主講教師。參與研究的成果榮獲首屆國家級教學成果一等獎、北京市基礎教育成果一等獎。
名人/編輯推薦
◎本書精選數學名師吳正憲老師近年來經典的16個課例,突出了她的“兒童觀”, 體現了讓孩子們獲得“好吃又有營養”的數學教育。
◎以紀實的方式還原了課堂現場,兼具一線教師的細緻分析和專家的深刻點評,畫面可想像,理念可落實,行為可模仿,設計可借鑒,活動可操作,策略可遷移。
◎以紀實的方式還原了課堂現場,兼具一線教師的細緻分析和專家的深刻點評,畫面可想像,理念可落實,行為可模仿,設計可借鑒,活動可操作,策略可遷移。
序
序言
序言1 她是一位“四好老師”
2014年教師節前夕,習近平總書記與北京師範大學師生座談時提出好老師的四個標準,即要“有理想信念、有道德情操、有扎實學識、有仁愛之心”。怎樣做到這四個方面?那就請看《跟吳正憲學當老師》和《跟吳正憲學教數學》。
吳正憲是北京市數學特級教師。不僅北京的小學老師都知道她,全國的小學老師中也有許多她的崇拜者。她之所以有這樣的知名度,就是因為她完全符合“四好老師”的要求。
吳正憲熱愛孩子,熱愛教育事業。她把自己的生命融入小學數學教育。她認為,教師既有付出,也有收穫。收穫的是孩子們的真誠與渴望,是兒童成長的愉悅,是人生價值的實現。這種對教師的認識是成為好老師的最重要的基礎。
教育既是科學又是藝術。教育是科學,就要有扎實的學識。吳正憲不僅具有扎實的數學功底,而且具有廣闊的視野,在幾十年的數學教育生涯中建立了兒童數學教育理論體系。教育是藝術,要善於創造性地把知識傳授給學生。吳正憲的兒童數學教育理論體系就包含了兒童數學教育思想和教學藝術實踐兩個方面的內容,而教學藝術實踐體現了她的教學風格。
吳正憲認為,進行兒童數學教育,首先要瞭解兒童。兒童是獨立的自由主體,是活生生的人,是在發展成長中的人,因此要充分發揮兒童的積極性、主動性。這也是我一直主張的,學生是教育的主體,教師的主導作用就在於啟發學生的主體性思想。
教育是藝術,優秀教師必然有自己的教育風格。吳正憲的教育風格大家可以在本書中體會到,我不敢貿然概括。我聽過她的公開課,我的感覺是,她的教學明快流暢、緊扣主題、啟迪思維、步步深入、引人入勝。
《跟吳正憲學當老師》和《跟吳正憲學教數學》,是她的弟子,一批年輕教師記錄的吳正憲老師教書育人、做人做事等方面的故事,以及他們的感悟。書中沒有理論的說教,而是透過一個個鮮活的故事,講述吳正憲老師的教育思想和教育藝術;透過一個個生動的案例,講述吳正憲老師怎樣手把手地引領年輕教師的成長。這兩本書內容豐富,故事性強,具有可讀性,我相信讀者通過閱讀可以更深入地體會到一位好老師的精神實質和她的教育智慧,而且會得到某種啟迪,從而提高自己的教育品位。
顧明遠
2018年4月2日
序言2 一個有故事的教育家
吳正憲老師是一個有故事的教育家,故事就發生在她堅守了四十餘年的課堂教學實踐中,故事就發生在和她朝夕相處的學生、老師們中間。工作在吳正憲身邊的北京小學數學團隊的老師們,將自己經歷過的、觀察到的、感受到的,記錄下來彙編成了《跟吳正憲學當老師》《跟吳正憲學教數學》。書中一個個小故事和教學案例,讓我們看到了吳正憲老師不平凡的教育人生,同時也看到一支優秀的北京小學數學教師團隊在吳正憲的影響和帶領下如何成長為優秀教師的歷程。我想這會為當前大家關注的教師專業發展帶來許多思考與借鑒。
吳正憲從教四十餘年,她教過語文、數學,做了二十多年的班主任,深受孩子們的喜愛,家長的尊重與認可。她踐行的“兒童數學教育”,永遠把兒童放在心上,從兒童的視角、站在兒童的立場思考問題,傾聽兒童的聲音,喚起兒童的興趣和自信,幫助兒童學會交流與表達,引導兒童學會操作和探究,培養兒童學會“數學”地思考。
兒童教育的核心就是愛和尊重,沒有愛就沒有教育。而理解與讀懂兒童正是“愛與尊重”的體現。吳正憲善於走進兒童的內心世界,用童心去感悟童心。她尊重兒童的人格,有教無類;尊重兒童的個性,因材施教;尊重兒童成長的權利,滿足他們的發展需求。她成為兒童最重要的朋友,兒童學習的引路人。我認為真正讀懂每一個兒童並不容易,真正發自內心地尊重每一個兒童更不容易,吳正憲以對兒童和數學的熱愛,創造了兒童喜愛的數學課堂。吳正憲努力喚起基層教師對科學知識、實踐技能和美好價值觀的追求,從中收穫教師的職業幸福感。因此,我們要像吳正憲那樣以高尚的人格、仁愛之心、強烈的責任感、廣博的知識引領兒童學會學習,實現發展;在教學教育過程中人道地對待每個兒童,自始至終充滿溫情,努力喚醒兒童內在的良好願望,促進兒童的可持續發展。
吳正憲老師始終行走在兒童教育研究的道路上,把探索教育教學規律作為自己神聖的使命。自覺的學習、研究、反思、實踐是吳正憲工作的根基。她能夠以“兒童學習理論”“兒童學習數學理論”“兒童課堂教學理論”為依據,在課堂實踐中努力探索,逐步形成了自身的兒童數學教育特色。教師們和她的每一個課堂故事,都體現出她深厚的專業素養及教育智慧。
吳正憲老師始終行走在教師教育研究的道路上,把帶起一支優秀的教師隊伍當成自己的重要責任。她引領教師紮根課堂,潛心研究,歷練成長;她引領教師對“兒童數學教育思想”進行系統梳理、理論建構和實踐應用,完善兒童數學教育思想的理論體系和實踐策略,提升數學課堂教學質量;她積極開展基於教學實際問題設計及問題解決的互動式自主研修,將教師個體的經驗、研究、思考,通過專家引領、同伴交流,互為資源、共同分享,從而提升教師的研究品質和執教能力,促進整個教師群體專業能力的提升。
吳正憲是一位樂於助人、有思考又負責任的小學數學教師隊伍的引路人。她以先進的數學教育理念,深厚的教學功底,以及獨具特色的教學風格,影響著周邊的老師們。在她的悉心指導下,一支熱愛教育事業、教育理念先進、教學水平精湛的北京小學數學教師團隊成長起來。“愛兒童、善教學、會研究、守規律”成為團隊的共同努力方向。
吳正憲常說“做好老師先得做好人”。書中《小土豆的故事》《我不想讓您把我那一筆擦掉》《失敗一樣有意義》等故事讓我們感受到她對人的友善與真情,感受到她獨具特色的教育智慧。作為教師,她愛崗敬業,勤奮工作,德藝雙馨,深得孩子和老師們的信任與喜愛。作為社會人,她光明磊落,樂於助人,以寬容之心友善待人,獲得社會的認可與尊重。她全身心地投入教育事業,在追求高質量事業的同時,也在用心、用情關愛著身邊的每個人。
吳正憲真心地熱愛教育事業,有自己獨到的教育理念,能夠全面把握學科知識,會反思、會研究。作為一位教育家,她用行動努力踐行了黨和國家的期待――“師德的楷模,育人的模範,教學的專家”。
陶西平
2018年4月12日
序言3 我的摯友――正憲
我與正憲交往三十餘年,是名副其實的“忘年交”。前幾日,正憲讓我給工作站的成員們即將出版的這套書寫幾句話,作為序或前言。不管是什麼吧,我知道,她輕易是不打擾我的。既然這時候要我寫幾句話,第六感覺告訴我――這是必須的。於是,我就欣然答應了。
提起正憲,人們立刻就把一連串的稱謂、稱號和她聯繫在一起。這麼多年,她得到了各個層面的專家、教師、有識之士的讚美與褒獎。作為她的摯友,我真切地感受到:無論是讚美之詞,還是鮮花榮譽,這一切的一切都不為過!而今,我又重溫往日的點點滴滴,精心品讀她的創作與執著,即使用盡了美好的言語去誇讚她,依然覺得比起真實的她、感性的她,再華麗的辭藻也是那麼的蒼白。
從答應寫序開始,我的腦海中不知不覺地翻滾起思維的浪花,時而輕快蕩漾,時而洶湧澎湃;心情也是隨之時而輕鬆愉悅,時而暗自傷感。正憲是個純粹的“師者”,一路走來,歷經紛紛繁繁,看似平靜,但是在這份平靜之下,卻又有著難以想像的堅韌與執著。驀然,我格外地理解了魯迅先生說的那句話:“希望本是無所謂有,無所謂無的。這正如地上的路;其實地上本沒有路,走的人多了,也便成了路。”從“無”到“有”,不僅是創新、創造,更是修煉的過程。正憲這幾十年就是這樣一步步往前走出一條路,創出一條路。除了學生,她心無旁騖,她走出的這條路是任何人無法複製的。讓我慶倖和憂慮的就是,正憲只有一個,她獨一無二!
四十餘年的執著求索,儘管太多的無奈寫在她的眼中,儘管太多的精力灑在她的昨天,但最終能留下的都是美好的回憶。她的精神給人以指引,給人以力量!
一、剔透初心,寧靜致遠
“要敢於吃別人不願吃的苦頭,要樂於花別人不願意花的時間,要敢於下別人不願下的苦功。”這是正憲對自己的鞭策與激勵。正憲一路走來,靠的是刻苦?不,不完全是!靠的是激情?不,不完全是!靠的是拼搏?不,不完全是!
1980年代初,記得那時正憲的家在東城,孩子剛剛兩歲多,但是她每天早早地趕到朝陽區我所工作的學校,聽我上每天的第一節數學課。聽完課,我們簡單地交流幾句,她就匆忙地趕回當時的崇文區,回到自己的學校給學生上課。就這樣寒來暑往,雨雪風霜,從未停止過。聽課的日子,她甚至沒有晚到過一次!後來,聽我課的人越來越多了,正憲時常守在窗外聽課。時至今日,教室窗邊她那張青澀、白皙的面龐和聚精會神聽課的神態,我依然歷歷在目。
時間似潺潺溪水,溫婉地帶走光陰的故事,蕩滌心中的浮躁。歲月讓正憲從一個柔弱的小姑娘成長為一位歷經風霜的教學名家。很多人恭敬地稱呼她專家,導師,不,我們還是尊重她的選擇吧,她無論何時何地都是一位孩子喜歡的教師。
正憲長大了,她說:“我再也不是那個只管‘傳道、授業、解惑’的‘平面教師’,而是一個充滿情和愛,不僅給他們智慧還能給予他們力量的‘立體教師’。”
她耕耘在三尺講臺,猶如天使般呵護著每個學生。看到她在教育的田野裡奔跑的身影,聽到她在教育的田野裡歡快的笑聲,我感受到了她那份永恆的青春與淳樸,我理解她的辛苦與幸福。
正憲本有很多機會離開清苦的教育行業,去做主任或做區級領導。可她連想都不想一下,始終選擇靜下心來當教師,當孩子的朋友。她對學生的愛是神聖的,是真誠的。她尊重孩子、關心孩子,孩子融入了她的生命裡,她也走進了孩子們的心靈中。在她的課堂上,每位學生都是那麼興奮,都有說不完的話。下課了,孩子們總是意猶未盡,課下想方設法找吳老師彙報交流。
二、師法自然,大道至簡
正憲常說:“腳踏實地、厚積薄發、善於學習、重視積累、貴在堅持,在教育教學之改革之路上絕無捷徑可走。”教育的過程,是一個生長的過程,正憲的數學理念是,讓兒童在“好吃”中享受“有營養”的數學學習。她要培養學生的創新精神,喚起學生的創新意識,使學生想創造;她要培養學生的創造精神,使學生敢創造;她要提高學生的創新能力,使學生會創造;她要使學生體驗創新快樂,使學生愛創造。“一花一世界”,每個孩子都是鮮活的個體,獨有自己的本真。為此,她不斷地實踐探索,走進每個孩子的心靈。她給予孩子們智慧的同時還賦予他們力量與方向。這是面向
“全人”的教育,是“師者”最高尚的生命價值。
不經歷風雨,何以見彩虹?她也曾哭過、笑過,她也曾呐喊、彷徨,但是,她從沒有停止過對事業的追求。她成功了!她的志向更高遠了,她要更多的老師像她那樣喚醒更多的孩子。正憲帶動萬名老師提升,開展送課下鄉活動,提供菜單式服務,創造“1+10+n”的教師研修機制。她引領團隊從“學術”走向“悟道”,用純淨的心做教育的事,把專業的服務送給最需要的人。她授課的足跡,遍佈大江南北,發達的城市、偏遠的村寨,她都播撒了汗水、智慧與無疆之“大愛”,她讓所有的老師都自信地抬起頭來,享受高品位的職業幸福。
我含著淚水品讀《跟吳正憲學當老師》《跟吳正憲學教數學》,幾度因不忍而欲釋卷作罷,而對教育和正憲的那份牽掛又讓我欲罷不能。同伴們筆下流淌的文字是樸素的,是真誠的,是動人的,是滾燙的!這是獻給正憲的寶貴禮物,也是獻給教師的寶貴禮物。
在與正憲同行的歲月裡,因為她真誠地和大家一起冥思苦想、潛心研究,一起走進學生心裡,一起哭、一起笑,一起享受其中的苦辣酸甜……一次次的打磨,一次次的研討,一次次的較量,智慧的火花四濺,真摯的激情四射,老師們有了力量,心中有了底,老師們在成長……正憲是大家的戰友、兄弟、導師,她以赤誠之心、真摯之情,滋潤著老師們。在同行的道路上,她關心著、照顧著每位老師,一批批優秀老師在正憲的帶領下迅速成長。她告訴青年老師,優秀老師是摔打出來的,我們可以失敗,可以後悔,可以重新再來,我們唯一不可以的就是“放棄”!為了理想努力拼搏,心在遠方而路在腳下。
歲月可以改變普通的人,但是也有人可以改變、創造歲月,正憲就是這樣的人。她幾十年的奮鬥,詮釋著教育改革的華彩樂章;她精彩的教育生涯,譜寫著20世紀中國教育的最強音;她無私無畏地耕耘,在幾代人中播下為教育奮鬥的種子。
最後,我想借用王國維的話來給我的這篇雜感作收尾:“古今之成大事業者、大學問者,必經過三種之境界:‘昨夜西風凋碧樹,獨上高樓,望盡天涯路。’此第一境也。‘衣帶漸寬終不悔,為伊消得人憔悴。’此第二境也。‘眾裡尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處。’此第三境也。”
燈火闌珊處,正憲那清秀的笑臉越發清晰……
馬芯蘭
2018年4月2日
前言
走進吳老師“好吃又有營養”的數學課堂
經常有老師問:“怎麼才能像吳正憲老師一樣,創造出學生喜愛的數學課堂呢?”作為吳正憲小學數學教師團隊的成員,多年來我們也帶著這樣的疑問,一直在研究吳老師“好吃又有營養”的課堂,尋求吳老師課堂的魅力所在。
一、吳老師的課堂充滿“兒童味”
吳老師心中有兒童,她說激發興趣是引導兒童學習數學的第一要務。
她的課堂“教”的色彩很淡,“商量”的氣氛很濃,“為什麼”很多,留給兒童的“空間”很大,交流互動成為常態;她的課堂讓每個兒童都有機會表達自己的想法,“多樣的想法”層出不窮,或對或錯都會受到保護;她的課堂以“情景問題”為學習的載體,數學活動貫穿始終,每一位兒童的潛能都能得到發揮;她的課堂只有尊重,沒有歧視,每一位兒童都能看到自己前行的希望,每一位兒童都有重新躍起的機會。這樣的課堂容易使人產生親切感,這樣的課堂充滿童趣,兒童會動心、動情,從而擁有自信。
二、吳老師的課堂充滿“生活味”
吳老師善於從兒童的生活經驗出發,將數學活動置於真實的生活背景中,幫助兒童架設“知識世界”和“生活世界”的橋樑,重建兒童的生活世界。課程規定的數學知識,對兒童來說並不是“全新的”,在一定程度上是一種“舊知識”。在她的課堂上,數學不再是冷冰冰的知識,兒童會產生學習的需要,自覺進入學習狀態。她善於引導兒童對生活中的“數學現象”進行“重新解讀”,激活兒童原有的經驗,將數學抽象的內容附著在現實的背景中,把無聲的“數學文本”演繹成鮮活的“生活文本”,使兒童在數學課堂上享受精彩紛呈的生活數學,感受知識的產生和發展過程,發現和得出結論並逐步學會數學地思考。吳老師善於培養兒童用數學的眼光觀察生活的習慣和意識,同時又引導兒童把學到的數學知識運用到解決生活實際問題中去,體驗數學在實際生活中的價值,從而更加熱愛數學學習。
三、吳老師的課堂充滿“智慧味”
吳老師善於用哲學的視角審視數學教學,引導學生溝通知識間的內在聯繫,將知識連成知識鏈,構建成知識網,形成脈絡清晰的、立體的知識模塊,在不斷完善學生的認知結構的同時,讓學生獲得認識事物的普遍方法。她關注兒童的思維發展,努力創造以問題為核心的活動,引導兒童在活動中積累經驗,提升觀察、猜測、驗證、推理及概括的能力。她善於製造、把握和激發學生認識的矛盾,讓兒童的思維在跌宕中昇華,在解決矛盾的過程中感受智力活動的快樂。她不是簡單告訴兒童真理,而是引導兒童探求真理。數學教學不僅要讓兒童知道結論,更要帶著兒童追本溯源去尋根,去追問數學的本質,讓兒童看到顯性知識背後的思想和方法。
四、吳老師的課堂充滿“人情味”
吳老師用真情詮釋每一節課,用愛心喚醒學生的情感,讓課堂因為情感而溫暖,讓兒童感受到學習的過程即是生命成長的歷程。教師不僅要傳授知識,更要孕育情感,和兒童一起經歷生命成長的過程。她不僅滿足兒童求知的需要,更滿足兒童心理與生理發展的需求,在“自主探究,合作學習,體驗學習”中使兒童體驗到數學的魅力和數學在生活中的重要價值。她善於捕捉並用專業的智慧巧妙地處理課堂資源,把兒童的探索引向深入,使課堂呈現出靈動的生命狀態,流淌著溫暖和情義。
吳老師經常說:好課不是說出來的,不是靠觀課模仿出來的,好課一定是從心靈深處流淌出來的,好教師一定是在長期的教育教學實踐中摸爬滾打歷練出來的。吳老師創造了一節又一節兒童喜愛的課堂,聽著吳老師與兒童風趣幽默的對話,看著師生時而微笑、時而思考的表情,感受著課堂輕鬆愉悅的氛圍……我們知道這才是大家心中期待的兒童課堂。
為滿足眾多教師對吳正憲老師課堂教學的學習願望,我們選取了近年來吳老師經典的16個課例,並從一線教師的角度對教學實錄進行了分析,同時分享讓我們印象深刻的課堂花絮。為能深刻挖掘吳老師課堂的教育價值,我們還邀請專家進行了點評。在整理期間多次得到吳正憲老師的指導,在此向吳老師及各位專家表達我們深深的謝意。
由於水平有限,不能完全呈現吳老師課堂的原貌,不妥之處請讀者批評指正。希望吳正憲老師原汁原味的課堂,引發廣大一線教師對兒童的再思考,對課堂教學的再思考,對數學教育價值的再思考,對數學本質的再思考。期待每位老師都能努力創造出兒童喜愛的數學課堂,感受做一名數學教師的幸福。
武維民 張秋爽
序言1 她是一位“四好老師”
2014年教師節前夕,習近平總書記與北京師範大學師生座談時提出好老師的四個標準,即要“有理想信念、有道德情操、有扎實學識、有仁愛之心”。怎樣做到這四個方面?那就請看《跟吳正憲學當老師》和《跟吳正憲學教數學》。
吳正憲是北京市數學特級教師。不僅北京的小學老師都知道她,全國的小學老師中也有許多她的崇拜者。她之所以有這樣的知名度,就是因為她完全符合“四好老師”的要求。
吳正憲熱愛孩子,熱愛教育事業。她把自己的生命融入小學數學教育。她認為,教師既有付出,也有收穫。收穫的是孩子們的真誠與渴望,是兒童成長的愉悅,是人生價值的實現。這種對教師的認識是成為好老師的最重要的基礎。
教育既是科學又是藝術。教育是科學,就要有扎實的學識。吳正憲不僅具有扎實的數學功底,而且具有廣闊的視野,在幾十年的數學教育生涯中建立了兒童數學教育理論體系。教育是藝術,要善於創造性地把知識傳授給學生。吳正憲的兒童數學教育理論體系就包含了兒童數學教育思想和教學藝術實踐兩個方面的內容,而教學藝術實踐體現了她的教學風格。
吳正憲認為,進行兒童數學教育,首先要瞭解兒童。兒童是獨立的自由主體,是活生生的人,是在發展成長中的人,因此要充分發揮兒童的積極性、主動性。這也是我一直主張的,學生是教育的主體,教師的主導作用就在於啟發學生的主體性思想。
教育是藝術,優秀教師必然有自己的教育風格。吳正憲的教育風格大家可以在本書中體會到,我不敢貿然概括。我聽過她的公開課,我的感覺是,她的教學明快流暢、緊扣主題、啟迪思維、步步深入、引人入勝。
《跟吳正憲學當老師》和《跟吳正憲學教數學》,是她的弟子,一批年輕教師記錄的吳正憲老師教書育人、做人做事等方面的故事,以及他們的感悟。書中沒有理論的說教,而是透過一個個鮮活的故事,講述吳正憲老師的教育思想和教育藝術;透過一個個生動的案例,講述吳正憲老師怎樣手把手地引領年輕教師的成長。這兩本書內容豐富,故事性強,具有可讀性,我相信讀者通過閱讀可以更深入地體會到一位好老師的精神實質和她的教育智慧,而且會得到某種啟迪,從而提高自己的教育品位。
顧明遠
2018年4月2日
序言2 一個有故事的教育家
吳正憲老師是一個有故事的教育家,故事就發生在她堅守了四十餘年的課堂教學實踐中,故事就發生在和她朝夕相處的學生、老師們中間。工作在吳正憲身邊的北京小學數學團隊的老師們,將自己經歷過的、觀察到的、感受到的,記錄下來彙編成了《跟吳正憲學當老師》《跟吳正憲學教數學》。書中一個個小故事和教學案例,讓我們看到了吳正憲老師不平凡的教育人生,同時也看到一支優秀的北京小學數學教師團隊在吳正憲的影響和帶領下如何成長為優秀教師的歷程。我想這會為當前大家關注的教師專業發展帶來許多思考與借鑒。
吳正憲從教四十餘年,她教過語文、數學,做了二十多年的班主任,深受孩子們的喜愛,家長的尊重與認可。她踐行的“兒童數學教育”,永遠把兒童放在心上,從兒童的視角、站在兒童的立場思考問題,傾聽兒童的聲音,喚起兒童的興趣和自信,幫助兒童學會交流與表達,引導兒童學會操作和探究,培養兒童學會“數學”地思考。
兒童教育的核心就是愛和尊重,沒有愛就沒有教育。而理解與讀懂兒童正是“愛與尊重”的體現。吳正憲善於走進兒童的內心世界,用童心去感悟童心。她尊重兒童的人格,有教無類;尊重兒童的個性,因材施教;尊重兒童成長的權利,滿足他們的發展需求。她成為兒童最重要的朋友,兒童學習的引路人。我認為真正讀懂每一個兒童並不容易,真正發自內心地尊重每一個兒童更不容易,吳正憲以對兒童和數學的熱愛,創造了兒童喜愛的數學課堂。吳正憲努力喚起基層教師對科學知識、實踐技能和美好價值觀的追求,從中收穫教師的職業幸福感。因此,我們要像吳正憲那樣以高尚的人格、仁愛之心、強烈的責任感、廣博的知識引領兒童學會學習,實現發展;在教學教育過程中人道地對待每個兒童,自始至終充滿溫情,努力喚醒兒童內在的良好願望,促進兒童的可持續發展。
吳正憲老師始終行走在兒童教育研究的道路上,把探索教育教學規律作為自己神聖的使命。自覺的學習、研究、反思、實踐是吳正憲工作的根基。她能夠以“兒童學習理論”“兒童學習數學理論”“兒童課堂教學理論”為依據,在課堂實踐中努力探索,逐步形成了自身的兒童數學教育特色。教師們和她的每一個課堂故事,都體現出她深厚的專業素養及教育智慧。
吳正憲老師始終行走在教師教育研究的道路上,把帶起一支優秀的教師隊伍當成自己的重要責任。她引領教師紮根課堂,潛心研究,歷練成長;她引領教師對“兒童數學教育思想”進行系統梳理、理論建構和實踐應用,完善兒童數學教育思想的理論體系和實踐策略,提升數學課堂教學質量;她積極開展基於教學實際問題設計及問題解決的互動式自主研修,將教師個體的經驗、研究、思考,通過專家引領、同伴交流,互為資源、共同分享,從而提升教師的研究品質和執教能力,促進整個教師群體專業能力的提升。
吳正憲是一位樂於助人、有思考又負責任的小學數學教師隊伍的引路人。她以先進的數學教育理念,深厚的教學功底,以及獨具特色的教學風格,影響著周邊的老師們。在她的悉心指導下,一支熱愛教育事業、教育理念先進、教學水平精湛的北京小學數學教師團隊成長起來。“愛兒童、善教學、會研究、守規律”成為團隊的共同努力方向。
吳正憲常說“做好老師先得做好人”。書中《小土豆的故事》《我不想讓您把我那一筆擦掉》《失敗一樣有意義》等故事讓我們感受到她對人的友善與真情,感受到她獨具特色的教育智慧。作為教師,她愛崗敬業,勤奮工作,德藝雙馨,深得孩子和老師們的信任與喜愛。作為社會人,她光明磊落,樂於助人,以寬容之心友善待人,獲得社會的認可與尊重。她全身心地投入教育事業,在追求高質量事業的同時,也在用心、用情關愛著身邊的每個人。
吳正憲真心地熱愛教育事業,有自己獨到的教育理念,能夠全面把握學科知識,會反思、會研究。作為一位教育家,她用行動努力踐行了黨和國家的期待――“師德的楷模,育人的模範,教學的專家”。
陶西平
2018年4月12日
序言3 我的摯友――正憲
我與正憲交往三十餘年,是名副其實的“忘年交”。前幾日,正憲讓我給工作站的成員們即將出版的這套書寫幾句話,作為序或前言。不管是什麼吧,我知道,她輕易是不打擾我的。既然這時候要我寫幾句話,第六感覺告訴我――這是必須的。於是,我就欣然答應了。
提起正憲,人們立刻就把一連串的稱謂、稱號和她聯繫在一起。這麼多年,她得到了各個層面的專家、教師、有識之士的讚美與褒獎。作為她的摯友,我真切地感受到:無論是讚美之詞,還是鮮花榮譽,這一切的一切都不為過!而今,我又重溫往日的點點滴滴,精心品讀她的創作與執著,即使用盡了美好的言語去誇讚她,依然覺得比起真實的她、感性的她,再華麗的辭藻也是那麼的蒼白。
從答應寫序開始,我的腦海中不知不覺地翻滾起思維的浪花,時而輕快蕩漾,時而洶湧澎湃;心情也是隨之時而輕鬆愉悅,時而暗自傷感。正憲是個純粹的“師者”,一路走來,歷經紛紛繁繁,看似平靜,但是在這份平靜之下,卻又有著難以想像的堅韌與執著。驀然,我格外地理解了魯迅先生說的那句話:“希望本是無所謂有,無所謂無的。這正如地上的路;其實地上本沒有路,走的人多了,也便成了路。”從“無”到“有”,不僅是創新、創造,更是修煉的過程。正憲這幾十年就是這樣一步步往前走出一條路,創出一條路。除了學生,她心無旁騖,她走出的這條路是任何人無法複製的。讓我慶倖和憂慮的就是,正憲只有一個,她獨一無二!
四十餘年的執著求索,儘管太多的無奈寫在她的眼中,儘管太多的精力灑在她的昨天,但最終能留下的都是美好的回憶。她的精神給人以指引,給人以力量!
一、剔透初心,寧靜致遠
“要敢於吃別人不願吃的苦頭,要樂於花別人不願意花的時間,要敢於下別人不願下的苦功。”這是正憲對自己的鞭策與激勵。正憲一路走來,靠的是刻苦?不,不完全是!靠的是激情?不,不完全是!靠的是拼搏?不,不完全是!
1980年代初,記得那時正憲的家在東城,孩子剛剛兩歲多,但是她每天早早地趕到朝陽區我所工作的學校,聽我上每天的第一節數學課。聽完課,我們簡單地交流幾句,她就匆忙地趕回當時的崇文區,回到自己的學校給學生上課。就這樣寒來暑往,雨雪風霜,從未停止過。聽課的日子,她甚至沒有晚到過一次!後來,聽我課的人越來越多了,正憲時常守在窗外聽課。時至今日,教室窗邊她那張青澀、白皙的面龐和聚精會神聽課的神態,我依然歷歷在目。
時間似潺潺溪水,溫婉地帶走光陰的故事,蕩滌心中的浮躁。歲月讓正憲從一個柔弱的小姑娘成長為一位歷經風霜的教學名家。很多人恭敬地稱呼她專家,導師,不,我們還是尊重她的選擇吧,她無論何時何地都是一位孩子喜歡的教師。
正憲長大了,她說:“我再也不是那個只管‘傳道、授業、解惑’的‘平面教師’,而是一個充滿情和愛,不僅給他們智慧還能給予他們力量的‘立體教師’。”
她耕耘在三尺講臺,猶如天使般呵護著每個學生。看到她在教育的田野裡奔跑的身影,聽到她在教育的田野裡歡快的笑聲,我感受到了她那份永恆的青春與淳樸,我理解她的辛苦與幸福。
正憲本有很多機會離開清苦的教育行業,去做主任或做區級領導。可她連想都不想一下,始終選擇靜下心來當教師,當孩子的朋友。她對學生的愛是神聖的,是真誠的。她尊重孩子、關心孩子,孩子融入了她的生命裡,她也走進了孩子們的心靈中。在她的課堂上,每位學生都是那麼興奮,都有說不完的話。下課了,孩子們總是意猶未盡,課下想方設法找吳老師彙報交流。
二、師法自然,大道至簡
正憲常說:“腳踏實地、厚積薄發、善於學習、重視積累、貴在堅持,在教育教學之改革之路上絕無捷徑可走。”教育的過程,是一個生長的過程,正憲的數學理念是,讓兒童在“好吃”中享受“有營養”的數學學習。她要培養學生的創新精神,喚起學生的創新意識,使學生想創造;她要培養學生的創造精神,使學生敢創造;她要提高學生的創新能力,使學生會創造;她要使學生體驗創新快樂,使學生愛創造。“一花一世界”,每個孩子都是鮮活的個體,獨有自己的本真。為此,她不斷地實踐探索,走進每個孩子的心靈。她給予孩子們智慧的同時還賦予他們力量與方向。這是面向
“全人”的教育,是“師者”最高尚的生命價值。
不經歷風雨,何以見彩虹?她也曾哭過、笑過,她也曾呐喊、彷徨,但是,她從沒有停止過對事業的追求。她成功了!她的志向更高遠了,她要更多的老師像她那樣喚醒更多的孩子。正憲帶動萬名老師提升,開展送課下鄉活動,提供菜單式服務,創造“1+10+n”的教師研修機制。她引領團隊從“學術”走向“悟道”,用純淨的心做教育的事,把專業的服務送給最需要的人。她授課的足跡,遍佈大江南北,發達的城市、偏遠的村寨,她都播撒了汗水、智慧與無疆之“大愛”,她讓所有的老師都自信地抬起頭來,享受高品位的職業幸福。
我含著淚水品讀《跟吳正憲學當老師》《跟吳正憲學教數學》,幾度因不忍而欲釋卷作罷,而對教育和正憲的那份牽掛又讓我欲罷不能。同伴們筆下流淌的文字是樸素的,是真誠的,是動人的,是滾燙的!這是獻給正憲的寶貴禮物,也是獻給教師的寶貴禮物。
在與正憲同行的歲月裡,因為她真誠地和大家一起冥思苦想、潛心研究,一起走進學生心裡,一起哭、一起笑,一起享受其中的苦辣酸甜……一次次的打磨,一次次的研討,一次次的較量,智慧的火花四濺,真摯的激情四射,老師們有了力量,心中有了底,老師們在成長……正憲是大家的戰友、兄弟、導師,她以赤誠之心、真摯之情,滋潤著老師們。在同行的道路上,她關心著、照顧著每位老師,一批批優秀老師在正憲的帶領下迅速成長。她告訴青年老師,優秀老師是摔打出來的,我們可以失敗,可以後悔,可以重新再來,我們唯一不可以的就是“放棄”!為了理想努力拼搏,心在遠方而路在腳下。
歲月可以改變普通的人,但是也有人可以改變、創造歲月,正憲就是這樣的人。她幾十年的奮鬥,詮釋著教育改革的華彩樂章;她精彩的教育生涯,譜寫著20世紀中國教育的最強音;她無私無畏地耕耘,在幾代人中播下為教育奮鬥的種子。
最後,我想借用王國維的話來給我的這篇雜感作收尾:“古今之成大事業者、大學問者,必經過三種之境界:‘昨夜西風凋碧樹,獨上高樓,望盡天涯路。’此第一境也。‘衣帶漸寬終不悔,為伊消得人憔悴。’此第二境也。‘眾裡尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處。’此第三境也。”
燈火闌珊處,正憲那清秀的笑臉越發清晰……
馬芯蘭
2018年4月2日
前言
走進吳老師“好吃又有營養”的數學課堂
經常有老師問:“怎麼才能像吳正憲老師一樣,創造出學生喜愛的數學課堂呢?”作為吳正憲小學數學教師團隊的成員,多年來我們也帶著這樣的疑問,一直在研究吳老師“好吃又有營養”的課堂,尋求吳老師課堂的魅力所在。
一、吳老師的課堂充滿“兒童味”
吳老師心中有兒童,她說激發興趣是引導兒童學習數學的第一要務。
她的課堂“教”的色彩很淡,“商量”的氣氛很濃,“為什麼”很多,留給兒童的“空間”很大,交流互動成為常態;她的課堂讓每個兒童都有機會表達自己的想法,“多樣的想法”層出不窮,或對或錯都會受到保護;她的課堂以“情景問題”為學習的載體,數學活動貫穿始終,每一位兒童的潛能都能得到發揮;她的課堂只有尊重,沒有歧視,每一位兒童都能看到自己前行的希望,每一位兒童都有重新躍起的機會。這樣的課堂容易使人產生親切感,這樣的課堂充滿童趣,兒童會動心、動情,從而擁有自信。
二、吳老師的課堂充滿“生活味”
吳老師善於從兒童的生活經驗出發,將數學活動置於真實的生活背景中,幫助兒童架設“知識世界”和“生活世界”的橋樑,重建兒童的生活世界。課程規定的數學知識,對兒童來說並不是“全新的”,在一定程度上是一種“舊知識”。在她的課堂上,數學不再是冷冰冰的知識,兒童會產生學習的需要,自覺進入學習狀態。她善於引導兒童對生活中的“數學現象”進行“重新解讀”,激活兒童原有的經驗,將數學抽象的內容附著在現實的背景中,把無聲的“數學文本”演繹成鮮活的“生活文本”,使兒童在數學課堂上享受精彩紛呈的生活數學,感受知識的產生和發展過程,發現和得出結論並逐步學會數學地思考。吳老師善於培養兒童用數學的眼光觀察生活的習慣和意識,同時又引導兒童把學到的數學知識運用到解決生活實際問題中去,體驗數學在實際生活中的價值,從而更加熱愛數學學習。
三、吳老師的課堂充滿“智慧味”
吳老師善於用哲學的視角審視數學教學,引導學生溝通知識間的內在聯繫,將知識連成知識鏈,構建成知識網,形成脈絡清晰的、立體的知識模塊,在不斷完善學生的認知結構的同時,讓學生獲得認識事物的普遍方法。她關注兒童的思維發展,努力創造以問題為核心的活動,引導兒童在活動中積累經驗,提升觀察、猜測、驗證、推理及概括的能力。她善於製造、把握和激發學生認識的矛盾,讓兒童的思維在跌宕中昇華,在解決矛盾的過程中感受智力活動的快樂。她不是簡單告訴兒童真理,而是引導兒童探求真理。數學教學不僅要讓兒童知道結論,更要帶著兒童追本溯源去尋根,去追問數學的本質,讓兒童看到顯性知識背後的思想和方法。
四、吳老師的課堂充滿“人情味”
吳老師用真情詮釋每一節課,用愛心喚醒學生的情感,讓課堂因為情感而溫暖,讓兒童感受到學習的過程即是生命成長的歷程。教師不僅要傳授知識,更要孕育情感,和兒童一起經歷生命成長的過程。她不僅滿足兒童求知的需要,更滿足兒童心理與生理發展的需求,在“自主探究,合作學習,體驗學習”中使兒童體驗到數學的魅力和數學在生活中的重要價值。她善於捕捉並用專業的智慧巧妙地處理課堂資源,把兒童的探索引向深入,使課堂呈現出靈動的生命狀態,流淌著溫暖和情義。
吳老師經常說:好課不是說出來的,不是靠觀課模仿出來的,好課一定是從心靈深處流淌出來的,好教師一定是在長期的教育教學實踐中摸爬滾打歷練出來的。吳老師創造了一節又一節兒童喜愛的課堂,聽著吳老師與兒童風趣幽默的對話,看著師生時而微笑、時而思考的表情,感受著課堂輕鬆愉悅的氛圍……我們知道這才是大家心中期待的兒童課堂。
為滿足眾多教師對吳正憲老師課堂教學的學習願望,我們選取了近年來吳老師經典的16個課例,並從一線教師的角度對教學實錄進行了分析,同時分享讓我們印象深刻的課堂花絮。為能深刻挖掘吳老師課堂的教育價值,我們還邀請專家進行了點評。在整理期間多次得到吳正憲老師的指導,在此向吳老師及各位專家表達我們深深的謝意。
由於水平有限,不能完全呈現吳老師課堂的原貌,不妥之處請讀者批評指正。希望吳正憲老師原汁原味的課堂,引發廣大一線教師對兒童的再思考,對課堂教學的再思考,對數學教育價值的再思考,對數學本質的再思考。期待每位老師都能努力創造出兒童喜愛的數學課堂,感受做一名數學教師的幸福。
武維民 張秋爽
目次
目錄
序言1 她是一位“四好老師”/顧明遠// 1
序言2 一個有故事的教育家/陶西平// 3
序言3 我的摯友——正憲/馬芯蘭// 5
前言 走進吳老師“好吃又有營養”的數學課堂// 9
1在生活中尋找數學——《平移與旋轉》課例// 1
2在遊戲中理解“倍”——《倍的認識》課例// 12
3畫出來的“關係”——《解決問題》課例// 25
4從自己提出的問題開始——《估算》課例// 39
5給學生自主的時間與空間——《分數的初步認識》課例// 55
6會說話的“圈圈”——《重疊問題》課例// 65
7溯本求源,體會“度量”——《面積的認識》課例// 77
8“刷”出來的乘法原理——《搭配中的學問》課例// 92
9自主構建數學模型——《乘法分配律》課例// 105
10細化單位,精准表達——《小數的意義》課例// 117
11有意思又有意義的平均數——《平均數》課例// 135
12從課堂裡生長出來的“問題串”——《小數除法》課例// 154
13“符號意識”在這裡萌芽——《用字母表示數》課例// 172
14會講故事的方程——《方程的認識》課例// 185
15“淺入深出”讓“比”平易近人——《比的認識》課例// 195
16在“做數學”中創造——《圓的認識》課例// 209
後 記// 221
序言1 她是一位“四好老師”/顧明遠// 1
序言2 一個有故事的教育家/陶西平// 3
序言3 我的摯友——正憲/馬芯蘭// 5
前言 走進吳老師“好吃又有營養”的數學課堂// 9
1在生活中尋找數學——《平移與旋轉》課例// 1
2在遊戲中理解“倍”——《倍的認識》課例// 12
3畫出來的“關係”——《解決問題》課例// 25
4從自己提出的問題開始——《估算》課例// 39
5給學生自主的時間與空間——《分數的初步認識》課例// 55
6會說話的“圈圈”——《重疊問題》課例// 65
7溯本求源,體會“度量”——《面積的認識》課例// 77
8“刷”出來的乘法原理——《搭配中的學問》課例// 92
9自主構建數學模型——《乘法分配律》課例// 105
10細化單位,精准表達——《小數的意義》課例// 117
11有意思又有意義的平均數——《平均數》課例// 135
12從課堂裡生長出來的“問題串”——《小數除法》課例// 154
13“符號意識”在這裡萌芽——《用字母表示數》課例// 172
14會講故事的方程——《方程的認識》課例// 185
15“淺入深出”讓“比”平易近人——《比的認識》課例// 195
16在“做數學”中創造——《圓的認識》課例// 209
後 記// 221
書摘/試閱
有意思又有意義的平均數
――《平均數》課例
一、感知“平均數”,激活兒童已有經驗
上課伊始,吳老師開門見山地問道:“你們聽說過平均數嗎?”一個小男孩站起來說:“我們班數學考試後,老師會算一個平均分,這個就是‘平均數’吧?”吳老師評價道:“真好,你們都想起來了。對的,考試的平均數就是你們班的平均分。”大家不約而同地點點頭,似乎都在回憶。“看來考試算平均分這事兒你們印象挺深刻啊!最近一次考試中,你們都得了多少分?”吳老師順勢問道。學生們紛紛說出自己的成績。吳老師走向黑板,邊畫邊說:“咱們簡單記錄一下,用A、B、C、D、E……來代替同學們的名字。從這開始是60分、70分、80分……(見下圖)。A得100分,B得62分,C得73分,D得92分,E得80分……這麼多同學的分數呢。”
“平均分是怎麼得來的,你們知道嗎?”吳老師不緊不慢地問。“把我們班所有同學的分數加起來再除以全班的人數就是平均分。”“我們班有47人,那次考試平均分是92分。”“就是把你的、我的、他的分數合起來,再除以總人數。”同學們你一言我一語地表述著自己對平均分的理解。
吳老師板書:
(100+62+73+92+80+……)÷47=92
“你們是怎麼理解這個92分的呢?”
吳老師追問道。梳著馬尾的小女孩站起來補充說:“比平均分92少的人就被高分的人給拉上去了,要是超過92分,就會被低分的人給拉下來。”吳老師稱讚道:“‘拉’這個詞用得真好!”她一邊打手勢,一邊詢問:“就是低分會被高分拉上去,高分又被低分往下拉,是嗎?”同學們堅定地點點頭,十分贊同。
吳老師故作好奇地問:“你們班平均分是92分,你們每個人的成績都是92 分嗎?”“不一定,我就得了96分。”“我得了93分。”學生們搶著回答。“那會有人比92 分低嗎?” 吳老師自言自語地說。學生馬上七嘴八舌地回答:“可能有的同學會得82分、71分……”“看來有的同學會比92分高,有的會比92分低。高高低低的,結果這麼一除就……”還沒等吳老師說完,下面的同學就搶著說道:“就平等了。”“對,平等的這個92分就反映著你們班全體同學這次考試的整體水平。有很多同學的分數會擁擠在92分周圍,有的離平均分數近一些,有的離它遠一些。有了平均分,我們就可以比較出不同人數的兩個班級考試成績的高低。因為它代表了班級的整體水平,我們也可以說這個平均數具有代表性。”(板書:代表性)
[賞析:借助真實的情境,對接兒童自身已有的經驗,初步感知平均數的意義,感受平均數具有“代表性”的特徵。]
二、走進“平均數”,豐富兒童對“平均數”的理解
隨後,吳老師請四位同學用磁扣擺出了3、6、7、4這四個數,引導同學們觀察並估計這四個數的平均數可能是幾。同學們你一言我一語:“5、6、8、……” 聲音此起彼伏。
吳老師並不急於給出答案,而是讓學生自己獨立思考,並寫出計算過程。她根據學生計算的結果,在圖上五顆磁珠的地方畫了一條水平直線,轉身對估8的那位同學說:“快問問大家為什麼不估8呢。”
小女孩不好意思地看向大家:“你們怎麼不估8呢?”一個小男孩理直氣壯地說:“你想想最大的數才是7,平均數絕不可能比7還大啊。”小女孩若有所悟地點點頭:“明白了,應該在裡面估。”吳老師不禁感歎道:“原來平均數在最大數和最小數之間,比最小的數大,比最大的數小,平均數的‘家’是有範圍的。”
隨著討論的深入,吳老師將表現的機會留給那些沉默的學生,請他們到黑板前將磁扣自然移動,體會在“移多補少”的過程中得到平均數。
同學們步步緊隨,而吳老師的問題也接踵而來:“假如E是20,平均數會有什麼變化?”“會拉高。”“假如E是1,平均數又會有什麼變化?”吳老師繼續追問。“會拉低。”隨著學生的回答,吳老師比畫著:“看來每增加一個新數,都會對‘平均數’產生影響。此時的你們,對‘平均數’又有什麼新感覺?”學生思索著:“‘平均數’會變。”“‘平均數’容易上下波動。”
捕捉到學生的思考,吳老師又適時地講起,前兩天她在《社會與法》欄目給警官們做評委的事,並提出了自己的疑問:“每一次評委們亮分的時候,主持人總會說:‘去掉一個最高分,去掉一個最低分。’這是為什麼?”學生爭先恐後地舉起了他們的手:“因為一個最高分或者最低分都會影響‘平均分’。”吳老師微笑著說:“是啊,你們對‘平均分’的感覺越來越豐富了。你看,來了一個大數,平均數就得跟著往上跑;來了一個小小的數,平均數就得跟著往下跑。
所以為了公平,需要先去掉一個最高分,再去掉一個最低分。看來平均數雖然具有‘代表性’,可是它也很脆弱啊,容易受其他數的影響而發生變化。”
[賞析:估一估的活動,用數形結合的形式展示出估的結果,讓兒童更直觀地認識到平均數介於一組數據的最大值與最小值之間;評委的生動例子幫助兒童認識平均數的敏感性――易受極端數字的影響而變化。兩個巧妙的活動,沒有複雜的設計,都在層層對話中展開,隨著對話的深入兒童更加深刻地感悟平均數的特點,對平均數的認識也更加全面、立體、豐富。]
三、解決真問題,感悟平均數的統計意義
1.在真實情境中,感悟平均數的應用價值
課堂似乎恢復了平靜,此時,吳老師的一個新問題再一次引發了學生深入地思考:“有這樣一件事情,需要你們幫助有關部門領導作決策。”
某市原執行的六歲以下兒童乘車免票的標準是“1.1米”,需要修改。假如你是該部門領導,你打算怎麼做?
學生們紛紛舉手想表達自己的想法。吳老師揮揮手:“不急,先獨立思考,想好了就和同桌商量商量。”吳老師走進同學們中間,聆聽他們的討論並參與其中。
[賞析:平均數統計意義的理解要基於真實的、現實的情境。選取“修改兒童乘車免票標準”這一問題情境,具有一定的挑戰性、開放性,激發兒童自主探究的願望。]
2.在對話質疑中,培養“數據分析觀念”
熱烈地討論結束後,吳老師組織大家進行了分享。“我覺得應該看年齡決定是不是免票。”吳老師有所質疑地問:“那我們上車都拿著戶口本嗎?”其他學生也迫不及待地喊道:“不行。”一個小男孩著急地說道:“我們小組定的新標準是身高1.3米以下的都可以免票。”
吳老師向大家望去,緩緩地說:“你們都同意這樣作決定?有問題嗎?”“你們小組憑什麼定免票標準是1.3米啊?”後排的學生質疑道。吳老師稱讚道:“這話問得真好。”接著,她來到那個小男孩面前,問:“你想說什麼?”男孩補充道:“我們感覺差不多6歲的孩子能長到1.3米就算夠高的了,所以就定1.3米了。”
吳老師若有所思地說:“領導啊,你們一拍腦袋就定1.3米啦?僅憑感覺這樣也太隨意了吧?其他同學有問題嗎?”一個小女孩站了起來,繼續補充:“你們小組又沒調查,怎麼定的1.3米?”吳老師追問:“什麼?‘調查’是什麼意思?能說說你們的意見嗎?”“先得調查調查6歲兒童到底長多高啊!”“我聽出來了,一種意見是憑感覺就定1.3米以下免票,另外一種是先調查。要想知道6歲兒童的身高是多少,怎樣調查呢?”吳老師不緊不慢地引導著同學們。終於,一個小男孩站起來說:“把某市所有6歲兒童的身高都測量出來,再求出平均身高,就可以定新標準了。”聽了這位同學的回答,吳老師若有所思地重複著學生的話:“你的意思是把所有兒童的身高量一量,再求平均數來解決這個問題?”這樣的重複卻把同學們引入了靜靜的思考之中。
沉默了一段時間後,有一個孩子迫不及待地說:“所有的兒童都量,也太麻煩了。”面對這個學生的質疑,吳老師繼續把問題拋給學生們:“你們有什麼好的建議嗎?”“可以在網上搜集。”吳老師及時肯定了孩子的想法:“你的信息素養還挺高,上網搜集是個辦法。還有什麼別的建議嗎?”一個轉折,適時提醒了學生們思考的方向。終於,在吳老師不斷啟發下,一個小男孩站起來說:“可以先找來一些小朋友,量一量他們的身高,再根據這些數算出平均身高。”“測量就可以知道身高數據了,為什麼還要算出平均數呢?”吳老師反問道。學生們急切地表達自己的想法:“因為多數人的身高都圍在‘平均數’的左左右右。”“對,‘平均數’能反映出這一組數據的一般水平,它具有代表性。”吳老師總結道。
在吳老師一步一步的引導下,學生們的思維也變得更加活躍,思考也更具深度,並且敢於質疑老師。
在吳老師帶領學生們回顧反思的過程中,一些同學的手始終沒有放下來,甚至大聲喊了出來:“老師,我有問題。”吳老師沒有忽視學生的提問,而是走到他面前,說:“你為什麼不同意?”“選代表也不準確,如果選的都是矮的或者都是高的,就不行了。”學生急切地說道。“你的意思是選代表的時候,不能刻意挑選,會影響數據的客觀性,所以要隨機選代表。”學生不約而同發出了“嗯”的贊同聲。
吳老師吃驚地問:“你們知道隨機是什麼意思?”“就是隨便選,不自己挑。”吳老師露出會心的笑容:“對,就是這個意思。把隨機選的代表的身高進行統計,再算出這些人的平均身高,基本上就能夠代表全市6歲兒童的平均身高了。到底選多少代表合適,統計學上也是有講究的,等你們長大了,隨著知識的增加就會理解了。”對於這個問題,學生仍心存疑惑:“選代表靠譜嗎?”吳老師停頓了一會兒,舉例說道:“你們見過這樣的情景嗎:媽媽做湯時要想知道鹹不鹹,怎麼辦呢?”“用小勺盛一點兒,嘗一嘗就知道了。”“對呀,媽媽不用把一鍋的湯都喝了才知道味道吧?這也是選擇其中的一部分來說明整體啊。”吳老師打趣道。課堂上又傳來一陣笑聲。
學生們已漸入佳境,吳老師順勢出示課前搜集到的一些身高的數據(見下圖),說道:“下面咱們就模擬一次有關部門處理這些數據的過程。假如此次調查選擇了8000位代表。你們準備怎麼辦?”“把這些數都加起來,再除以8000。”
板書:
(118+113+120+105+135+127+122+……)÷8000
“如果平均身高是120釐米,我們的免票標準就是……”“120釐米。”同學們異口同聲地回答。吳老師並沒有著急否定,而是露出一副疑惑的神情:“真的是這樣嗎?”隨後讓學生們繼續討論起來。
等待就會有收穫。終於有個學生說:“我覺得很多小朋友的身高,高高低低的都在120釐米的周圍。如果免費標準定在120釐米,只照顧了身高120釐米以下的一部分人,比120釐米高的小朋友怎麼辦呢?”“這個意見真好,大家聽懂了嗎?”眾生點頭。“是啊,這麼多高高低低的數據都擁擠在120釐米的周圍,你們有什麼好建議?”“改成122釐米、125釐米、130釐米……”吳老師走向黑板,畫了一些豎線,引領學生們體會著這個同學的意思。
“這些豎線分別表示小朋友們的身高有100釐米、110釐米、120釐米、 130釐米……,如果只定在120釐米這裡,就只滿足低於120釐米的人,所以你們還想往後放一放,這樣會有更多的人能享受免票待遇。到底放多少,這在統計學上也是很有講究的,隨著知識的增加你們會理解的。其實,標準定在哪裡,現在已經不重要了,重要的是你們親自經歷了對數據收集、分析、思考、整理的過程。”
吳老師接著說,“其實不管放寬到哪裡,‘平均身高’反映了這群數據的整體情況,是我們作出決策的重要依據。” 學生們點點頭感歎道:“平均數太重要了。”
[賞析:借助真實問題解決過程,引發兒童認知衝突,激勵兒童的大膽質疑。引導兒童經歷數據分析、運用平均數解釋生活現象及解決生活問題的過程,感受平均數的價值與統計意義。同時在不斷對話、質疑、思考中,培育兒童的“數據分析觀念”,即通過從網上收集、統計全部數據到抽樣收集數據的多種方法的獲得中,使兒童獲得從隨意性的經驗判斷到利用數據解決問題的經驗,逐步形成合理地解決問題的能力,進而感受調查研究、整理收集分析數據的必要性,進一步理解平均數具有“代表性”的重要意義。]
3. 在特殊情況中,體會“隨機性”
“這個政策一宣佈,家長兒童會更開心,皆大歡喜。”正當學生們為自己的判斷感到滿意時,吳老師話鋒一轉:“你們看,姚明領著高高的女兒來了。一上車就問售票員,我女兒還不到6歲,為什麼要買票啊?”在新情境的引導下,新一輪的討論開始了。
吳老師問:“你怎麼向姚明叔叔解釋啊?”“姚明叔叔對不起,您的孩子太高了。”“姚明叔叔,您孩子的情況比較特殊,我們不能照顧到所有的人啊。”“姚明叔叔,太高的也照顧不了,您女兒是特殊的人。”學生們臉上寫滿了歉意,似乎真的在與姚明對話。吳老師眼中充滿了對學生們的欣賞,稱讚道:“你們對數據的感覺真好!是的,我們雖然以‘平均數’為依據制定標準,但平均數只能代表一般情況,事情總有特例。”
吳老師總能帶給孩子意想不到的問題,在一次次的問題解決中,孩子們對於平均數的應用意識更加清晰了。
[賞析:讓學生感受平均數的本質意義是代表一組數據的“一般水平”,即大多數數據會在平均數上下浮動,但是也存在特殊數據,體會數據的隨機性。]
四、回顧反思,梳理總結
在最後的分享收穫環節,學生們爭先恐後地說:“我會算平均數,還知道生活中會用到平均數。”“平均數的‘家’是有範圍的,它長在一組數據中的最大數和最小數之間。”“平均數會變化,來了一個新數,它就會被拉高或拉低。”“平均數真厲害,還能解決修訂免票標準這樣的難題。”課前“拍腦門作決定”的學生也站了起來,認真地說:“通過學習,我懂得了收集數據很重要,不能只憑自己的感覺作決定,有了數據才能定得更準確。”
吳老師認真地聽著同學們的發言,點頭表示贊同,並稱讚道:“你們對平均數的感覺越來越豐富、
越來越全面了。而且,你們還體會到數後面承載著信息,懂得了凡事要進行調查研究,根據數據作判斷、作決策的道理。今天我們初步走進平均數,以後還會不斷用到平均數,你們會更深刻地理解平均數。”
學生們的臉上洋溢著幸福的笑容,絲毫沒有因為課堂的45分鐘而感到疲倦。
[賞析:通過回顧整理總結,幫助兒童積累數學思考的經驗和解決問題的經驗,讓經驗駐足。從情感層面,有的孩子感覺這節課很有趣。從知識層面,有的孩子說,知道了什麼叫平均數,平均數怎麼算,而且提到了生活中可以運用平均數來解決問題;還有的孩子說到平均數的特點,它很脆弱,很善變,總會隨著數據變化。而從學習經驗層面,最開始憑感性認識確定一米三的孩子說到以後遇事要作調查研究。可喜的是,我們看到了孩子們在這節課上得到了不同層面的發展,這也許才是教育的真諦。]
評 析
打造經典
――觀摩吳正憲老師《平均數》一課的幾點感想
最近有幸兩次觀摩著名數學特級教師吳正憲執教的《平均數》,並與她有過比較深入的交流,感想頗多,很願意與同行們分享。
吳老師在數學課堂上的親和力與教學機智早已在小學數學界廣為流傳,形成眾多的“粉絲”。雖然我也很喜歡吳老師的教學風格,而且我認為在小學階段,通過老師的教學魅力讓孩子們喜歡上數學課、進而喜歡數學是最重要的,但這裡我想著重談談吳老師這堂課的教學設計。
2005年,萊什等人提出“數學教育是一門設計科學”的觀點,得到了許多人的贊同。作為一門設計科學,除了基礎理論外,更重要的是富有創意的設計和可以成為經典的作品。在教師的日常教學工作中,所從事的實際上都是設計的工作,從單元教學設計到課堂導入的設計,從問題情境的設計到課堂活動的設計,等等。可以說,我們並不缺課堂教學設計的“課例”,缺的是可以成為經典的“作品”。
吳老師的這堂《平均數》是不是可以成為經典,當然不是哪個人說了就算的。但就我自己而言,這堂課帶給我的思考和啟發是很多的。下面,我就從教學設計的角度簡單地談幾點。
一、作為數學概念的“平均數”與作為統計概念的“平均數”
我們知道,數學和統計學都是一級學科,這意味著數學與統計學在研究問題、研究方法等方面都是有本質區別的。“平均數”的概念在數學中和統計學中都有,數學中的“平均數”可以看作兩個數的“平分”(算術平均),也可以看作是數軸上兩個點的“中點”,還可以看作兩條線段的“取長補短”(梯形的中位線)。那麼,統計中的“平均數”有什麼不一樣的特點呢?怎樣才能在《平均數》課中上出“統計味”呢?
吳老師這堂課是通過讓學生回憶最近一次數學考試的平均成績引入“平均數”的概念的。雖然這是一個很平常的課堂導入方式,但其中的幾點設計還是很有啟發性的:
首先,雖然在許多《平均數》的課例中都是通過平均成績導入的,但一些老師用的是“某個班級的某次考試成績”,而吳老師用的是“我們班最近一次數學考試成績”。前者是一種虛擬情景,其中數據是沒有真實含義的,後者不僅數據是真實的,而且與每個同學都有直接的聯繫。這裡就反映了數學與統計的一個區別,統計中的數據應該是真實的、有意義的,每個同學都可以運用這些數據講自己的故事。
其次,如果只是讓學生依據每個人的成績計算平均成績,那就是一個數學過程。吳老師沒有“到此為止”,而是讓學生考慮自己的成績與“平均成績”的關係:誰的成績比平均成績低?誰把平均成績“拉高”了?這個平均成績“代表”了什麼?這些問題很好地反映了統計與數學的區別。“平均數”是一個統計量,它“代表”了這組數據的一種數量特徵,這組數據中的每個數雖然與“代表”都有關係,但“親密程度”並不一樣。在我最近觀摩的吳老師的另一堂《平均數》的課中,吳老師還讓學生討論:“平均成績”有什麼意義?孩子們居然發現了四種意義:除了上述的“代表性”外,還“可以推測每個同學在這次考試中的位置”,“反映了我們班這次考試的總體水平”,“可以和其他班級比較”。我覺得,學生似乎已經開始嘗試用統計的方式思考問題了。
二、數學中的“問題解決”與統計中的“問題解決”
我們對數學中的“問題解決”,通常會給出一個明確的“答案”:或者是一個明確的數量和表達式,或者是判斷一個命題的真假。即使是在“很不確定”的數學建模活動中,要找的仍然是“確定”的數學關係,運用的是“確定”的推理方法,依據的是“確定”的數學理論。
那麼統計呢?統計中的“問題”與數學中的“問題”有區別嗎?“答案”有區別嗎?解決問題的思路、標準有區別嗎?我覺得,吳老師這堂課就是一個有代表性的“樣本”,可以幫助我們去理解上面這些問題。
在課堂上,吳老師和孩子們要解決的是下面這個實際問題:
某市原執行的六歲以下兒童乘車免票的標準是“1.1米”,需要修改。假如你是該部門領導,你打算怎麼做?
這是一個典型的統計決策問題。在解決這個問題的過程中,吳老師和孩子們大概經歷了以下幾個階段:
階段1:確定決策目標。
某市相關管理部門想要達到的目標是:讓六周歲以下的兒童可以免票乘車。這個目標看起來是明確的,但實際操作起來就出現了“問題”:乘車時如何證明一個兒童沒有超過六周歲?讓每個兒童都隨身帶著戶口本或身份證,這顯然是不現實的。可行的辦法是像以前一樣,用身高作為判斷是否可以免票乘車的標準。那麼,用誰的身高呢?領導“拍腦袋”行嗎?孩子們經過討論,得出的比較合理的做法是:考慮六周歲兒童的平均身高。於是便進入了第二階段。
階段2:提出統計問題。
需要解決的問題是:全市六周歲兒童的平均身高是多少?這是一個典型的只有通過統計才能解決的問題,因為“六周歲”是一個不確定的概念,而全市六周歲兒童是一個“海量”數據,我們不可能“算”出全市六周歲兒童平均身高的精確值。那麼統計是如何處理的呢?於是便進入第三階段。
階段3:收集數據。
要收集的是全市六周歲兒童的身高數據。那麼如何收集呢?有學生提出“網上收集”,有學生說“先找來一些小朋友,量一量他們的身高”,於是自然產生了數據的“代表性”和“隨機性”問題。能從四年級小學生口中聽到“隨機選代表”的說法出乎我的意料,這也再次印證了我們不能低估兒童的觀點。在這堂課上,孩子們想了許多“隨機選代表”的辦法,雖然這些辦法還算不上真正的隨機抽樣,但至少他們已經具備了隨機性的初步概念。
階段4:數據處理。
在“隨機”選出8000名“代表”後,吳老師和學生一起對數據進行了兩方面的處理:一是計算平均數;二是畫出下面的數據分佈圖。
就我而言,這是我第一次在小學的課堂裡看到統計量的分佈圖,我相信,四年級學生的頭腦中不可能有“正態分佈”這樣的概念,但不妨礙他們對這種分佈圖產生直觀的認識,而這種直觀認識對於形成統計直覺來說是非常重要的。
階段5:統計決策。
在計算出了全市六周歲兒童的平均身高120釐米之後,就到了“依據統計結果進行決策”的階段,但很快,孩子們又發現了問題:用平均身高120釐米作為免票乘車的標準是否合適?孩子們都認為不合理,因為按照這樣的標準可以免票的差不多只有一半的兒童。於是,問題沒有解決:到底如何定標準才合理?有學生提出增加2釐米、5釐米、10釐米……雖然在這一階段,學生還很難給出更為合理的“標準”,但我相信,以後他們會想到更多的辦法,除了平均數以外,還可以用眾數、中位數、四分位數、正態分佈等等,因為這個“問題”已經成為一顆“種子”埋在孩子們的心田裡,會開出統計思維的花朵。
階段6:考慮例外。
這種情況在中小學的統計課中很少看到,但在吳老師的這堂課裡卻很自然地出現了。“姚明的女兒”使孩子們意識到凡事總有特例。我想,這不僅僅是一個有趣的問題,更重要的是可以幫助孩子們理解統計的本質:用統計方法進行決策時通常是有例外的,因為統計學研究的是不確定現象,也正因為這樣,統計學離不開概率論。
通過上面的活動過程,我覺得,學生至少可以體驗到:
●數據是可以幫助我們作決策的;
●為了使決策公平,數據必須有代表性;
●可以通過很多方法得到數據,不同方法得到的數據可能是不一樣的,由此算出的平均數也可能會發生變化;
●在依據數據作決策時需要先制定一個標準,但不管標準如何定,都可能有例外的情況;
●……
我想,上述這些體驗對於學生來說是很重要的。也許有人會說,這對小學生來說太難了,他們不可能理解的。我想說的是,那有什麼關係呢?這些體驗會幫助他們在適當的時候理解的;更何況,我們常常低估孩子們的潛能。
在寫結束語時,我又想起了前面的問題:吳老師的《平均數》是不是可以成為經典?我相信,這堂課是可以成為經典的。這不僅是因為吳老師上過很多次不同版本的《平均數》,也不僅是因為她的這些課已經廣為流傳,還在於她對一堂課的長期不斷地精心打磨和長時間地靜心思考。她曾和我說過,在她剛走上教師崗位的時候就上過《平均數》,後來又一直在上,自己從來沒有滿意過,從來沒停止過思考,所以不斷研磨,不斷反思,不斷嘗試新的設計,直到今天。而對今天這堂課,她仍然在說,還有遺憾,還需要再改進。
所以,我很期待吳老師的下一堂《平均數》。
(華東師範大學數學系 鮑建生)
大膽探索, 追求卓越
――評吳正憲老師的《平均數》教學
近幾年連續聽了吳正憲老師幾節數學課,每次都有新的認識,引發對數學教學的進一步思考。吳老師的課有一個突出的特點:她總是不斷探索新的問題,總是思考小學數學教學中的重要話題,特別是對一些看似平常,但有重要意蘊的主題的探索。吳老師的《平均數》一課,不僅給我耳目一新的感覺,更引發我對小學數學課程教學改革的一些思考。
一、主題式教學的大膽探索
“平均數”作為統計領域的一個重要內容,教學中應突出其統計意義,這已經成為小學數學教學研究的共識。因此,這一內容的教學重點必然從平均數的計算轉向平均數意義的理解,以及運用平均數的知識解決問題,體會平均數中統計思想的現實意義,培養學生的數學核心素養。如何實現這一轉變,如何在教學中使學生真正經歷和體驗平均數的統計意義,培養學生的數據分析觀念?吳老師在這節課中對此進行了大膽的有意義的探索。
所謂主題式教學設計是以真實的問題為背景,以解決問題為目標,在問題解決的過程中,學習和運用相關的知識與方法。吳老師這節課,在一定的準備之後,提出了“六歲兒童免票的標準身高”的真實問題,並且後面的教學都圍繞這個問題的解決展開。
某市原執行的六歲以下兒童乘車免票的標準是“1.1米”,需要修改。假如你是該部門領導,你打算怎麼做?
真實的問題激發了學生的探究欲望,使學生感到要解決這個問題可能會用到不同的知識與方法,其中包括平均數的知識。但在這個問題情境中又沒有直接提出求平均數,不能直接用平均數的知識與方法解決問題。面對這樣的問題情境,一些學生躍躍欲試,一些學生陷入沉思。吳老師適時地為學生留出充分思考與交流的機會:
“不急,先獨立思考,想好了就和同桌商量商量。”然後同學們開始討論,吳老師行間巡視,參與討論。
一句簡單的“不急”,使學生的心平靜了下來。而“假如你是該部門領導,你打算怎麼做?”又使學生感受到這個問題的意義重大,不能隨意行事,責任感油然而生。
真實的問題為學生提供想像和探索的空間。面對這樣的問題情境,學生有各種各樣的想法,可以暴露出不同的解決問題思路。
生:我覺得應該看年齡決定是不是免票。(很自然的想法,但不現實)
師:那我們上車都拿著戶口本嗎?
生:我們感覺差不多6歲的孩子能長到1.3米就算夠高的了,所以就定1.3米了。(主觀的想法,拍腦袋產生的)
師:(作出很無奈的樣子)領導啊,你們一拍腦袋就定1.3米啦?僅憑感覺這樣也太隨意了吧?其他同學有問題嗎?
生:你們小組又沒調查,怎麼定的1.3米?
師:什麼?“調查”是什麼意思?能說說你們的意見嗎?
生:先得調查調查6歲兒童到底長多高啊!
師:我聽出來了,一種意見是憑感覺就定1.3米以下免票,另外一種是先調查。要想知道6歲兒童的身高是多少,怎樣調查呢?
生:把某市所有6歲兒童的身高都測量出來,再求出平均身高……
上面的片段反映了學生真實的想法。每一種想法都有一定的道理,蘊含著解決問題的價值與方法。討論的結果集中在“要解決這個問題,首先需要進行調查”。到這裡慢慢進入這節課要學習的主題,要調查就要進行數據的搜集與整理,這正是統計的基本要素。這自然會與平均數建立起聯繫。對此,人們可能會問:繞了這樣一個大圈才進入這節課所要學習的主題,是不是有些慢,沒有教學效率?但這正是主題學習的一個基本的邏輯,面對真實的具體的問題,用什麼方法來解決這個問題,不是一開始就非常清楚的,需要對問題進行仔細的分析,剝絲抽繭式地深入到解決問題的本質,進而尋找解決問題的方法。這時候學生才能真正體會到平均數學習的實際價值。
現實的主題為學生提供進一步探究的空間。在對具體情境的探究過程中,還產生了許多超出小學階段平均數學習範圍的結果,如對樣本和隨機的體驗,這是與平均數有關係的重要的統計知識,一般在小學的平均數學習時不會涉及,但在這節課的討論中自然地引出這樣的問題。雖不會深入研究,但在學生的意識中會產生進一步探索的種子。對決策和預測等問題的探究,在這節課中也花了一些時間討論,這樣的問題對於小學生來講似乎有點難,也超出了平均數學習的範圍,然而在這個情境中,引出這一問題的探究是自然的,也是必要的。這也是主題式學習的綜合性和開放性特徵的反映。對於這些問題的探究都為學生學習數學,乃至學習其他知識作了鋪墊。
二、兒童數學教育的充分體現
吳老師主張“為學生提供好吃又有營養的數學”,這種為了兒童的數學觀也是其數學教育的核心。本節課的設計與實施充分體現了這樣的數學教育觀。
第一,充分考慮兒童現有的知識基礎和發展水平。平均數對於學生來說並不是全新的內容,在學生的經驗中經常使用平均數。學生考試的平均成績就是學生熟悉的情境。借助考試平均分這個情境,學生瞭解“所有人的分數加起來再除以全班的人數就是平均分”,如果這次考試的平均分是92分的話,對於全班學生而言,一些學生的分數高於92分,一些學生的分數低於92分。低於92分的學生給班級的成績拉分了。92分反映了班級成績的整體情況,具有代表性。借助這樣的例子討論平均數,學生感到平均數就在自己的身邊。
第二,引起學習過程中的認知衝突。圍繞如何確定“免費乘車兒童身高標準”這一現實問題,不能直接運用所學的知識和方法解決。這至少在兩個方面引起學生學習的認知衝突。一是沒有具體清晰的條件和問題,甚至所解決的問題看起來還不是一個明確的數學問題。這與以往學生對於數學問題的認知是不一致的。學生習慣于解決已知條件是什麼,所求問題是什麼,用什麼樣的方法把條件和問題建立起聯繫。二是當確定通過調查找出平均身高的方法解決問題時,學生面臨的問題與以往學習的平均數問題的方法也產生了認知衝突。平均數=總數量/總份數。現在的問題中有多少個人也不知道,更談不上求總數量了。與學生熟悉的、數學化了的平均數問題不同,在這裡,解決平均數的問題,不是簡單地先求一組數的和,再除以這組數的個數,而是先找到這一組數是什麼,然後才能想辦法求出平均數。
面對這樣的問題,需要進行開放的、有深度的思考與交流。上面的教學片段解決了第一個認知衝突,把問題聚集在調查平均身高上。接下來解決如何求平均身高的問題。
師:你們有什麼好的建議嗎?
生:可以在網上搜集。
師:(微笑)你的信息素養還挺高,上網搜集是個辦法。還有什麼別的建議嗎?
生:可以先找來一些小朋友,量一量他們的身高,再根據這些數算出平均身高。
……
師:剛才我們在交流中經歷了:隨意定標準,不行;需要調查研究,統計全部數據,太麻煩;挑幾個代表,到底選多少個代表合適呢?統計這事還真得講究呢。選代表,這主意挺好。
生:選代表也不準確,如果選的都是個子矮的或者都是個子高的,就不行了。
師:你的意思是選代表的時候,不能刻意挑選,會影響數據的客觀性,所以要隨機選代表。
生:嗯。
師:你們知道隨機是什麼意思?
生:就是隨便選,不自己挑。
師:對,就是這個意思。把隨機選的代表的身高進行統計,再算出這些人的平均身高,基本上就能夠代表全市6歲兒童的平均身高了。到底選多少代表合適,統計學上也是有講究的,等你們長大了,隨著知識的增加就會理解了。
生:選代表靠譜嗎?
師:媽媽做湯時要想知道鹹不鹹,怎麼辦呢?
生:用小勺盛一點兒,嘗一嘗就知道了。
師:對呀,媽媽不用把一鍋的湯都喝了才知道味道吧?這也是選擇其中的一部分來說明整體啊。(學生們都會意地笑了)
師:下面咱們就模擬一次有關部門處理這些數據的過程。 假如此次調查選擇了8000位代表。你們準備怎麼辦?
生:把這些數都加起來,再除以8000。
師:如果平均身高就是120釐米,我們的免費標準就是……
生:120釐米。
(接下來的討論定標準、作決策)
以上教學片段涉及幾個與統計有關的概念:樣本、隨機,數據的搜集、整理,求平均數。平均數的計算在這裡似乎淡化了,但統計的味道更濃了。學生在不斷地解決認知衝突的過程中,深入地思考與探究,經歷了數據分析的過程,平均數的重要意義也突顯出來。
三、三版平均數教學的啟示
據吳老師說,這節《平均數》的設計是她的第三版平均數教學。為什麼一個看似簡單的平均數問題要設計出三版呢?三版平均數教學給我們什麼啟示呢?第一版平均數教學追求的是如何理解平均數的意義,如何掌握計算平均數的方法,基本上是以知識與能力為重心的教學設計。第二版平均數教學是在課程改革背景下的教學設計,試圖通過學生的實際操作,體現平均數的統計意義,教學中體現數據的搜集、整理、呈現的過程。那麼第三版的特點是什麼呢?為什麼要有第三版平均數教學呢?從這節課的設計與實施過程中我們似乎可以找到答案。
首先,是對小學數學核心內容的深度探究。平均數是小學數學的核心內容,是反映數學學科本質的內容,是體現數學思想,有助於發展學生數學核心素養的內容。隨著課程改革的深入,平均數的學習也不斷被賦予新的內涵。對數學學科本質的理解,對學生數學學習特徵的解讀,以及數學教學目標的拓展與提升都會對這一內容的教學提出新的要求。小學數學的核心內容的深度探究是解決一類教學問題的需要。
第二,為學生發展提供更廣闊的空間。平均數作為重要的統計量與現實問題有密切聯繫。以真實的問題為研究主題,在解決真實問題的過程中,培養學生綜合運用所學知識解決問題的能力,使平均數不只是孤立的單一的計算方法,將其融入綜合不同知識建立數學模型解決問題的視野中,真正體現平均數的價值。同時,為學生提供更開放的探究與思考的空間,會使學生的潛能得到更好的釋放,學生的核心素養得到更好的發展。
第三,在小學數學教學改革中追求卓越。吳老師在小學數學教學的研究中從不滿足,永不止步,不斷追求卓越。三版平均數的探索不是為了出新而出新,而是對以往教學設計的不斷反思與昇華,是對這一主題教學不斷的有意義的探尋與提升。這也許是最重要的因素吧。
這一版的平均數教學設計也為我們提出一些值得進一步思考的問題,如樣本、隨機等概念在平均數中如何處理,平均數如何成為決策的依據等。
期待吳老師還有第四版平均數教學設計。
(東北師範大學 馬雲鵬)
課堂花絮
拍腦袋作決定,不行
還記得《平均數》一課中那個“一拍腦袋作決定的小領導”嗎?課上,在吳老師提出如何確定乘車免票標準問題中,他的回答是:“我們感覺差不多6歲的孩子能長到1.3米就算夠高的了,所以就定1.3米了。”而他在課後時總結說:“通過學習,我懂得了收集數據很重要,不能只憑自己的感覺作決定,有了數據才能定得更準確。”這樣樸實真切的語言,不禁讓我們對吳老師肅然起敬,在短短40分鐘的時間裡,她讓孩子發生了可喜的變化。
(首都師範大學附屬順義實驗小學 陳麗華)
――《平均數》課例
一、感知“平均數”,激活兒童已有經驗
上課伊始,吳老師開門見山地問道:“你們聽說過平均數嗎?”一個小男孩站起來說:“我們班數學考試後,老師會算一個平均分,這個就是‘平均數’吧?”吳老師評價道:“真好,你們都想起來了。對的,考試的平均數就是你們班的平均分。”大家不約而同地點點頭,似乎都在回憶。“看來考試算平均分這事兒你們印象挺深刻啊!最近一次考試中,你們都得了多少分?”吳老師順勢問道。學生們紛紛說出自己的成績。吳老師走向黑板,邊畫邊說:“咱們簡單記錄一下,用A、B、C、D、E……來代替同學們的名字。從這開始是60分、70分、80分……(見下圖)。A得100分,B得62分,C得73分,D得92分,E得80分……這麼多同學的分數呢。”
“平均分是怎麼得來的,你們知道嗎?”吳老師不緊不慢地問。“把我們班所有同學的分數加起來再除以全班的人數就是平均分。”“我們班有47人,那次考試平均分是92分。”“就是把你的、我的、他的分數合起來,再除以總人數。”同學們你一言我一語地表述著自己對平均分的理解。
吳老師板書:
(100+62+73+92+80+……)÷47=92
“你們是怎麼理解這個92分的呢?”
吳老師追問道。梳著馬尾的小女孩站起來補充說:“比平均分92少的人就被高分的人給拉上去了,要是超過92分,就會被低分的人給拉下來。”吳老師稱讚道:“‘拉’這個詞用得真好!”她一邊打手勢,一邊詢問:“就是低分會被高分拉上去,高分又被低分往下拉,是嗎?”同學們堅定地點點頭,十分贊同。
吳老師故作好奇地問:“你們班平均分是92分,你們每個人的成績都是92 分嗎?”“不一定,我就得了96分。”“我得了93分。”學生們搶著回答。“那會有人比92 分低嗎?” 吳老師自言自語地說。學生馬上七嘴八舌地回答:“可能有的同學會得82分、71分……”“看來有的同學會比92分高,有的會比92分低。高高低低的,結果這麼一除就……”還沒等吳老師說完,下面的同學就搶著說道:“就平等了。”“對,平等的這個92分就反映著你們班全體同學這次考試的整體水平。有很多同學的分數會擁擠在92分周圍,有的離平均分數近一些,有的離它遠一些。有了平均分,我們就可以比較出不同人數的兩個班級考試成績的高低。因為它代表了班級的整體水平,我們也可以說這個平均數具有代表性。”(板書:代表性)
[賞析:借助真實的情境,對接兒童自身已有的經驗,初步感知平均數的意義,感受平均數具有“代表性”的特徵。]
二、走進“平均數”,豐富兒童對“平均數”的理解
隨後,吳老師請四位同學用磁扣擺出了3、6、7、4這四個數,引導同學們觀察並估計這四個數的平均數可能是幾。同學們你一言我一語:“5、6、8、……” 聲音此起彼伏。
吳老師並不急於給出答案,而是讓學生自己獨立思考,並寫出計算過程。她根據學生計算的結果,在圖上五顆磁珠的地方畫了一條水平直線,轉身對估8的那位同學說:“快問問大家為什麼不估8呢。”
小女孩不好意思地看向大家:“你們怎麼不估8呢?”一個小男孩理直氣壯地說:“你想想最大的數才是7,平均數絕不可能比7還大啊。”小女孩若有所悟地點點頭:“明白了,應該在裡面估。”吳老師不禁感歎道:“原來平均數在最大數和最小數之間,比最小的數大,比最大的數小,平均數的‘家’是有範圍的。”
隨著討論的深入,吳老師將表現的機會留給那些沉默的學生,請他們到黑板前將磁扣自然移動,體會在“移多補少”的過程中得到平均數。
同學們步步緊隨,而吳老師的問題也接踵而來:“假如E是20,平均數會有什麼變化?”“會拉高。”“假如E是1,平均數又會有什麼變化?”吳老師繼續追問。“會拉低。”隨著學生的回答,吳老師比畫著:“看來每增加一個新數,都會對‘平均數’產生影響。此時的你們,對‘平均數’又有什麼新感覺?”學生思索著:“‘平均數’會變。”“‘平均數’容易上下波動。”
捕捉到學生的思考,吳老師又適時地講起,前兩天她在《社會與法》欄目給警官們做評委的事,並提出了自己的疑問:“每一次評委們亮分的時候,主持人總會說:‘去掉一個最高分,去掉一個最低分。’這是為什麼?”學生爭先恐後地舉起了他們的手:“因為一個最高分或者最低分都會影響‘平均分’。”吳老師微笑著說:“是啊,你們對‘平均分’的感覺越來越豐富了。你看,來了一個大數,平均數就得跟著往上跑;來了一個小小的數,平均數就得跟著往下跑。
所以為了公平,需要先去掉一個最高分,再去掉一個最低分。看來平均數雖然具有‘代表性’,可是它也很脆弱啊,容易受其他數的影響而發生變化。”
[賞析:估一估的活動,用數形結合的形式展示出估的結果,讓兒童更直觀地認識到平均數介於一組數據的最大值與最小值之間;評委的生動例子幫助兒童認識平均數的敏感性――易受極端數字的影響而變化。兩個巧妙的活動,沒有複雜的設計,都在層層對話中展開,隨著對話的深入兒童更加深刻地感悟平均數的特點,對平均數的認識也更加全面、立體、豐富。]
三、解決真問題,感悟平均數的統計意義
1.在真實情境中,感悟平均數的應用價值
課堂似乎恢復了平靜,此時,吳老師的一個新問題再一次引發了學生深入地思考:“有這樣一件事情,需要你們幫助有關部門領導作決策。”
某市原執行的六歲以下兒童乘車免票的標準是“1.1米”,需要修改。假如你是該部門領導,你打算怎麼做?
學生們紛紛舉手想表達自己的想法。吳老師揮揮手:“不急,先獨立思考,想好了就和同桌商量商量。”吳老師走進同學們中間,聆聽他們的討論並參與其中。
[賞析:平均數統計意義的理解要基於真實的、現實的情境。選取“修改兒童乘車免票標準”這一問題情境,具有一定的挑戰性、開放性,激發兒童自主探究的願望。]
2.在對話質疑中,培養“數據分析觀念”
熱烈地討論結束後,吳老師組織大家進行了分享。“我覺得應該看年齡決定是不是免票。”吳老師有所質疑地問:“那我們上車都拿著戶口本嗎?”其他學生也迫不及待地喊道:“不行。”一個小男孩著急地說道:“我們小組定的新標準是身高1.3米以下的都可以免票。”
吳老師向大家望去,緩緩地說:“你們都同意這樣作決定?有問題嗎?”“你們小組憑什麼定免票標準是1.3米啊?”後排的學生質疑道。吳老師稱讚道:“這話問得真好。”接著,她來到那個小男孩面前,問:“你想說什麼?”男孩補充道:“我們感覺差不多6歲的孩子能長到1.3米就算夠高的了,所以就定1.3米了。”
吳老師若有所思地說:“領導啊,你們一拍腦袋就定1.3米啦?僅憑感覺這樣也太隨意了吧?其他同學有問題嗎?”一個小女孩站了起來,繼續補充:“你們小組又沒調查,怎麼定的1.3米?”吳老師追問:“什麼?‘調查’是什麼意思?能說說你們的意見嗎?”“先得調查調查6歲兒童到底長多高啊!”“我聽出來了,一種意見是憑感覺就定1.3米以下免票,另外一種是先調查。要想知道6歲兒童的身高是多少,怎樣調查呢?”吳老師不緊不慢地引導著同學們。終於,一個小男孩站起來說:“把某市所有6歲兒童的身高都測量出來,再求出平均身高,就可以定新標準了。”聽了這位同學的回答,吳老師若有所思地重複著學生的話:“你的意思是把所有兒童的身高量一量,再求平均數來解決這個問題?”這樣的重複卻把同學們引入了靜靜的思考之中。
沉默了一段時間後,有一個孩子迫不及待地說:“所有的兒童都量,也太麻煩了。”面對這個學生的質疑,吳老師繼續把問題拋給學生們:“你們有什麼好的建議嗎?”“可以在網上搜集。”吳老師及時肯定了孩子的想法:“你的信息素養還挺高,上網搜集是個辦法。還有什麼別的建議嗎?”一個轉折,適時提醒了學生們思考的方向。終於,在吳老師不斷啟發下,一個小男孩站起來說:“可以先找來一些小朋友,量一量他們的身高,再根據這些數算出平均身高。”“測量就可以知道身高數據了,為什麼還要算出平均數呢?”吳老師反問道。學生們急切地表達自己的想法:“因為多數人的身高都圍在‘平均數’的左左右右。”“對,‘平均數’能反映出這一組數據的一般水平,它具有代表性。”吳老師總結道。
在吳老師一步一步的引導下,學生們的思維也變得更加活躍,思考也更具深度,並且敢於質疑老師。
在吳老師帶領學生們回顧反思的過程中,一些同學的手始終沒有放下來,甚至大聲喊了出來:“老師,我有問題。”吳老師沒有忽視學生的提問,而是走到他面前,說:“你為什麼不同意?”“選代表也不準確,如果選的都是矮的或者都是高的,就不行了。”學生急切地說道。“你的意思是選代表的時候,不能刻意挑選,會影響數據的客觀性,所以要隨機選代表。”學生不約而同發出了“嗯”的贊同聲。
吳老師吃驚地問:“你們知道隨機是什麼意思?”“就是隨便選,不自己挑。”吳老師露出會心的笑容:“對,就是這個意思。把隨機選的代表的身高進行統計,再算出這些人的平均身高,基本上就能夠代表全市6歲兒童的平均身高了。到底選多少代表合適,統計學上也是有講究的,等你們長大了,隨著知識的增加就會理解了。”對於這個問題,學生仍心存疑惑:“選代表靠譜嗎?”吳老師停頓了一會兒,舉例說道:“你們見過這樣的情景嗎:媽媽做湯時要想知道鹹不鹹,怎麼辦呢?”“用小勺盛一點兒,嘗一嘗就知道了。”“對呀,媽媽不用把一鍋的湯都喝了才知道味道吧?這也是選擇其中的一部分來說明整體啊。”吳老師打趣道。課堂上又傳來一陣笑聲。
學生們已漸入佳境,吳老師順勢出示課前搜集到的一些身高的數據(見下圖),說道:“下面咱們就模擬一次有關部門處理這些數據的過程。假如此次調查選擇了8000位代表。你們準備怎麼辦?”“把這些數都加起來,再除以8000。”
板書:
(118+113+120+105+135+127+122+……)÷8000
“如果平均身高是120釐米,我們的免票標準就是……”“120釐米。”同學們異口同聲地回答。吳老師並沒有著急否定,而是露出一副疑惑的神情:“真的是這樣嗎?”隨後讓學生們繼續討論起來。
等待就會有收穫。終於有個學生說:“我覺得很多小朋友的身高,高高低低的都在120釐米的周圍。如果免費標準定在120釐米,只照顧了身高120釐米以下的一部分人,比120釐米高的小朋友怎麼辦呢?”“這個意見真好,大家聽懂了嗎?”眾生點頭。“是啊,這麼多高高低低的數據都擁擠在120釐米的周圍,你們有什麼好建議?”“改成122釐米、125釐米、130釐米……”吳老師走向黑板,畫了一些豎線,引領學生們體會著這個同學的意思。
“這些豎線分別表示小朋友們的身高有100釐米、110釐米、120釐米、 130釐米……,如果只定在120釐米這裡,就只滿足低於120釐米的人,所以你們還想往後放一放,這樣會有更多的人能享受免票待遇。到底放多少,這在統計學上也是很有講究的,隨著知識的增加你們會理解的。其實,標準定在哪裡,現在已經不重要了,重要的是你們親自經歷了對數據收集、分析、思考、整理的過程。”
吳老師接著說,“其實不管放寬到哪裡,‘平均身高’反映了這群數據的整體情況,是我們作出決策的重要依據。” 學生們點點頭感歎道:“平均數太重要了。”
[賞析:借助真實問題解決過程,引發兒童認知衝突,激勵兒童的大膽質疑。引導兒童經歷數據分析、運用平均數解釋生活現象及解決生活問題的過程,感受平均數的價值與統計意義。同時在不斷對話、質疑、思考中,培育兒童的“數據分析觀念”,即通過從網上收集、統計全部數據到抽樣收集數據的多種方法的獲得中,使兒童獲得從隨意性的經驗判斷到利用數據解決問題的經驗,逐步形成合理地解決問題的能力,進而感受調查研究、整理收集分析數據的必要性,進一步理解平均數具有“代表性”的重要意義。]
3. 在特殊情況中,體會“隨機性”
“這個政策一宣佈,家長兒童會更開心,皆大歡喜。”正當學生們為自己的判斷感到滿意時,吳老師話鋒一轉:“你們看,姚明領著高高的女兒來了。一上車就問售票員,我女兒還不到6歲,為什麼要買票啊?”在新情境的引導下,新一輪的討論開始了。
吳老師問:“你怎麼向姚明叔叔解釋啊?”“姚明叔叔對不起,您的孩子太高了。”“姚明叔叔,您孩子的情況比較特殊,我們不能照顧到所有的人啊。”“姚明叔叔,太高的也照顧不了,您女兒是特殊的人。”學生們臉上寫滿了歉意,似乎真的在與姚明對話。吳老師眼中充滿了對學生們的欣賞,稱讚道:“你們對數據的感覺真好!是的,我們雖然以‘平均數’為依據制定標準,但平均數只能代表一般情況,事情總有特例。”
吳老師總能帶給孩子意想不到的問題,在一次次的問題解決中,孩子們對於平均數的應用意識更加清晰了。
[賞析:讓學生感受平均數的本質意義是代表一組數據的“一般水平”,即大多數數據會在平均數上下浮動,但是也存在特殊數據,體會數據的隨機性。]
四、回顧反思,梳理總結
在最後的分享收穫環節,學生們爭先恐後地說:“我會算平均數,還知道生活中會用到平均數。”“平均數的‘家’是有範圍的,它長在一組數據中的最大數和最小數之間。”“平均數會變化,來了一個新數,它就會被拉高或拉低。”“平均數真厲害,還能解決修訂免票標準這樣的難題。”課前“拍腦門作決定”的學生也站了起來,認真地說:“通過學習,我懂得了收集數據很重要,不能只憑自己的感覺作決定,有了數據才能定得更準確。”
吳老師認真地聽著同學們的發言,點頭表示贊同,並稱讚道:“你們對平均數的感覺越來越豐富、
越來越全面了。而且,你們還體會到數後面承載著信息,懂得了凡事要進行調查研究,根據數據作判斷、作決策的道理。今天我們初步走進平均數,以後還會不斷用到平均數,你們會更深刻地理解平均數。”
學生們的臉上洋溢著幸福的笑容,絲毫沒有因為課堂的45分鐘而感到疲倦。
[賞析:通過回顧整理總結,幫助兒童積累數學思考的經驗和解決問題的經驗,讓經驗駐足。從情感層面,有的孩子感覺這節課很有趣。從知識層面,有的孩子說,知道了什麼叫平均數,平均數怎麼算,而且提到了生活中可以運用平均數來解決問題;還有的孩子說到平均數的特點,它很脆弱,很善變,總會隨著數據變化。而從學習經驗層面,最開始憑感性認識確定一米三的孩子說到以後遇事要作調查研究。可喜的是,我們看到了孩子們在這節課上得到了不同層面的發展,這也許才是教育的真諦。]
評 析
打造經典
――觀摩吳正憲老師《平均數》一課的幾點感想
最近有幸兩次觀摩著名數學特級教師吳正憲執教的《平均數》,並與她有過比較深入的交流,感想頗多,很願意與同行們分享。
吳老師在數學課堂上的親和力與教學機智早已在小學數學界廣為流傳,形成眾多的“粉絲”。雖然我也很喜歡吳老師的教學風格,而且我認為在小學階段,通過老師的教學魅力讓孩子們喜歡上數學課、進而喜歡數學是最重要的,但這裡我想著重談談吳老師這堂課的教學設計。
2005年,萊什等人提出“數學教育是一門設計科學”的觀點,得到了許多人的贊同。作為一門設計科學,除了基礎理論外,更重要的是富有創意的設計和可以成為經典的作品。在教師的日常教學工作中,所從事的實際上都是設計的工作,從單元教學設計到課堂導入的設計,從問題情境的設計到課堂活動的設計,等等。可以說,我們並不缺課堂教學設計的“課例”,缺的是可以成為經典的“作品”。
吳老師的這堂《平均數》是不是可以成為經典,當然不是哪個人說了就算的。但就我自己而言,這堂課帶給我的思考和啟發是很多的。下面,我就從教學設計的角度簡單地談幾點。
一、作為數學概念的“平均數”與作為統計概念的“平均數”
我們知道,數學和統計學都是一級學科,這意味著數學與統計學在研究問題、研究方法等方面都是有本質區別的。“平均數”的概念在數學中和統計學中都有,數學中的“平均數”可以看作兩個數的“平分”(算術平均),也可以看作是數軸上兩個點的“中點”,還可以看作兩條線段的“取長補短”(梯形的中位線)。那麼,統計中的“平均數”有什麼不一樣的特點呢?怎樣才能在《平均數》課中上出“統計味”呢?
吳老師這堂課是通過讓學生回憶最近一次數學考試的平均成績引入“平均數”的概念的。雖然這是一個很平常的課堂導入方式,但其中的幾點設計還是很有啟發性的:
首先,雖然在許多《平均數》的課例中都是通過平均成績導入的,但一些老師用的是“某個班級的某次考試成績”,而吳老師用的是“我們班最近一次數學考試成績”。前者是一種虛擬情景,其中數據是沒有真實含義的,後者不僅數據是真實的,而且與每個同學都有直接的聯繫。這裡就反映了數學與統計的一個區別,統計中的數據應該是真實的、有意義的,每個同學都可以運用這些數據講自己的故事。
其次,如果只是讓學生依據每個人的成績計算平均成績,那就是一個數學過程。吳老師沒有“到此為止”,而是讓學生考慮自己的成績與“平均成績”的關係:誰的成績比平均成績低?誰把平均成績“拉高”了?這個平均成績“代表”了什麼?這些問題很好地反映了統計與數學的區別。“平均數”是一個統計量,它“代表”了這組數據的一種數量特徵,這組數據中的每個數雖然與“代表”都有關係,但“親密程度”並不一樣。在我最近觀摩的吳老師的另一堂《平均數》的課中,吳老師還讓學生討論:“平均成績”有什麼意義?孩子們居然發現了四種意義:除了上述的“代表性”外,還“可以推測每個同學在這次考試中的位置”,“反映了我們班這次考試的總體水平”,“可以和其他班級比較”。我覺得,學生似乎已經開始嘗試用統計的方式思考問題了。
二、數學中的“問題解決”與統計中的“問題解決”
我們對數學中的“問題解決”,通常會給出一個明確的“答案”:或者是一個明確的數量和表達式,或者是判斷一個命題的真假。即使是在“很不確定”的數學建模活動中,要找的仍然是“確定”的數學關係,運用的是“確定”的推理方法,依據的是“確定”的數學理論。
那麼統計呢?統計中的“問題”與數學中的“問題”有區別嗎?“答案”有區別嗎?解決問題的思路、標準有區別嗎?我覺得,吳老師這堂課就是一個有代表性的“樣本”,可以幫助我們去理解上面這些問題。
在課堂上,吳老師和孩子們要解決的是下面這個實際問題:
某市原執行的六歲以下兒童乘車免票的標準是“1.1米”,需要修改。假如你是該部門領導,你打算怎麼做?
這是一個典型的統計決策問題。在解決這個問題的過程中,吳老師和孩子們大概經歷了以下幾個階段:
階段1:確定決策目標。
某市相關管理部門想要達到的目標是:讓六周歲以下的兒童可以免票乘車。這個目標看起來是明確的,但實際操作起來就出現了“問題”:乘車時如何證明一個兒童沒有超過六周歲?讓每個兒童都隨身帶著戶口本或身份證,這顯然是不現實的。可行的辦法是像以前一樣,用身高作為判斷是否可以免票乘車的標準。那麼,用誰的身高呢?領導“拍腦袋”行嗎?孩子們經過討論,得出的比較合理的做法是:考慮六周歲兒童的平均身高。於是便進入了第二階段。
階段2:提出統計問題。
需要解決的問題是:全市六周歲兒童的平均身高是多少?這是一個典型的只有通過統計才能解決的問題,因為“六周歲”是一個不確定的概念,而全市六周歲兒童是一個“海量”數據,我們不可能“算”出全市六周歲兒童平均身高的精確值。那麼統計是如何處理的呢?於是便進入第三階段。
階段3:收集數據。
要收集的是全市六周歲兒童的身高數據。那麼如何收集呢?有學生提出“網上收集”,有學生說“先找來一些小朋友,量一量他們的身高”,於是自然產生了數據的“代表性”和“隨機性”問題。能從四年級小學生口中聽到“隨機選代表”的說法出乎我的意料,這也再次印證了我們不能低估兒童的觀點。在這堂課上,孩子們想了許多“隨機選代表”的辦法,雖然這些辦法還算不上真正的隨機抽樣,但至少他們已經具備了隨機性的初步概念。
階段4:數據處理。
在“隨機”選出8000名“代表”後,吳老師和學生一起對數據進行了兩方面的處理:一是計算平均數;二是畫出下面的數據分佈圖。
就我而言,這是我第一次在小學的課堂裡看到統計量的分佈圖,我相信,四年級學生的頭腦中不可能有“正態分佈”這樣的概念,但不妨礙他們對這種分佈圖產生直觀的認識,而這種直觀認識對於形成統計直覺來說是非常重要的。
階段5:統計決策。
在計算出了全市六周歲兒童的平均身高120釐米之後,就到了“依據統計結果進行決策”的階段,但很快,孩子們又發現了問題:用平均身高120釐米作為免票乘車的標準是否合適?孩子們都認為不合理,因為按照這樣的標準可以免票的差不多只有一半的兒童。於是,問題沒有解決:到底如何定標準才合理?有學生提出增加2釐米、5釐米、10釐米……雖然在這一階段,學生還很難給出更為合理的“標準”,但我相信,以後他們會想到更多的辦法,除了平均數以外,還可以用眾數、中位數、四分位數、正態分佈等等,因為這個“問題”已經成為一顆“種子”埋在孩子們的心田裡,會開出統計思維的花朵。
階段6:考慮例外。
這種情況在中小學的統計課中很少看到,但在吳老師的這堂課裡卻很自然地出現了。“姚明的女兒”使孩子們意識到凡事總有特例。我想,這不僅僅是一個有趣的問題,更重要的是可以幫助孩子們理解統計的本質:用統計方法進行決策時通常是有例外的,因為統計學研究的是不確定現象,也正因為這樣,統計學離不開概率論。
通過上面的活動過程,我覺得,學生至少可以體驗到:
●數據是可以幫助我們作決策的;
●為了使決策公平,數據必須有代表性;
●可以通過很多方法得到數據,不同方法得到的數據可能是不一樣的,由此算出的平均數也可能會發生變化;
●在依據數據作決策時需要先制定一個標準,但不管標準如何定,都可能有例外的情況;
●……
我想,上述這些體驗對於學生來說是很重要的。也許有人會說,這對小學生來說太難了,他們不可能理解的。我想說的是,那有什麼關係呢?這些體驗會幫助他們在適當的時候理解的;更何況,我們常常低估孩子們的潛能。
在寫結束語時,我又想起了前面的問題:吳老師的《平均數》是不是可以成為經典?我相信,這堂課是可以成為經典的。這不僅是因為吳老師上過很多次不同版本的《平均數》,也不僅是因為她的這些課已經廣為流傳,還在於她對一堂課的長期不斷地精心打磨和長時間地靜心思考。她曾和我說過,在她剛走上教師崗位的時候就上過《平均數》,後來又一直在上,自己從來沒有滿意過,從來沒停止過思考,所以不斷研磨,不斷反思,不斷嘗試新的設計,直到今天。而對今天這堂課,她仍然在說,還有遺憾,還需要再改進。
所以,我很期待吳老師的下一堂《平均數》。
(華東師範大學數學系 鮑建生)
大膽探索, 追求卓越
――評吳正憲老師的《平均數》教學
近幾年連續聽了吳正憲老師幾節數學課,每次都有新的認識,引發對數學教學的進一步思考。吳老師的課有一個突出的特點:她總是不斷探索新的問題,總是思考小學數學教學中的重要話題,特別是對一些看似平常,但有重要意蘊的主題的探索。吳老師的《平均數》一課,不僅給我耳目一新的感覺,更引發我對小學數學課程教學改革的一些思考。
一、主題式教學的大膽探索
“平均數”作為統計領域的一個重要內容,教學中應突出其統計意義,這已經成為小學數學教學研究的共識。因此,這一內容的教學重點必然從平均數的計算轉向平均數意義的理解,以及運用平均數的知識解決問題,體會平均數中統計思想的現實意義,培養學生的數學核心素養。如何實現這一轉變,如何在教學中使學生真正經歷和體驗平均數的統計意義,培養學生的數據分析觀念?吳老師在這節課中對此進行了大膽的有意義的探索。
所謂主題式教學設計是以真實的問題為背景,以解決問題為目標,在問題解決的過程中,學習和運用相關的知識與方法。吳老師這節課,在一定的準備之後,提出了“六歲兒童免票的標準身高”的真實問題,並且後面的教學都圍繞這個問題的解決展開。
某市原執行的六歲以下兒童乘車免票的標準是“1.1米”,需要修改。假如你是該部門領導,你打算怎麼做?
真實的問題激發了學生的探究欲望,使學生感到要解決這個問題可能會用到不同的知識與方法,其中包括平均數的知識。但在這個問題情境中又沒有直接提出求平均數,不能直接用平均數的知識與方法解決問題。面對這樣的問題情境,一些學生躍躍欲試,一些學生陷入沉思。吳老師適時地為學生留出充分思考與交流的機會:
“不急,先獨立思考,想好了就和同桌商量商量。”然後同學們開始討論,吳老師行間巡視,參與討論。
一句簡單的“不急”,使學生的心平靜了下來。而“假如你是該部門領導,你打算怎麼做?”又使學生感受到這個問題的意義重大,不能隨意行事,責任感油然而生。
真實的問題為學生提供想像和探索的空間。面對這樣的問題情境,學生有各種各樣的想法,可以暴露出不同的解決問題思路。
生:我覺得應該看年齡決定是不是免票。(很自然的想法,但不現實)
師:那我們上車都拿著戶口本嗎?
生:我們感覺差不多6歲的孩子能長到1.3米就算夠高的了,所以就定1.3米了。(主觀的想法,拍腦袋產生的)
師:(作出很無奈的樣子)領導啊,你們一拍腦袋就定1.3米啦?僅憑感覺這樣也太隨意了吧?其他同學有問題嗎?
生:你們小組又沒調查,怎麼定的1.3米?
師:什麼?“調查”是什麼意思?能說說你們的意見嗎?
生:先得調查調查6歲兒童到底長多高啊!
師:我聽出來了,一種意見是憑感覺就定1.3米以下免票,另外一種是先調查。要想知道6歲兒童的身高是多少,怎樣調查呢?
生:把某市所有6歲兒童的身高都測量出來,再求出平均身高……
上面的片段反映了學生真實的想法。每一種想法都有一定的道理,蘊含著解決問題的價值與方法。討論的結果集中在“要解決這個問題,首先需要進行調查”。到這裡慢慢進入這節課要學習的主題,要調查就要進行數據的搜集與整理,這正是統計的基本要素。這自然會與平均數建立起聯繫。對此,人們可能會問:繞了這樣一個大圈才進入這節課所要學習的主題,是不是有些慢,沒有教學效率?但這正是主題學習的一個基本的邏輯,面對真實的具體的問題,用什麼方法來解決這個問題,不是一開始就非常清楚的,需要對問題進行仔細的分析,剝絲抽繭式地深入到解決問題的本質,進而尋找解決問題的方法。這時候學生才能真正體會到平均數學習的實際價值。
現實的主題為學生提供進一步探究的空間。在對具體情境的探究過程中,還產生了許多超出小學階段平均數學習範圍的結果,如對樣本和隨機的體驗,這是與平均數有關係的重要的統計知識,一般在小學的平均數學習時不會涉及,但在這節課的討論中自然地引出這樣的問題。雖不會深入研究,但在學生的意識中會產生進一步探索的種子。對決策和預測等問題的探究,在這節課中也花了一些時間討論,這樣的問題對於小學生來講似乎有點難,也超出了平均數學習的範圍,然而在這個情境中,引出這一問題的探究是自然的,也是必要的。這也是主題式學習的綜合性和開放性特徵的反映。對於這些問題的探究都為學生學習數學,乃至學習其他知識作了鋪墊。
二、兒童數學教育的充分體現
吳老師主張“為學生提供好吃又有營養的數學”,這種為了兒童的數學觀也是其數學教育的核心。本節課的設計與實施充分體現了這樣的數學教育觀。
第一,充分考慮兒童現有的知識基礎和發展水平。平均數對於學生來說並不是全新的內容,在學生的經驗中經常使用平均數。學生考試的平均成績就是學生熟悉的情境。借助考試平均分這個情境,學生瞭解“所有人的分數加起來再除以全班的人數就是平均分”,如果這次考試的平均分是92分的話,對於全班學生而言,一些學生的分數高於92分,一些學生的分數低於92分。低於92分的學生給班級的成績拉分了。92分反映了班級成績的整體情況,具有代表性。借助這樣的例子討論平均數,學生感到平均數就在自己的身邊。
第二,引起學習過程中的認知衝突。圍繞如何確定“免費乘車兒童身高標準”這一現實問題,不能直接運用所學的知識和方法解決。這至少在兩個方面引起學生學習的認知衝突。一是沒有具體清晰的條件和問題,甚至所解決的問題看起來還不是一個明確的數學問題。這與以往學生對於數學問題的認知是不一致的。學生習慣于解決已知條件是什麼,所求問題是什麼,用什麼樣的方法把條件和問題建立起聯繫。二是當確定通過調查找出平均身高的方法解決問題時,學生面臨的問題與以往學習的平均數問題的方法也產生了認知衝突。平均數=總數量/總份數。現在的問題中有多少個人也不知道,更談不上求總數量了。與學生熟悉的、數學化了的平均數問題不同,在這裡,解決平均數的問題,不是簡單地先求一組數的和,再除以這組數的個數,而是先找到這一組數是什麼,然後才能想辦法求出平均數。
面對這樣的問題,需要進行開放的、有深度的思考與交流。上面的教學片段解決了第一個認知衝突,把問題聚集在調查平均身高上。接下來解決如何求平均身高的問題。
師:你們有什麼好的建議嗎?
生:可以在網上搜集。
師:(微笑)你的信息素養還挺高,上網搜集是個辦法。還有什麼別的建議嗎?
生:可以先找來一些小朋友,量一量他們的身高,再根據這些數算出平均身高。
……
師:剛才我們在交流中經歷了:隨意定標準,不行;需要調查研究,統計全部數據,太麻煩;挑幾個代表,到底選多少個代表合適呢?統計這事還真得講究呢。選代表,這主意挺好。
生:選代表也不準確,如果選的都是個子矮的或者都是個子高的,就不行了。
師:你的意思是選代表的時候,不能刻意挑選,會影響數據的客觀性,所以要隨機選代表。
生:嗯。
師:你們知道隨機是什麼意思?
生:就是隨便選,不自己挑。
師:對,就是這個意思。把隨機選的代表的身高進行統計,再算出這些人的平均身高,基本上就能夠代表全市6歲兒童的平均身高了。到底選多少代表合適,統計學上也是有講究的,等你們長大了,隨著知識的增加就會理解了。
生:選代表靠譜嗎?
師:媽媽做湯時要想知道鹹不鹹,怎麼辦呢?
生:用小勺盛一點兒,嘗一嘗就知道了。
師:對呀,媽媽不用把一鍋的湯都喝了才知道味道吧?這也是選擇其中的一部分來說明整體啊。(學生們都會意地笑了)
師:下面咱們就模擬一次有關部門處理這些數據的過程。 假如此次調查選擇了8000位代表。你們準備怎麼辦?
生:把這些數都加起來,再除以8000。
師:如果平均身高就是120釐米,我們的免費標準就是……
生:120釐米。
(接下來的討論定標準、作決策)
以上教學片段涉及幾個與統計有關的概念:樣本、隨機,數據的搜集、整理,求平均數。平均數的計算在這裡似乎淡化了,但統計的味道更濃了。學生在不斷地解決認知衝突的過程中,深入地思考與探究,經歷了數據分析的過程,平均數的重要意義也突顯出來。
三、三版平均數教學的啟示
據吳老師說,這節《平均數》的設計是她的第三版平均數教學。為什麼一個看似簡單的平均數問題要設計出三版呢?三版平均數教學給我們什麼啟示呢?第一版平均數教學追求的是如何理解平均數的意義,如何掌握計算平均數的方法,基本上是以知識與能力為重心的教學設計。第二版平均數教學是在課程改革背景下的教學設計,試圖通過學生的實際操作,體現平均數的統計意義,教學中體現數據的搜集、整理、呈現的過程。那麼第三版的特點是什麼呢?為什麼要有第三版平均數教學呢?從這節課的設計與實施過程中我們似乎可以找到答案。
首先,是對小學數學核心內容的深度探究。平均數是小學數學的核心內容,是反映數學學科本質的內容,是體現數學思想,有助於發展學生數學核心素養的內容。隨著課程改革的深入,平均數的學習也不斷被賦予新的內涵。對數學學科本質的理解,對學生數學學習特徵的解讀,以及數學教學目標的拓展與提升都會對這一內容的教學提出新的要求。小學數學的核心內容的深度探究是解決一類教學問題的需要。
第二,為學生發展提供更廣闊的空間。平均數作為重要的統計量與現實問題有密切聯繫。以真實的問題為研究主題,在解決真實問題的過程中,培養學生綜合運用所學知識解決問題的能力,使平均數不只是孤立的單一的計算方法,將其融入綜合不同知識建立數學模型解決問題的視野中,真正體現平均數的價值。同時,為學生提供更開放的探究與思考的空間,會使學生的潛能得到更好的釋放,學生的核心素養得到更好的發展。
第三,在小學數學教學改革中追求卓越。吳老師在小學數學教學的研究中從不滿足,永不止步,不斷追求卓越。三版平均數的探索不是為了出新而出新,而是對以往教學設計的不斷反思與昇華,是對這一主題教學不斷的有意義的探尋與提升。這也許是最重要的因素吧。
這一版的平均數教學設計也為我們提出一些值得進一步思考的問題,如樣本、隨機等概念在平均數中如何處理,平均數如何成為決策的依據等。
期待吳老師還有第四版平均數教學設計。
(東北師範大學 馬雲鵬)
課堂花絮
拍腦袋作決定,不行
還記得《平均數》一課中那個“一拍腦袋作決定的小領導”嗎?課上,在吳老師提出如何確定乘車免票標準問題中,他的回答是:“我們感覺差不多6歲的孩子能長到1.3米就算夠高的了,所以就定1.3米了。”而他在課後時總結說:“通過學習,我懂得了收集數據很重要,不能只憑自己的感覺作決定,有了數據才能定得更準確。”這樣樸實真切的語言,不禁讓我們對吳老師肅然起敬,在短短40分鐘的時間裡,她讓孩子發生了可喜的變化。
(首都師範大學附屬順義實驗小學 陳麗華)
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