一元分析學（簡體書）

本書是大學數學系列創新教材之一，內容主要包括：實數集與函數、極限、連續性、一元微分學、一元積分學、常微分方程與常差分方程.本書風格獨特、特點鮮明、內容豐富、例題典型.本書主要是基於研究型大學創新人才培養理工科各專業實驗班或提高班，加強厚實的數學基礎，加強數學思想方法和應用數學能力，強化邏輯思維能力的培養而編寫的.
本書可作為研究型大學理工科學生一年級第一學期的數學課程教材或者教學參考書，同時也可作為研究生入學考試中高等數學科目的複習資料。

理工科數學教材本書重點突出微積分的基本理論、基本概念和基礎知識，強調這些基礎內容與應用之間的內在聯繫，為線上線下同步學習提供數量可觀的習題，為創新型人才培養提供支撐。本書的價值:1. 有利於一流大學、一流學科的理工科各類實驗班學生創新能力的提高。2. 有利於新工科各專業學生數學素養的提升。3. 有利於想進一步深造學生的數學思維的提高。
隨著一流大學、一流學科的建設任務的提出，結合新工科人才培養的需求，各高校加大了創新人才培養的力度與深度。各高校試辦了加強數理基礎的各種類型的專業實驗班或提高班。微積分學是理工科學生學習的最重要的一門基礎課程，它不僅是學生進校後面臨的第一門數學課程，而且後續許多數學課程是它在本質上的延伸和深化.為配合這種創新人才培養模式的課程改革，真正體現特色、符合改革精神，作者結合自身的教學經驗，對微積分學這門課程教材進行了改革與創新，形成了本教材的編寫指導思想：1. 將有限的時間與精力花在最基本的內容、最核心的概念和最關鍵的方法上，對微積分學基本理論體系與闡述方式進行了再處理。學習這門課課的目的，是為創新性人才培養進行知識儲備和打下良好的基礎，使學生將主要精力集中在最基本的內容、核心的概念和關鍵的方法上，掌握本課程精髓，做到學深懂透，內容儘量精簡，以確界原理為基礎出發，形成體系與闡述.
2. 精選有一定難度的例題與習題，強調嚴格思維訓練與分析問題能力。 改革的目的是學生達到理解與應用，精選富於啟迪的例題並進行簡潔和完美的證明，不僅有助於學生的理解，而且使學生從中學到分析問題的方法，一定難度習題的選取，保證了學生訓練的質量與挑戰，做到了少而精.
3. 採取學術著作的寫作風格，強調學習基本概念和結論後進行思考與補證。在本教材的編寫中，幾乎所有的定義和定理後面，有大量的“注”，這些“注”有相當多的是很好的結論或者命題，學生為了弄清楚，必須思考並證明或者查找其它教材，達到提高學生的數學素養.
4. 本次修訂再版時，補上了一些數學家的介紹和歷史資料、補齊了部分定理和“注”的證明提示、補充了部分習題的解答思路，這些補充材料以數字化形式存在於教材中，通過掃二維碼能再現內容。
5. 同教材一起附上課後作業練習冊。

目 錄

第1章 實數集與函數

1.1 實數集

1.1.1 實數集及其性質

1.1.2 區間與鄰域

1.1.3 確界原理

習題 1.1

1.2 函數

1.2.1 函數的概念

1.2.2 函數的某些特性

習題 1.2





第2章 極限

2.1 數列極限

2.1.1 數列極限的概念

2.1.2 收斂數列的性質

2.1.3 數列收斂性的判別

習題 2.1

2.2 函數極限

2.2.1 函數極限的概念

2.2.2 函數極限的性質

2.2.3 函數極限存在的判別

2.2.4 無窮小與無窮大

習題 2.2





第3章 連續性

3.1 函數的連續性

3.1.1 函數連續的概念

3.1.2 連續函數的基本性質與初等函數的連續性

3.1.3 閉區間上連續函數的性質

習題 3.1

3.2 實數的連續性

3.2.1 閉區間套定理

3.2.2 聚點定理

3.2.3 有限覆蓋定理

習題 3.2





第4章 一元微分學

4.1 導數

4.1.1 導數的定義

習題 4.1

4.1.2 求導法則

習題 4.2

4.1.3 隱函數與參數方程所確定的導數

習題 4.3

4.1.4 高階導數

習題 4.4

4.2 微分

4.2.1 微分的定義

4.2.2 微分的運算法則

4.2.3 高階微分

習題 4.5

4.3 微分學基本定理及其應用

4.3.1 中值定理

習題 4.6

4.3.2 待定式極限

習題 4.7

4.3.3 泰勒公式

習題 4.8

4.3.4 函數的單調性與極值

習題 4.9

4.3.5 函數的凸性與拐點

習題 4.10

4.3.6 曲線的漸近線與函數的圖像

習題 4.11




第5章 一元積分學

5.1 不定積分

5.1.1 不定積分的概念

習題 5.1

5.1.2 換元積分法與分部積分法

習題 5.2

5.1.3 有理函數與可化為有理函數的不定積分

習題 5.3

5.2 定積分

5.2.1 定積分的概念與可積條件

習題 5.4

5.2.2 定積分的性質

習題 5.5

5.2.3 微積分學基本定理

習題 5.6

5.3 定積分的應用

5.3.1 微元法

5.3.2 平面圖形的面積

5.3.3 利用平行截面面積求體積

5.3.4 平面曲線的弧長

5.3.5 旋轉曲面的面積

習題 5.7

5.4 反常積分

5.4.1 無窮積分

習題 5.8

5.4.2 瑕積分

習題 5.9





第6章 常微分方程與常差分方程

6.1 常微分方程

6.1.1 基本概念

6.1.2 初等積分法


習題 6.1

6.1.3 線性微分方程組

習題 6.2

6.1.4 高階線性微分方程

習題 6.3

6.2 常差分方程

6.2.1 基本概念

6.2.2 線性常差分方程

習題 6.4


參考文獻

目 錄

第1章 實數集與函數

1.1 實數集

1.1.1 實數集及其性質

1.1.2 區間與鄰域

1.1.3 確界原理

習題 1.1

1.2 函數

1.2.1 函數的概念

1.2.2 函數的某些特性

習題 1.2





第2章 極限

2.1 數列極限

2.1.1 數列極限的概念

2.1.2 收斂數列的性質

2.1.3 數列收斂性的判別

習題 2.1

2.2 函數極限

2.2.1 函數極限的概念

2.2.2 函數極限的性質

2.2.3 函數極限存在的判別

2.2.4 無窮小與無窮大

習題 2.2





第3章 連續性

3.1 函數的連續性

3.1.1 函數連續的概念

3.1.2 連續函數的基本性質與初等函數的連續性

3.1.3 閉區間上連續函數的性質

習題 3.1

3.2 實數的連續性

3.2.1 閉區間套定理

3.2.2 聚點定理

3.2.3 有限覆蓋定理

習題 3.2





第4章 一元微分學

4.1 導數

4.1.1 導數的定義

習題 4.1

4.1.2 求導法則

習題 4.2

4.1.3 隱函數與參數方程所確定的導數

習題 4.3

4.1.4 高階導數

習題 4.4

4.2 微分

4.2.1 微分的定義

4.2.2 微分的運算法則

4.2.3 高階微分

習題 4.5

4.3 微分學基本定理及其應用

4.3.1 中值定理

習題 4.6

4.3.2 待定式極限

習題 4.7

4.3.3 泰勒公式

習題 4.8

4.3.4 函數的單調性與極值

習題 4.9

4.3.5 函數的凸性與拐點

習題 4.10

4.3.6 曲線的漸近線與函數的圖像

習題 4.11




第5章 一元積分學

5.1 不定積分

5.1.1 不定積分的概念

習題 5.1

5.1.2 換元積分法與分部積分法

習題 5.2

5.1.3 有理函數與可化為有理函數的不定積分

習題 5.3

5.2 定積分

5.2.1 定積分的概念與可積條件

習題 5.4

5.2.2 定積分的性質

習題 5.5

5.2.3 微積分學基本定理

習題 5.6

5.3 定積分的應用

5.3.1 微元法

5.3.2 平面圖形的面積

5.3.3 利用平行截面面積求體積

5.3.4 平面曲線的弧長

5.3.5 旋轉曲面的面積

習題 5.7

5.4 反常積分

5.4.1 無窮積分

習題 5.8

5.4.2 瑕積分

習題 5.9





第6章 常微分方程與常差分方程

6.1 常微分方程

6.1.1 基本概念

6.1.2 初等積分法


習題 6.1

6.1.3 線性微分方程組

習題 6.2

6.1.4 高階線性微分方程

習題 6.3

6.2 常差分方程

6.2.1 基本概念

6.2.2 線性常差分方程

習題 6.4


參考文獻