公式之美：人類最美的23個公式（簡體書）

人類發明數學公式，來描繪浩瀚宇宙和人生百態。世界的繁華秀麗，映襯出符號公式的簡潔之美。愛因斯坦的質能方程和楊振寧的規範場，摸索出宇宙終極遊戲的規則；費馬大定理和歐拉恆等式，揭示出宇宙變化背後的數學世界；從凱利公式到貝葉斯定理，逐漸完全預測人類行為；蝴蝶效應的洛倫茲方程組和三體問題，則告訴我們數學的界限。

量子學派傾心打造《公式之美》，包含23個普遍、深刻、實用的公式，書寫天才們探索自然和社會的輝煌歷史。

量子學派

是一個專注於自然科學領域（數理哲）的教育平台，其公眾號“量子學派”發布的自然科學類文章閱讀量大都是10萬+，全國十大科普教育平台。平台推出了一系列深受廣大讀者好評的課程，包括《數學之美》《邏輯之美》《理性之美》《科學之美》等。

理論篇

1 1+1=2 ：數學的溯源17

2 勾股定理：數與形的結合29

3 費馬大定理：困擾人類358 年41

4 牛頓- 萊布尼茨公式：無窮小的秘密53

5 萬有引力：從混沌到光明65

6 歐拉公式：最美的等式75

7 伽羅瓦理論：無解的方程87

8 危險的黎曼猜想99

9 熵增定律：寂滅是宇宙宿命？111

10 麥克斯韋方程組：讓黑暗消失127

11 質能方程：開啟潘多拉的魔盒143

12 薛定諤方程：貓與量子世界159

13 狄拉克方程：反物質的“先知” 169

14 楊- 米爾斯規範場論：大統一之路183

應用篇

15 香農公式： 5G 背後的主宰197

16 布萊克- 斯科爾斯方程：金融“巫師” 209

17 槍械：彈道裡的“技術哲學” 223

18 胡克定律：機械表的心臟233

19 混沌理論：一隻蝴蝶引發的思考245

20 凱利公式：賭場上的最大贏家257

21 貝葉斯定理： AI 如何思考？271

22 三體問題：揮之不去的烏雲283

23 橢圓曲線方程：比特幣的基石295

人物索引308

從此，“熵”成了科學界一個神秘而憂傷的存在。

當它與時間聯繫在一起時，時間無法“開倒車”（黑洞內部除外）；當它與生命聯繫在一起時，則如一根尖針戳穿了人類長生不老的美夢；而當它與宇宙聯繫在一起時，它更似一部劇本，寫清了宇宙的前世今生和最終走向。

1867年，熵增定律被用於宇宙，克勞修斯提出了傳說中的熱寂論。

熱寂論在科學界掀起軒然大波，無數科學家急得抓耳撓腮。因為一旦熱寂論被證實，人類千百年的奮鬥與拼搏就像一場徒勞無功的笑話。

試想，整個宇宙的熵會一直增加，那麼，伴隨著這一進程，宇宙變化的能力將越來越小，一切機械的、物理的、化學的、生命的等多種多樣的運動會逐漸轉化為熱運動。整個宇宙將會達到熱平衡，溫度差消失，壓力變為均勻，熵值達到最大，所有的能量都成為不可再進行傳遞和轉化的束縛能，宇宙都最終進入停滯狀態，陷入一片死寂。

更為悲愴的是，熵在揭露宇宙終極走向的同時，也讓我們看清了自己的渺小。我們不僅不可能造出永動機，而且能量也終有一天會枯竭。

人類像是一步步去看清宇宙真相的孩子，我們從直立行走到點燃普羅米修斯之火，從男耕女織到走進蒸汽時代，從電磁統一到走進信息社會……但是面對熵，卻依舊似一個光腳的孩子，手足無措，無力去阻止宇宙的毀滅。一句“熵增是宇宙萬事萬物自然演進的根本規律”，就可以把我們困於絕望之中。

逆熵而行的“麥克斯韋妖”

面對熱寂論對宇宙命運的宣判，很多科學家氣急敗壞，稱熵增定律是墮落的淵藪。美國歷史學家亞當斯也道：“這條原理只意味著廢

墟的體積不斷增大。”傑出的科學家們開始對宇宙熱寂理論採取行動，

其中首先提出解決方案的是電磁學家麥克斯韋。

1871年，麥克斯韋意識到自然界存在著與對抗熵增的能量控制機制，卻無法清晰說明這種機制，只能詼諧地設計了一個假想的存在物——麥克斯韋妖。此妖有極高智能，雖個頭迷你，卻可以追踪每個分子的行踪，並能辨別出它們各自的速度。

在麥克斯韋設想的方案中，一個絕熱容器被分成相等的兩部分A和B，如圖9-3所示，由麥克斯韋妖負責看守兩部分之間的“暗門”，通過觀察分子運動速度，打開或關閉那扇“暗門”，使快分子從A跑向B，而慢分子從B跑向A。這樣，它就在不消耗功的情況下， B的溫度提高，A的溫度降低，從而與熱力學第二定律發生了矛盾。

圖9-3麥克斯韋妖實驗圖

乍一看來，麥克斯韋妖擊敗熱力學第二定律似乎輕而易舉，同時也讓烜赫一時的熱寂論多了一種反對勢力。人人高興不已，期待著真有這麼一個擁有無比敏銳感官的存在物，能讓雨滴從地面飛回雲裡，讓宇宙起死回生。

但在紀律森嚴的物理帝國，麥克斯韋沒有根據任何實驗來檢驗他的假說是否成立，心地單純的麥氏小妖命途多舛。它成功地困擾科學家一百多年，成了科學家詰難熱力學第二定律並反對熱寂論的著名假想實驗。

直到20世紀50年代，信息論在熱力學中應用後，寄予著人類救世主情懷的麥克斯韋妖才被判定為不可能活著。計算機科學家蘭道爾提出的蘭道爾原理說明了擦除信息是需要消耗能量的，這表明了不消耗額外能量就能記錄並區分信息的麥克斯韋妖並不存在。

1 分子熱運動：物體都由分子、原子和離子組成，而一切物質的分子都在不停地運動，且是無規則的運動。分子的熱運動與物體的溫度有關，物體的溫度越高，其分子的運動越快。

2 玻爾茲曼常數：熱力學的一個基本量，記為k或kB，數值為k=1.38× 10-23J/K，玻爾茲曼常數等於理想氣體常數R除以阿伏伽德羅常數（ k=R/ NA），其物理意義是單個氣體分子的平均動能隨熱力學溫度T變化的係數。玻爾茲曼常數是把熵（宏觀狀態參數）與熱力學概率（微觀物理量）聯繫起來的重要橋樑。

熱能的微觀世界：玻爾茲曼熵

借助熵增的概念，克勞修斯熵指明了熱力過程的宏觀不可逆。

借助麥克斯韋妖，麥克斯韋想在微觀層面找到對抗熵增的方法。

在麥克斯韋的世界裡，他的小妖是身手敏捷的賽跑者，通過和運動的分子賽跑來對抗熵增。被小妖監測著的分子不停地做著無規則的熱運動，但無論快慢，都逃不過小妖的魔掌。這種混亂無序的分子熱運動1，在別人看來是刺耳的魔音，對於玻爾茲曼來說，卻是一首氣勢恢宏的交響樂。

為了解釋熱力學第二定律的本質原因，玻爾茲曼將統計學思想引入了麥克斯韋的分子運動論中。1872年，從分子運動體系的非平衡到平衡，玻爾茲曼用概率織就了一個流光溢彩的偏微分方程，用來描述非熱力學平衡狀態的熱力學系統統計行為。在一個有著溫度梯度差的流體中，熱量從高溫區（分子運動劇烈）流向低溫區（運動較不劇烈），借助不同動量分子的碰撞，分子的運動劇烈程度漸趨一致。

這個有著普適意義的分子運動公式，為他後來解釋熱力學第二定律的微觀意義埋下契機。

1877年，玻爾茲曼將宏觀的熵與體系的熱力學概率聯繫起來，發現了一個表示系統無序性大小的公式： S ∝ ln Ω。在普朗克引進了比例係數k後，這個公式進一步華麗蛻變為Sk lnΩ，被稱為玻爾茲

= 曼-普朗克公式。作為19世紀理論物理學重要的成果之一，這個公式後來還被刻在了玻爾茲曼的墓碑上，為玻爾茲曼偉大而不朽的一生做了最後的總結。

在這個公式中，玻爾茲曼用統計學解釋了在微觀上什麼是熵。

S是宏觀系統熵值，是分子運動或排列混亂程度的衡量尺度，也稱為玻爾茲曼熵； k為玻爾茲曼常數2；Ω是可能的微觀態數，服從玻爾茲曼統計分佈律， Ω越大，系統就越混亂無序。也就是說，一個宏觀系統的熵就是該系統所有可能的微觀狀態的統計之和。由此，熵的微觀意義也就呼之欲出，即係統內分子熱運動無序性的一種量度。

在熱力學第二定律中，熵在孤立系統是恆增的，隨著熵的無限增加，系統從有序朝著無序發展，如高溫→低溫、高壓→低壓……而玻爾茲曼指出，這種無序性的量度與微觀態數Ω有著不可不說的糾葛：微觀態數越少，系統越有序，微觀態數越多，系統越無序。

不僅如此，這種從高有序度演變為低有序度的發展方向與概率也有著莫大的淵源。

對物理這門藝術有著無上追求的玻爾茲曼，不拘泥於克勞修斯的熵增定律，在前者的基礎之上開拓性地提出：孤立系統的熵不會自發減少的原因是熵高的狀態出現的概率大。一切系統的自發過程總是從有序向無序演變，這實則也是一種從概率小的狀態向概率大的狀態的演變。自然界總是朝著概率更大的方向發展，這是熱力學第二定律的本質。

用一個熵增，克勞修斯熵指明了熱力過程的不可逆，玻爾茲曼熵卻用統計語言對熱力過程進行了定量評述。在克勞修斯的眼中，熵是一種宏觀態，表示物質所含的能量可以做功的潛力，與熱效率有關；而在玻爾茲曼眼中，熵幻化成了一種微觀態，是能量在空間分佈均勻性的量度，能量分佈不均勻性越大，能量做功效率越大。

原本涇渭分明的兩個世界，一個宏觀極大世界，一個微觀極小世界，在玻爾茲曼的手中被概率統計這一數學方法統一起來。雖然我們不能像量子力學那樣精確描述每個個體的微觀運動，但是可以從微觀整體上描述宏觀系統的許多行為，描繪整個宇宙面貌。

然而，這樣一種拋棄宏觀現像類推、用數學手段探尋本質的科學哲學思維，與19世紀盛行的經驗主義是相悖的。玻爾茲曼的理論在當時太過超前，直到20世紀，物理學家們才逐漸認可“創造性原則寓於數學之中”，物理學理論研究才走向高度數學化、抽象化和形式化。

如果把玻爾茲曼的精神世界比作一個孤立系統，按照熵增原理，熵無情地朝著其極大值增長，他的精神世界也因始終被外界孤立，不被當時學界所認可而越來越混亂。充滿了悲傷的熵增熱寂論，似乎早已喻示了玻爾茲曼的結局。1906年，他以上吊自殺的方式結束了自己的生命，只留下了刻在他墓碑上的那個公式： S = k.log W。

生命以負熵為食

“落葉永離，覆水難收；死灰欲復燃，艱乎其力；破鏡願重圓，翼也無端；人生易老，返老還童只是幻想。”無論是克勞修斯熵，還是玻爾茲曼熵，似乎都以一種不可逆的增長態勢迅猛發展。系統從小概率趨於大概率，從有序趨於無序，在熵達到極大值後歸於沉寂。

無數自然現象，無不印證著熵增原理的正確性，哪怕是麥克斯韋妖也無法抵抗宇宙熱寂的悲劇命運。

那我們身處的這個世界為什麼又生機勃勃呢？生命現像似乎是一個例外。

生命是一種總是維持低熵的奇蹟。一個生命，在它活著的時候，總是保持著一種高度有序的狀態，各個器官和細胞的運作井井有條，只有死後才會很快化為一堆無序的物質。

在自然科學家和社會科學家看來，生命是高度有序的，智慧也是高度有序的。可在一個熵增的宇宙中，一切本該發展為混亂無序的存在，又為什麼會出現生命，進化出智慧？

按照玻爾茲曼熵的微觀意義，熵是組成系統的大量微觀粒子無序度的量度，系統越無序、越混亂，熵就越大。那這存在於生命中有序化、組織化、複雜化的負熵似乎違背熱力學第二定律。

生命真的可以抵抗熵增嗎？這個問題，薛定諤有自己的答案。

在《生命是什麼》一書中，薛定諤獨闢蹊徑地把熵與生命結合起來，石破天驚地提出了一個觀點：生物體以負熵為食，一個生命有機體天生具有推遲趨向熱力學平衡（死亡）的奇妙的能力。從有機生命系統來看，所有的生命都有一個終點，那就是死亡，每個人熵最大化的狀態便是死亡。

因而，人在生命期限內，只有一直保持不穩定的狀態，才能對抗熵的增加。對抗熵增也意味著人要讓自身變得有序，如何變得有序呢？薛定諤提出：生物體新陳代謝的本質，是使自己成功地擺脫在其存活期內所必然產生的所有熵。人通過周圍環境汲取秩序，低級的汲取秩序是求生存，即獲取食物，靠吃、喝、呼吸和新陳代謝，這是生理需求；高級的汲取秩序則是增強自身技能，在與他人和社會的交往中獲益。但無論是低級汲取還是高級汲取，都是人為吸引一串負熵去抵消生活中產生的熵的增量，這是人類生存的根本：以負熵為食。從這個角度看，人天生就是與熵增相對抗的力量。

結語

人類：為宇宙建立微末秩序

《列子•湯問》中曾記載北山愚公，年且九十，卻以殘年餘力，

叩石墾壤，企圖移山。山巍峨龐然，而愚公老弱如浮萍，故河曲智叟笑其不惠。然愚公答曰：“雖我之死，有子存焉；子又生孫，孫又生子；子

又有子，子又有孫；子子孫孫無窮匱也。而山不加增，何苦而不平？”

根據熱力學第二定律，宇宙天然而熵增，它俯瞰眾生，侵蝕萬物，比起那巋然不動的山更為渺茫，縱使偉大如愛因斯坦，堅韌如霍金也無能為力。放眼歷史，喧囂過後終歸無聲，熱寂才是最終歸宿。

但人類以負熵為食，即使面對宇宙熱寂，也從未膽怯止步。內以新陳代謝消除有機體內產生的熵的增量，外則不斷在環境中建立“有序”社會，力圖使一切維持在一個穩定而又低熵的水平之上。

縱然微小若星骸塵埃，也要求得自我的生命意義；縱然僅僅擁有數十年光陰，也要為這混亂的宇宙建立秩序。