最優估計與濾波及其應用（簡體書）

目錄
前言
第1章 *優估計的基本理論 1
1.1 統計參數估計 1
1.1.1 *大似然估計 1
1.1.2 無偏估計的克拉美-羅下界 1
1.2 *小均方誤差濾波器 5
1.2.1 維納濾波器 5
1.2.2 FIR維納濾波器 5
1.2.3 非因果IIR維納濾波器 7
1.2.4 因果IIR維納濾波器 8
1.3 *小二乘估計方法 9
1.3.1 *小二乘估計 9
1.3.2 總體*小二乘估計 12
1.4 基於特徵分解的頻譜估計 13
1.4.1 諧波信號模型 13
1.4.2 多重信號分類算法 15
1.4.3 旋轉不變技術信號參數估計算法 18
參考文獻 21
第2章 基於水聲向量傳感器陣列的相干聲波信號波達方向估計與跟蹤 22
2.1 圓柱形陣列的情況 22
2.1.1 估計算法 22
2.1.2 性能分析 30
2.1.3 模擬驗證 34
2.2 陣列位於反射邊界的情況 35
2.2.1 向量平滑算法 35
2.2.2 向量與空間平滑算法 40
2.2.3 模擬驗證 42
2.3 均勻線性陣列的情況 44
2.3.1 單快拍向量平滑算法 44
2.3.2 跟蹤算法 46
2.3.3 模擬驗證 47
參考文獻 48
第3章 基於聲傳感器陣列的氣流速度估計 49
3.1 有效聲速法 49
3.1.1 有效聲速的聲波傳播模型 49
3.1.2 聲壓標量傳感器陣列及估計算法 52
3.1.3 聲向量傳感器陣列及估計算法 57
3.1.4 模擬驗證 62
3.2 等效聲源分析法 65
3.2.1 等效聲源原理 65
3.2.2 聲波質點速度測量模型 70
3.2.3 基於二維廣義MUSIC的估計算法 73
3.2.4 模擬驗證 75
3.3 聲波傳播時間測量法 76
3.3.1 測量模型 76
3.3.2 測量方法 81
3.3.3 性能分析 89
3.3.4 模擬驗證 91
3.4 稀疏標記法 93
3.4.1 陣列模型的稀疏表示 93
3.4.2 稀疏協方差矩陣的反覆運算 96
3.4.3 模擬驗證 102
3.5 魯棒估計法 105
3.5.1 基於*小均方誤差準則的反覆運算算法 105
3.5.2 基於H∞濾波的反覆運算算法 110
3.5.3 模擬驗證 118
3.6 數據缺失重構法 121
3.6.1 基於網格的氣流速度估計 121
3.6.2 脫離網格的氣流速度估計 125
3.6.3 計算複雜度分析 127
3.6.4 模擬驗證 128
參考文獻 130
第4章 完全極化信號源的DOA和極化參數估計 132
4.1 電磁向量傳感器陣列模型 132
4.1.1 電磁向量傳感器陣列的測量模型 132
4.1.2 機載電磁向量傳感器陣列的測量模型 135
4.2 近場信號源的DOA、距離和極化參數估計 139
4.2.1 稀疏非均勻對稱線性極化敏感陣列的測量模型 139
4.2.2 信號源方位、距離和極化參數估計 141
4.2.3 估計的**性和可識別性 143
4.2.4 模擬驗證 145
4.3 遠場信號源的DOA和極化參數估計 146
4.3.1 基於部分校準極化敏感陣列的估計方法 146
4.3.2 基於稀疏非均勻COLD陣列的估計方法 150
4.3.3 模擬驗證 153
4.4 遠場信號源的DOA和極化參數估計的四元數方法 154
4.4.1 四元數代數概述 154
4.4.2 機載極化敏感陣列四元數模型 155
4.4.3 降維MUSIC估計方法 157
4.4.4 模擬驗證 159
參考文獻 160
第5章 部分極化信號源的DOA和Stokes參數估計 162
5.1 基於線性互質陣列的稀疏重構算法 162
5.1.1 帶有分離子陣列的互質陣列和極化信號源模型 162
5.1.2 稀疏重構算法 165
5.1.3 算法性能分析 168
5.1.4 模擬驗證 170
5.2 基於L 形互質陣列的稀疏重構算法 172
5.2.1 極化信號源模型 172
5.2.2 稀疏重構算法 174
5.2.3 模擬驗證 177
5.3 基於電磁向量傳感器的增強四元數算法 178
5.3.1 電磁向量傳感器的增強四元數測量模型 178
5.3.2 估計算法 180
5.3.3 模擬驗證 183
5.4 基於分散式向量傳感器陣列的四元數算法 184
5.4.1 分散式向量傳感器陣列的四元數測量模型 184
5.4.2 估計算法 185
5.4.3 模擬驗證 187
參考文獻 188
第6章 基於四元數的陣列波束形成 190
6.1 極化陣列的四元數波束形成算法 190
6.1.1 兩分量向量傳感器陣列的四元數模型 190
6.1.2 四元數MVDR波束形成算法 191
6.1.3 四元數半擴展線性波束形成算法 192
6.2 基於QMVDR的干擾和噪聲抵消器 193
6.2.1 干擾和噪聲抵消算法 193
6.2.2 性能分析 194
6.2.3 模擬驗證 198
6.3 基於QSWL的廣義旁瓣抵消器 199
6.3.1 第一階段波束形成 200
6.3.2 第二階段波束形成 201
6.3.3 性能分析 204
6.3.4 模擬驗證 205
參考文獻 206
彩圖

第1章 *優估計的基本理論
1.1 統計參數估計
1.1.1 *大似然估計
假設表示在參數θ出現的條件下，觀測資料 x的條件概率密度函數，它被稱為似然函數，則*大似然估計(Maximum Likelihood Estimation，MLE)估計器為
(1-1)
注意：①在時，為*，x是不變的，而θ是變化的。當可能不是**的。③如果對於θ存在二階導數，且則可通過來得到。④通常，可能是有偏的。
*大似然估計有如下性質。
①MLE的漸近特性。如果資料 x的似然函數滿足某些“正則”條件，即對數似然函數的導數存在，且費舍爾(Fisher)信息非零，那麼對於足夠多的資料記錄，未知參數θ的MLE漸近服從正態(高斯)分佈，即MLE具有漸近無偏特性，其方差可以達到*小值，並且具有高斯分佈，因此，MLE是漸近有效估計，也是漸近*優的。
②MLE的不變性。參數的，其中，是θ的MLE，且g是一個一一對應的函數。
③線性模型的*佳MLE。如果觀測資料X可以由一般線性模型表示，其中，已知H是一個秩為P的矩陣，且是一個被估計的P×1參數向量，而且n是一個概率密度函數為N(0， C)的噪聲向量，那麼，θ是一個有效估計量，它的方差達到了*小。θ的概率密度函數為。
一般情況下，MLE的求法有兩種，即求導法和搜索法。
1.1.2 無偏估計的克拉美-羅下界
1．標量參數的克拉美-羅下界(Crame-Rao Lower Bound，CRLB)
定理1-1假設觀測資料向量的概率密度函數滿足正則性條件，該式對所有θ成立，期望是針對取的，則任意無偏估計的方差滿足
(1-2)
其中，導數是在θ的真實值處取值的，期望是針對取的，令
(1-3)
式(1-3)被稱為克拉美-羅下界。而
(1-4)
式(1-4)被稱為 Fisher信息函數，其中。
進一步，當且僅當，則是一個*小方差無偏估計，且滿足。
注意：①CRLB為所有無偏估計的性能提供一個比較的標準。②CRLB與估計算法無關，只與信號模型有關。③CRLB(θ)是一個未知參數θ的確定性函數。④無偏且達到CRLB(θ)的估計稱為θ的“有效估計”。當*小方差(Minimum Variance Unbiased，MVU)估計的方差等於CRLB時，MVU估計是一個有效估計，若未達到CRLB，則不是有效估計。⑤僅適用於無偏估計，對有偏估計，另有公式。⑥因為，所以。該式便於計算，另外也說明是一個非負的函數。⑦對於獨立觀測，其每次觀測到的是可加的。即對N次IID觀測，其，其中，是一次觀測的Fisher信息函數，因此。但是，對於非獨立N次觀測。對於完全相關的觀測，附加的觀測沒有任何信息，即。因此，CRLB不會隨資料長度的增加而減少。
2．標量參數變換的CRLB
如果，那麼
(1-5)
例如，而。
如果若且則，是線性變換；如果不是線性變換，則將漸近達到CRLB(a)。
3．向量參數的CRLB
定理1-2假設條件概率密度函數滿足“正則”條件，其中，對於所有的的X，數學期望是對求出的，那麼，任何無偏估計量的協方差矩陣滿足，其中解釋為矩陣是半正定，Fisher信息矩陣由下式給出
(1-6)
其中，導數是在θ的真值上計算的。另外，對於某個p維函數和某個維，其矩陣，當且僅當成立，則無偏估計量協方差矩陣可達到，並且它是MVU估計。而對於任何無偏估計，則。
一般情況下，是非對角矩陣。
4．向量參數變換的CRLB
是r維函數，θ是p維向量，則其中，解釋為矩陣是半正定，是維雅可比矩陣。
(1-7)
5．一般高斯情況下的CRLB
假定，其中，可能是θ(θ是p維向量)的函數。是N×1維向量，維矩陣，則Fisher信息矩陣為
(1-8)
(1-9)
其中，
對於θ是標量的情況，
(1-10)
6．有多餘未知參數的情況
假定是Dw維感興趣的參數，θu是Du維不感興趣的參數(多餘)，則；利用矩陣逆公式，則
(1-11)
其中，表示多餘未知參數對感興趣參數的估計誤差的影響，若是完全解耦的。
1.2 *小均方誤差濾波器
1.2.1 維納濾波器
基於一組不同的但相關的信號序列，估計期望信號序列，使估計的均方誤差(Mean Square Error，MSE)1*小。2即目標函數為，
(1-12)
其中，是有限的和如果，估計信號為。當時，稱為濾波；當時，稱為平滑；當時，稱為預測。如果估計信號為，稱為解卷積。其中，是一個線性時不變系統的衝激響應。
維納濾波器的解如圖1-1所示。
當是有限脈衝響應(Finite Length Impulse Response，FIR)濾波器的脈衝響應時，稱為FIR濾波器。當是無限脈衝響應(Infinite wnLength Impulse Response，IIR)濾波器的脈衝響應時，稱為IIR濾波器。
圖1-1 維納濾波器
1.2.2 FIR維納濾波器
假設是聯合平穩的，它具有已知的自相關函數和已知的互相關函數，令，則信號估計
(1-13)
對於給定的整數m，確定使 MSE*小的，即
所以，和是正交的。因為
進一步，有
所以
(1-14)
其中。式(1-14)稱為維納-霍夫等式，它的矩陣形式為
(1-15)
其中，得到維納濾波器的係數為
(1-16)
其中，是事先已知的互相關函數向量。 Rx是P×P的Hermitian Toeplitz矩陣，它是事先已知的自相關矩陣。wo是維納濾波器的*優權向量。此時，維納濾波器的*小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)為
(1-17)