觀念數學(1+2)(2023年新版)

學習方法正確了，不但能學好數學，更能學得輕鬆。
觀念數學1：如何學好中學數學
從國小、國中，到高中、大學，不同的階段，有不同的學習方法與學習重點，《如何學好中學數學》專門針對高中階段的數學學習，清楚指出高中與國中的學習方法有何不同，並以現行課程的實例來解說，是全方位的高中數學學習方法。
這本書要告訴你：學習方法正確了，不但能學好數學，更能學得輕鬆。
觀念數學2：中學代數解題策略
2009年出版的《觀念數學1：如何學好中學數學》，精確的指出了學生學習的問題與解決的方向，指導學生用更正確的方式學習。可是有不少學生，雖然知道自己學習有問題，卻很難改變學習方法。其中最困難的，是建立解題策略與運用自己的思考去解題。
《觀念數學2：中學代數解題策略》就是以此為目的，一方面介紹簡單的解題策略，另一方面引導學生以標準的思考去解題。書裡大量採用學測與指考的試題，讓讀者體驗出，只用簡單的解題策略與思考，就足以應付大考的題目，進而解出沒見過的題目。

任維勇／作者
台灣大學數學系畢業，師大數研所碩士。
有二十多年教學經驗，曾為台北市教育局高中數學輔導團成員，現任北一女數學教師。
著有《觀念數學1――如何學好中學數學》、《觀念數學2――中學代數解題策略》。

觀念數學1：如何學好中學數學
前言
第一章 打破數學學習的迷思
迷思1. 國中數學是這樣學的，高中數學也應該這樣學。
迷思2. 國中數學都學不好，高中數學沒救了。
迷思3. 數學學不好就是因為演算題目不夠。
迷思4. 多背點公式就能解出題目了。
迷思5. 多學點特殊技巧就可以解出難題。
迷思6. 懂不懂沒關係，反正我會做題目就好。
迷思7. 我懂這是什麼，只是我說不出來。
迷思8. 數學考不好，趕快去補習就可以了。
迷思9. 數學考不好，趕快請家教就可以了。
迷思10. 數學學不好，因為我的頭腦不好。
迷思11. 多看幾遍自然就懂了。
第二章 數學的特性與學習
1. 學習數學的歷程──一張藍圖
2. 數學是理解的科目
3. 數學題目可以分成三種層級
4. 數學是絕對精確的
5. 數學需要不斷的思考
6. 數學題目非常多又非常相似
7. 數學的內容是環環相扣，累積起來的
8. 數學是有趣的
9. 只要方法正確，毎個人都能學好高中數學
第三章 正確學習數學的方法
1. 新學一個定義
1-1 數學化的定義
1-2 深入了解一個定義
1-3 數學化定義也可能有很多種
1-4 直觀的定義與數學化的定義交互使用
1-5 定義有主要部分與附帶條件
1-6 類似定義的數學式
2. 新學一個公式或定理
2-1 哪些公式要背？
2-2 深入了解一個定理
2-3 實例說明
3. 如何去記一個公式或定理
3-1 多半公式不需要死背
3-2 算熟了就自然記下來
3-3 用特例去推廣公式
3-4 用性質或特例去記公式
3-5 可以互推的公式只記一個
3-6 類似公式一起背
3-7 用一個公式去推其他公式
3-8 只記公式的關鍵
3-9 用圖形記公式
4. 注意等價的關係
5. 基本的解題策略
5-1 什麼是解題策略？
5-2 條件與求解（或求證）數學化
5-3 找尋條件與求解的關係
5-4 化簡的方向
5-5 假設未知數，再列方程式解之
5-6 條件式可以用來消去變數
5-7 題目屬於哪個範疇？有什麼公式可用？
5-8 可否代換成簡單的型態？
5-9 運用解題策略
6. 熟練基本運算──百分之百的理解
7. 理解標準題──提升理解的層次
7-1 這個題目怎麼做？
7-2 為什麼這樣做是對的？
7-3 為什麼會想到要這樣做？
7-4 這一類的問題該怎麼做？
7-5 多幾個例子
7-6 學會深入思考問題
8. 學完一個段落──構築解題策略
8-1 小範圍的解題策略
8-2 解題策略實例1：餘弦定理
8-3 中範圍的解題策略
8-4 解題策略實例2：餘式定理
8-5 解題策略實例3：進一步的三角問題
8-6 大範圍的解題策略
8-7 解題策略實例4：指數問題
8-8 解題策略實例5：比大小問題
8-9 解題策略實例6：算幾不等式
8-10 要建立自己的解題策略
9. 學習解思考題
9-1 解題思考的過程
9-2 解思考題的實例
9-3 解完思考題之後
9-4 有很多不同的解法
10. 考試作答技巧
10-1 看題目時慢一點、仔細一點
10-2 做完一題後，立刻重新看一遍題目
10-3 用代入特殊數值得答案
10-4 能不能猜答案？
10-5 隨時記得驗算
10-6 作答卷寫清楚
10-7 其他該注意事項
11. 如何避免粗心錯？
11-1 純粹的粗心錯
11-2 不精確的粗心錯
11-3 不專心的粗心錯
第四章 解決數學學習的問題
1. 我的孩子在學校上數學課都聽不懂，怎麼辦？
2. 我的孩子上課都聽懂了，可是考試都不理想，怎麼辦？
3. 我的孩子小考都還不錯，可是段考就不太理想，怎麼辦？
4. 我的孩子總是容易粗心錯，怎麼辦？
5. 我的孩子記性不好，公式總是背不起來，怎麼辦？
6. 我的孩子各科都很好，只有數學差，怎麼辦？
7. 我的孩子每次打開數學課本就發呆，怎麼辦？
8. 資優生也可能會有問題
附錄 簡易邏輯──數學的規則

觀念數學2：中學代數解題策略
第一章 代數解題策略
第1節 代數解題策略
第2節 解方程式
第3節 解方程組
第4節 求值問題
第5節 代換
第6節 化簡的方向
第7節 比大小的問題
第8節 其他解題需要的觀念
第二章 二次函數
第1節 函數與一次函數
第2節 二次函數
第三章 多項式的問題
第1節 多項式的運算與乘法公式
第2節 餘式定理與因式定理
第3節 解高次方程式
第4節 解不等式
第四章 方程式的問題
第1節 高次方程式的問題
第2節 一次聯立方程組的問題
第五章 指數、對數的問題
第1節 指數函數
第2節 對數函數
第3節 對數表應用
第六章 數列、級數的問題
第1節 等差數列與級數
第2節 等比數列與級數
第3節 一般數列、級數問題
第4節 數學歸納法
第七章 根據給定的定義解題
第1節 給定數學化定義或公式
第2節 依題意找出數學化定義或公式
第3節 依題意找出特定的程序

【內文試閱】
第一章 打破數學學習的迷思
大家都明瞭「給他魚，不如給他釣竿」的道理，不只是給他釣竿，更要先讓他明白為何要用釣竿，還要教他怎樣使用釣竿，否則給了他釣竿，可能變成了曬衣竿或打狗棒。
不正確的學習方法，簡單地說，就是過度使用記憶與熟練來學數學，而不是用理解與思考。會有這樣的結果，其實是長期錯誤的習慣與認知造成的。而廣泛存在於許多人心中的一些迷思，更阻礙了學生調整學習方法的動機！唯有先打破對於數學的迷思，讓學生了解錯誤學習方式所產生的危機，才能使學生願意改正學習習慣和方法。
常常有新認識的朋友知道我是數學老師後，第一句話就是：「啊！數學是我以前最怕的科目。」這表示很多人在學生時代都恐懼數學。有的父母當年就怕數學，因為抓不到方法而學不好，現在教育子女，同樣不知道該如何督促他們學數學，有的仍舊沿襲自己當初的想法去要求子女，於是對數學的害怕就這麼代代相傳。不僅在台灣，這情況舉世皆然。
這一章我希望家長與學生一起閱讀，除了可以打破傳統上對數學的誤解，也能了解為什麼要改變學習方法。

迷思1. 國中數學是這樣學的，高中數學也應該這樣學。
我們先來看看，國中數學與高中數學有什麼不同？
從小學到大學，學習的方式需要不斷地改變。小學的數學幾乎都是用直觀，看得見的真實問題，覺得對就好，不需要證明，過程也不會太長。
國中的數學引進較多的符號系統，開始出現一些生活中不易印證的內容，有少許的證明，也出現一些規則，需要用推理來解決問題。
到了高中，數學離生活越來越遠，邏輯的推論漸漸占有更重的分量，推論必須更精確，題目的變化更大，解題的過程變長，直觀的想法已經不足以應付了。
如果大學讀數學系，那就變得更抽象了，幾乎完全是邏輯的思維，直觀只是輔助思考的工具。
每一個階段的學習方式和要求不同，是因為要配合學生心智的成長，這些改變是循序漸進的，會越來越接近純數學的本質。小學生無法用高中生的數學思考模式，高中生的數學也無法用小學生的方法學習。
原本學生按部就班學習，依著教材逐漸改變學習方式，應該不會有太大問題，可是由於升學考試的壓力，不只是學生，還包括家長和老師，常常因此而扭曲了數學的學習，這現象在國中與高中都很常見。
回到我們的問題：「是否可以用國中時的方法來學習高中數學？」這個問題，要看國中時期是如何學數學的，倒不是國中數學成績好，就一定可以照著以前的方法學習數學；至於那些國中時期就學得很辛苦的學生，當然更要修正學習的方法，否則高中數學會更慘。
只有兩種學生大致可以不必擔心。
第一種學生是，國中時在數學方面沒有花很多時間、卻又能考好的同學。不要懷疑，真的有一些學生是如此，他們已經抓到了學數學的方法，總是能夠輕鬆學好數學，這些學生在進入高中後，也會再自行思索而找到適合高中的學習方法。正確學習數學的方向在國中與高中相差不多，可惜只有很少數的學生掌握到方向。
另一種學生就是，國中時即熱愛數學，我是指那種喜歡數學本身的學生，而不是只喜歡數學分數或數學老師的學生。這種學生已經領略了數學的樂趣，會廣泛涉獵課外的數學，而他們的數學成績也都很好。
那麼，那些國中三年都戰戰兢兢努力算數學、同時也能得到不錯成績的學生，又會面臨什麼處境呢？
這些同學多半沒有用對方法，但是由於國中數學範圍不大，考題變化不多，所以藉由不斷反覆練習，通常也可以得到不錯的成績。像這樣，運用記憶與熟練來代替理解的方法，在國中時期可能還有效，可是上了高中就不行了。這樣的學生通常數學分數還不錯，可是不喜歡數學，也不知道數學到底學了什麼。
這樣的學生其實很多，去年（2008年）國際教育成就調查委員會（IEA）公布調查結果，台灣八年級學生數學平均成績全球第一，但對數學的興趣和自信卻吊車尾。
拿國中數學與高中數學來超級比一比，高中當然比較難，分量也多了很多倍──其實更重要的是，高中數學比國中數學更抽象、更精細而嚴謹，因此相對的，在高中階段，邏輯推論會比演算更重要。這本來就是數學這門學科的特性，只是高中階段要求更高，如果讀到大學數學系，要求又會比高中階段更高。
至於考試題目，當然就更廣泛而難以捉摸，每年的學測與指考題目推陳出新，學校的考題也跟著變化多端。不僅數學科是這樣，其他科目也大致如此。
那麼那些認真學習數學，花了很多時間，而且考了高分的學生，他們的學習方法有問題嗎？這很難說對或錯，可是他們的學習方法可能適用於考高中的基測，卻不適用於考大學的學測與指考。
國中老師的教學目標是考好基測，考好基測的方法很多，較多的國中老師的教學方法偏重於「熟能生巧」，結果造成只有少部分學生會在熟練後再自己想清楚，而多半學生在熟練到足以應付考試後，就不會再深入思考了。國中數學多為基本運算而變化不大，靠機械式記憶和不斷演算，確實可以拿到高分。
我知道很多國中數學補習班會用幾種有效的法寶，一種是嚴格管教，看你敢不敢再做錯。曾經有一個學生很認真地告訴我：「我爸爸跟我講，學校老師不可以打學生，補習班老師可以。」天啊！這是哪門子的道理？
另一種是死纏爛打，學不會（應該是「記不得」或「做不對」）你就別想回家，繼續做到會為止，否則星期天還要再來做。
還有一種是循循善「誘」，做對了就記點，累積點數換獎品。很多家長都有這樣的經驗，大把鈔票讓孩子去補習，孩子不知感謝，補習班老師略施小惠，孩子就感激涕零。唉！做父母的通常也只能感嘆，只要孩子考好就阿彌陀佛了。
即使學校老師也可能是這樣。
阿超是個活潑的學生，喜歡數學也樂在數學，基測數學滿分。有一次，他私下告訴我他在國中遇見的兩位數學老師，那是一所師資優良的私立學校。國一的老師上課活潑而精采，有時天馬行空，偶爾不知所云，卻很有啟發性，常使他東想西想。
班上也有幾位同學像他一樣因而喜歡數學，這幾個同學後來在數學上也都有傑出的表現，但是全班的數學成績，卻非常不理想。有的學生抱怨上課抓不到重點，有些家長反映老師的作業、考試太少。
國二換了一個數學名師，上課幽默又有權威，解題時條理而清楚，又有很多手段和技巧，將全班治得服服貼貼，全班的數學成績也脫胎換骨般在全年級名列前矛。新老師一直敎到他們畢業，全班都很喜歡新老師，只是阿超覺得新老師把數學變得不再有趣。
這是國中數學老師的使命：讓全班學生考高分，將他們送進理想的高中。所以，很多學生經過反覆練習，變成基測高分卻不了解數學的學生，這些學生上高中後，如果不能改變學習數學的態度，當然就學不好了。

迷思2. 國中數學都學不好，高中數學沒救了。
沒有什麼情況會沒救了，只有認定自己沒救的人，才是真的沒救了，俗話說「哀莫大於心死」，只要不放棄，就永遠有機會。
國中數學很爛的同學，要清楚過去錯誤的原因，方法不對，就永遠學不好數學。先將本書徹底看一遍，想一想本書的說法是否有道理，再檢視一下自己以前的學習方法是否不妥。真正了解過去的錯誤方法，才可能真正的改正。下一步就是，認真執行本書所講的學習方式。開始會很辛苦，畢竟要立即改變既有的習慣很不容易，但是一陣子以後，你就會發現學數學也可以很有意思。
至於國中沒學好的數學，可以重新再學一次，只要把課本裡的數學真正讀懂就行了。也可以配合高中數學，遇到跟國中數學有關的部分，再由基本重新來過，多做一點基本運算即可，不用擔心比人家少學了三年的東西。國中三年的數學，大約相當於高中一冊的分量，你就這麼想：「別人三年讀六冊，我得三年讀七冊。」並不難做到吧。
我見過很多學生，國中時數學成績平平，高中時數學成績突飛猛進，一般人的說法是他「突然開竅了」，其實是他抓到了方法，學習自然就得心應手了。

迷思3. 數學學不好就是因為演算題目不夠。
這話有三分道理與七分迷思，演算題目是學習數學的必經階段，不過數學內容尚涵蓋推理與論證，演算題目絕不是最重要的。運用正確方法，多做不同的題目，會加強解題的能力，但若方法錯誤，做再多題目也是枉然。
簡單來說，多做題目是要能不斷累積解題經驗，變成有用的知識。可是有的學生雖然很努力，卻只在吸收一堆零碎又不完整的片段，又不能加以融會整合，最後還是頭腦空空。中國有句老話：「行萬里路勝讀萬卷書。」西方也有句：「哈巴狗環遊世界一周，還是隻哈巴狗。」問題不在做題經驗多，而是經驗是否能夠累積成有用的知識。讀完本書第三章，你就能了解這中間的差別。
數學不是熟能生巧的技能，數學重要的是推理與論證。不懂而拚命算，是浪費時間，懂了而一直做重複的演算，是原地踏步；只有懂了以後再不斷算不一樣的題目，才會進步。
很多家長看到孩子成績不理想，首先想到的就是練習不夠，於是，買一堆參考書、測驗卷，逼孩子再多花一點時間，再多算一點數學。反正多做不會錯，最好一遍又一遍地反覆做，這也開始了學生學習數學的噩夢。
其實，大多數排斥或放棄數學的學生都經過了很多努力，只是因為方法不對，拚命算了之後仍舊考不好，一再受到挫折，直到有一天，他覺得自己永遠都學不好數學了，或者覺得將時間用在其他科目上比較有效率，因此選擇跟數學說再見。
部分老師也會陷入這種迷思，沒有提升學生對問題的理解層次，也沒有建立學生自己解決問題的能力，只是賣力地講解與不斷地考試，然後埋怨學生為什麼總是記不住，最後徒留無奈的老師與無助的學生。
「多算就自然會了」是很多學生、家長，甚至部分老師共同的迷思。
在一個基礎法文班上，老師從頭到尾都只用法語上課，有學生下課後向老師抱怨聽不懂，老師親切地告訴學生：「不管你聽不聽得懂，只要常常聽，你自然就會懂了。」學生回答：「但是我家狗每天亂吠，我聽了10年還是聽不懂牠在叫什麼？」
這比喻也許過分了點，但道理是相同的，因為只有懂了以後的練習，才是有效的學習。多半學生的問題是沒有充分理解，而不是演算不夠，如果不能加深理解，再怎麼反覆運算也是沒有用的。本書第三章也會仔細說明如何深入理解。
數學的重點是邏輯的推演，而不是機械式的運算，在真正理解數學後，只需要適量的運算即可。相反的，如果在沒有充分理解以前，只是不斷的運算，對數學學習非但沒有幫助，反而可能阻礙了提升數學理解層次的機會，因為反覆練習常使學生記熟做法而自以為已經學會了。
這是很危險的，因為只要一遇到稍加變化的題目，學生就會束手無策，尤其經過一段時間後，更容易因記憶生疏而忘記做法。長久這樣，學生會變得自以為都學會了，但很快就都忘了，而在考試的時候，每題都自以為會寫，但都沒有把握，只能希望答案是對的（甚至自己也不知道是否算對了），或者自認考得不錯（因為都有算出一個答案），發下考卷才發現分數不是自己預期的。
這樣的學習還有一個缺點：學過的東西會在一段時間之後忘得一乾二淨。
有人相信「一分耕耘，一分收穫」，但在學習數學方面，這句話卻未必正確。每個班級總能看到有些學生非常努力學數學，卻總是學不好，同時也會發現一些學生輕輕鬆鬆學好數學。
「只問耕耘，不問收穫」，常常造就一些悲劇英雄；「要怎麼收穫，先怎麼栽」，才能事半功倍，獲得大豐收。學習數學時，一定要先弄清楚正確的學習方法，接下來的努力才會有收穫。
（摘自《觀念數學1：如何學好中學數學》第1章）