線性代數（簡體書）

本書主要依據高等院校非數學類專業線性代數課程的教學要求和教學大綱，將課程思政和工程案例、經濟案例等融入新形態教材，並結合哈爾濱理工大學線性代數教學團隊多年的教學經驗編寫完成.全書共7章，主要內容包含行列式、空間解析幾何與向量代數、矩陣、向量與線性方程組、矩陣的特徵值與特徵向量、二次型、線性空間與線性變換.本書秉承新形態教材建設理念，側重線性代數的實用性，每節習題配置分層分類，習題包含簡單的計算及難度各異的證明題和應用題等，每章總習題含有考研真題.本書可供高等院校非數學類專業的學生使用，也可作為職業技術學院、職業大學和現代產業學院的教學用書.

前言
2019年，國家教材委員會印發了《全國大中小學教材建設規劃（2019—2022年）》，明確了教材建設的總體思路、主要目標和重點任務.教材在教學中扮演著越來越重要的角色，對於提高教學效果、促進教學的優化起到不可忽視的作用，這對高等院校的教材改革提出了更加迫切、更高標準的要求.課程思政、工程案例等如何與教學內容有機融合成為高校教育工作者必須思考和解決的問題.在此背景下，編者撰寫了本書.本書是哈爾濱理工大學的線性代數新形態教材，旨在為創新人才培養打好數學基礎.本書能夠適應國家對高等教育的要求，目的是培養具有較好數學思維能力的優秀人才，更有效地推動本科數學課程教學創新人才培養模式改革和整體教育教學質量的提高.本書涵蓋空間解析幾何與向量代數，在後續內容中體現空間解析幾何的應用，使學生不但學到線性代數概念的幾何直觀背景，也能運用線性代數的方法分析解決幾何問題.本書在內容編寫上覆蓋高等院校線性代數課程教學大綱與碩士研究生入學考試線性代數課程的考試大綱.充分考慮當前高等院校線性代數課程的實際教學要求，習題配置分層分類，寫作上力求做到邏輯嚴謹、結構清晰、文字簡便、語言流暢、深入淺出，便於學生掌握.黨的二十大報告指出：“教育是國之大計、黨之大計.培養什麼人、怎樣培養人、為誰培養人是教育的根本問題.育人的根本在於立德.全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人.”因此，本書在每章設置了視頻觀看學習任務，希望學習者從先進事跡中汲取養分，立志全面成長成才.本書的第1、2章和第3章的3.1~3.4節由李興華編寫，第3章的3.5節到總習題3、第4章和第1章~第4章的習題答案由羅來珍編寫，第5~7章及其習題答案由華秀英編寫.本書是黑龍江省高等教育教學改革一般研究項目(SJGY20210395)、黑龍江省高等教育教學改革重點委托項目（SJGZ20210026、SJGZ20200074）和高等學校大學數學教學研究與發展中心2022年教學改革項目（CMC20220602）研究成果之一. 哈爾濱理工大學教務處、工科數學教學中心對本書的出版給予了大力支持，在此致謝!限於編者的水平，書中難免存在不妥之處，懇請讀者及同行指正.
編者於哈爾濱理工大學工科數學教學中心線

前言
第1章行列式1
1.1二階與三階行列式1
1.1.1二階行列式1
1.1.2三階行列式2
習題1.13
1.2n階行列式4
1.2.1排列及其逆序數4
1.2.2n階行列式的定義5
習題1.27
1.3行列式的性質及應用8
1.3.1行列式的性質8
1.3.2行列式性質應用舉例11
習題1.313
1.4行列式按行（列）展開14
1.4.1余子式、代數余子式14
1.4.2行列式的展開定理16
習題1.422
1.5克拉默法則23
習題1.526
1.6運用MATLAB計算行列式27
第1章思維導圖28
行列式歷史介紹28
總習題129
第2章空間解析幾何與向量代數31
2.1空間直角坐標系及其兩點間的距離31
2.1.1空間直角坐標系31
2.1.2空間直角坐標系中兩點間的距離32
習題2.132
2.2向量及其線性運算33
2.2.1向量的概念與表示方法33
2.2.2向量的線性運算34
2.2.3向量的坐標表示36
2.2.4向量的模與方向余弦38
2.2.5向量在軸上的投影39
習題2.240
2.3向量的數量積和向量積41
2.3.1向量的數量積41
2.3.2向量的向量積43
2.3.3向量的混合積*45
習題2.346
2.4平面與直線47
2.4.1平面方程47
2.4.2直線方程50
2.4.3平面與平面、直線與直線、直線與
平面的位置關係52
習題2.457
2.5曲面與曲線58
2.5.1曲面方程58
2.5.2空間曲線方程60
2.5.3柱面、旋轉曲面62
習題2.568
2.6二次曲面69
2.6.1橢球面69
2.6.2雙曲面70
2.6.3拋物面72
習題2.674
2.7運用MATLAB繪圖74
第2章思維導圖75
空間解析幾何與向量代數歷史介紹76
總習題276
第3章矩陣78
3.1矩陣的概念78
3.1.1矩陣的定義78
3.1.2幾種特殊的矩陣80
習題3.182
3.2矩陣的運算82
3.2.1矩陣的線性運算83
3.2.2矩陣乘法84
3.2.3矩陣的轉置87
3.2.4方陣的行列式89
3.2.5共軛矩陣91
習題3.292
3.3逆矩陣92
3.3.1逆矩陣的定義93
3.3.2矩陣可逆的充要條件93
3.3.3逆矩陣的性質96
3.3.4解矩陣方程97
習題3.398
3.4分塊矩陣99
3.4.1分塊矩陣的定義99
3.4.2分塊矩陣的運算101
3.4.3分塊對角矩陣103
習題3.4106
3.5初等變換與初等矩陣107
3.5.1矩陣的初等變換107
3.5.2初等矩陣110
習題3.5116
3.6矩陣的秩116
習題3.6120
3.7線性方程組的解120
習題3.7126
3.8運用MATLAB做矩陣運算126
第3章思維導圖129
矩陣的歷史介紹129
總習題3130
第4章向量與線性方程組132
4.1n維向量及其線性運算132
4.1.1n維向量的定義132
4.1.2n維向量的線性運算133
習題4.1134
4.2向量組及其線性組合134
4.2.1向量組的線性組合135
4.2.2向量組的等價136
習題4.2138
4.3向量組的線性相關性138
4.3.1向量組線性相關性的定義138
4.3.2向量組線性相關性的性質139
4.3.3向量組線性相關性的判定142
習題4.3145
4.4向量組的秩145
4.4.1向量組的極大線性無關組和秩146
4.4.2向量組的秩和矩陣的秩的關係147
習題4.4149
4.5向量空間150
4.5.1向量空間的定義150
4.5.2過渡矩陣與坐標變換153
習題4.5156
4.6線性方程組解的結構156
4.6.1齊次線性方程組解的結構157
4.6.2非齊次線性方程組解的結構162
習題4.6166
4.7運用MATLAB解方程組167
第4章思維導圖168
線性方程組歷史介紹169
總習題4169
第5章矩陣的特徵值與特徵向量172
5.1向量的內積、長度及正交性172
5.1.1向量的內積172
5.1.2向量的正交性174
5.1.3正交矩陣177
習題5.1179
5.2矩陣的特徵值與特徵向量179
習題5.2185
5.3相似矩陣185
5.3.1矩陣相似的定義及性質185
5.3.2矩陣的相似對角化187
習題5.3191
5.4實對稱矩陣的對角化192
5.4.1實對稱矩陣的特徵值和特徵向量的
性質192
5.4.2實對稱矩陣的相似對角化193
習題5.4197
5.5運用MATLAB求矩陣的特徵值和
特徵向量197
第5章思維導圖199
柯西不等式簡介199
總習題5199
第6章二次型201
6.1二次型的定義及其矩陣表示201
習題6.1205
6.2用正交變換化實二次型為標準形205
習題6.2208
6.3用配方法化二次型為標準形208
習題6.3210
6.4利用初等變換化二次型為標準形210
習題6.4212
6.5正定二次型213
6.5.1慣性定理及規範形213
6.5.2正定二次型215
習題6.5219
6.6運用MATLAB將二次型化為標準形219
第6章思維導圖220
高斯介紹221
總習題6221
第7章線性空間與線性變換223
7.1線性空間的定義與性質223
習題7.1226
7.2線性空間的基、維數226
7.2.1線性空間的基與維數226
7.2.2基的過渡矩陣、向量的坐標228
習題7.2231
7.3子空間的定義及運算231
7.3.1子空間的定義及判定231
7.3.2生成子空間232
7.3.3子空間的交與和233
習題7.3237
7.4線性變換的定義及運算237
7.4.1線性變換的定義及性質237
7.4.2線性變換的運算240
習題7.4242
7.5線性變換的矩陣242
習題7.5246
7.6線性變換的特徵值與特徵向量247
習題7.6250
第7章思維導圖251
線性空間與線性變換歷史介紹251
總習題7251
部分習題答案253
參考文獻284