數學女孩秘密筆記：創造數字篇

「數字」能夠自己創造嗎？
跟著三位少女和「我」自由地探討數字的本質與魅力吧～～！
　
本書的主題是「數字的構成」，是一本深入討論數字的書籍。
在學校，學習是一步步從1、2、3的自然數到包含零和負數的「整數」、用分數和小數表示的「有理數」、包含圓周率等的「實數」，然後通過方程式學習到「複數」。

而本書則是以故事的形式，描繪了從一無所有之處開始一點一滴創造「數字」，是從空集合開始，創造了非負整數、整數、有理數、實數和複數等各種「數」。

能親自「創造」出我們認為理所當然的「數字」，是不是很驚人呢？
不用記憶各種各樣「數字」的性質，而是一邊進行對話，一邊從什麼都沒有之處一步一步地構成「數」。

不僅是國中生、高中生，只要你想享受數學，這本書都值得一讀！

讓我們創造數字吧！
創造數字才能夠了解數的本質。
數，難道不是每個人都知道的東西嗎？
那麼，嘗試回答下述問題：

什麼是0？
什麼是1？
什麼是－765298374293486592763495234？
什麼是340282366920938463463374607431768211456？
什麼是 ？
什麼是 ？什麼是 ？什麼是 ⋯⋯。？
數，究竟是什麼呢？

對0來說，1是什麼呢？
對我來說，你是什麼呢？
對你來說——我是什麼呢？

讓我們創造數字吧！
以便探究數的本質。
以便體會——數的魅力。

作者簡介

結城 浩

1963年生。2014年日本数学会出版賞得主。執筆寫作有關程式語言、設計模式、密碼、數學等領域的入門書。最新著作是「數學女孩系列」。是一個最喜歡巴哈的「賦格的藝術」作品的新教基督徒。出版有2011《數學女孩／費馬最後定理》，2012《數學女孩／哥德爾不完備定理》，2013《數學女孩／隨機演算法》、2014《數學女孩／伽羅瓦理論》（世茂出版）、2021《數學女孩》、2015—2022《數學女孩秘密筆記》系列。

www.hyuki.com/

譯者簡介

衛宮紘
自由譯者。譯有《機器人實體圖解》《質感行銷學》（世茂）、《簡報力》《義大利麵哲學家》（智富）、《「睡眠負債」速償法》《日本酒入門》（瑞昇）……等。
賜教信箱：emiyahiro@hotmail.com.tw

序章
讓我們創造數字吧！
創造數字才能夠了解數的本質。
數，難道不是每個人都知道的東西嗎？
那麼，嘗試回答下述問題吧：
什麼是0？
什麼是1？
什麼是－765298374293486592763495234？
什麼是340282366920938463463374607431768211456？
什麼是 √2？
什麼是π？什麼是i？什麼是ω⋯⋯？
數，究竟是什麼呢？
對0 來說，1是什麼呢？
對我來說，你是什麼呢？
對你來說—－我是什麼呢？
讓我們創造數字吧！
以便探究數的本質。
以便體會—數的魅力。

獻給你
序章
第1 章 創造0、1、2、3、⋯⋯
1.1 謎題
1.2 集合
1.3 交集
1.4 聯集2
1.5 創造數字0
1.6 創造數字1
1.7 創造數字2
1.8 創造數字3
1.9 後繼數
1.10 創造n'
1.11 什麼是數字？
1.12 創造m + n
第1 章的問題

第2 章 創造－ 1、－ 2、－ 3、⋯⋯
2.1 想要做減法運算
2.2 想創造整數
2.3 想創造－1
2.4 創造數對
2.5 想創造－2
2.6 正負符號反轉
2.7 此3 是什麼3 ？
2.8 創造數對的加法運算
2.9 創造數對的減法運算
2.10 解決「類似的概念」
2.11 創造整數0
2.12 創造整數1
2.13 創造整數－1
2.14 創造整數
2.15 嘗試繪圖
2.16 向量的加法運算
2.17 創造數對的「相等」
第2 章的問題

第3 章 創造環
3.1 蒂蒂
3.2 反轉觀念
3.3 時鐘演算
3.4 ℤ3 的加法運算與乘法運算
3.5 ℤ3 的減法運算
3.6 ℤ3 的除法運算
3.7 整數的商與餘數
3.8 米爾迦
3.9 環
3.10 多項式環
3.11 多項式的係數列
第3 章的問題

第4 章 數對誕生的世界
4.1 環與體的關係
4.2 映射
4.3 創造有理數體ℚ
4.4 找出世界的缺憾
4.5 約分
4.6 最大公約數
4.7 創造複數體ℂ
4.8 虛數單位i
4.9 有理數對能夠創造什麼？
4.10 怎麼創造實數？
第4 章的問題

第5 章 戴德金分割
5.1 戴德金分割（Dedekind cut）
5.2 分割的定義
5.3 整數集合ℤ的分割
5.4 最大元和最小元
5.5 有理數集合ℚ的分割
5.6 有理數ℚ的分割：討論0的情況
5.7 有理數ℚ的分割：討論1的情況
5.8 有理數ℚ的分割：討論2的情況
5.9 有理數ℚ的分割：討論3的情況
5.10 有理數ℚ的分割（等價關係）
5.11 有理數ℚ的分割（大小關係）
5.12 有理數ℚ的分割：一致性
5.13 有理數ℚ的分割：完全性
5.14 實數集合ℝ的分割
第5 章的問題

終章
答案
獻給想要深入思考的你
後記
參考文獻與書籍推薦
索引

第1 章 創造0、1、2、3、……
「在不曉得X是什麼的情況下，能夠創造X嗎？」

1.1　謎題
由梨：「哥哥！有沒有好玩的謎題呀？」
由梨是我的表妹，是住在附近的國中生。
每到假日，她總會跑到我家串門子。我們從小一起長大，關係非常親近，她習慣稱呼我為「哥哥」。
我：「那麼，我來出一道謎題吧。」
說完後，我在紙上寫出一條數學式子。

謎題
這個是什麼？
｛｛｝, ｛｛｝｝, ｛｛｝, ｛｛｝｝｝｝

由梨：「嗯⋯⋯感覺好混亂。這是文字暗號？」
我：「雖然看起來像暗號，但實際上是一條數學式子。」
由梨：「數學式子？」
我：「對，這是數學式子。所有大括弧｛ ｝的大小都一樣，可能會不好直接解讀，所以我們試著改變符號的大小來幫助理解吧。將愈外側的大括弧寫得愈大。」
｛｛｝, ｛｛｝｝, ｛｛｝, ｛｛｝｝｝｝
↓
｛｛｝, ｛｛｝｝, ｛｛｝, ｛｛｝｝｝｝
由梨：「哦∼原來如此，變得容易閱讀了∼」
我：「反應這麼平淡？」
由梨：「因為還是一堆符號啊！」
我：「沒有這回事喔！仔細看會發現，在最外側的｛ ｝裡，含有3 個用逗號（，）隔開的元素。」

｛｛｝, ｛｛｝｝, ｛｛｝, ｛｛｝｝｝｝
由梨：「嗯，這樣就看出來了。真的有3 個元素。」
我：「這條數學式子是
｛｝和｛｛｝｝和 ｛｛｝, ｛｛｝｝｝｝

含有這3 個元素的集合。」
由梨：「集合？」
我：「沒錯。集合是指⋯⋯」
由梨：「哥哥，等等！那麼，謎題的答案是『含有3 個元素的集合』嗎？如果只是這樣，一點都不有趣！」
我：「謎題的答案就只有這樣。不過，其實後面還有下文。
{{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} 是使用集合創造3的數學式子！」
由梨：「哎？創造3 ？」
我：「不僅是3。只要使用集合，就可以創造出0、1、2、3、⋯諸如這些數字！」
由梨：「創造數字？什麼意思？」
我：「這是馮．紐曼＊提出的方法。藉由這個馮．紐曼法，可以像這樣創造0、1、2、3、⋯⋯等數字。」

馮．紐曼定義法的0、1、2、3、⋯⋯
0＝{ }
1＝{ { }}
2＝{ { },{ { }} }
3={ { },{ { }} , { { },{ { }}}}

由梨：「果然是暗號！完全看不懂喵！」
由梨使用喵語表達不滿。
我：「有些數學書籍會提到用馮．紐曼法創造數字，我第一次碰到的時候，也一樣完全摸不著頭緒。不過，稍微接觸集合的概念後，我就漸漸看懂了，然後就感到非常興奮。」
由梨：「不愧是數學迷。看到困難的數學內容竟然會感到興奮。」
我：「馮．紐曼的方法本身其實不難理解。只要稍微解釋一下，妳應該就能夠明白。」
由梨：「真──的嗎？」
我：「馮．紐曼的方法是從0 開始依序創造數字，從一無所有起創造0、1、2、3、⋯⋯等數。」
由梨：「哦！從一無所有起嗎？」
我：「是的，從一無所有起地創造無窮多的數字。很帥吧！」
由梨：「好像很有趣！由梨真的、真的也能夠理解嗎？」
我：「當然，妳絕對能夠理解的。」
由梨：「那麼，趕快教教我吧！」
我：「我正好也可當作複習，就讓我們一起討論吧！」
由梨：「於是，兩人展開了『創造數字』之旅，他們將會遇到什麼樣的冒險呢—」
我：「小劇場演完了嗎？」
由梨：「演完了！」
由梨和我就這樣展開了「創造數字」之旅。

* 註：John von Neumann，1903 ∼ 1957 年，美國籍猶太裔數學家。