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【編者簡介】
陳紅
國立師範大學畢業，專科數學與應用數學，現為高中教師。在多間教育培訓中心發表過多篇論文，獲得多個優良教師獎項。
謝風媛
國立理工大學博士畢業，現任國立外語大學經濟與管理學院副院長兼任副教授。專門教授線性代數。發表過多篇論文，並曾獲獎。

【審訂者簡介】
沈新
國立高雄師範大學數學碩士。
近年致力於推廣數學歷史文化與生活數學，並為FB專頁「看數學史學數學」與「從生活中學數學」版主。

FB粉絲團版主：
看數學史學數學、從生活中學數學
https://www.facebook.com/mathteachershen.tw/
學歷：高雄師範大學數學系、高雄師範大學數學碩士。
經歷：高中數學科專任教師

前言
第一章 古埃及與古巴比倫數學
1.1 古埃及數學
1.2 古巴比倫數學
第二章 古希臘數學
2.1 古希臘數學的發端
2.1.1 泰勒斯
2.1.2 畢達哥拉斯
2.1.3 雅典時期的古希臘數學
2.2 黃金時代─亞歷山大學派
2.2.1 歐幾里得
2.2.2 阿基米德
2.2.3 阿波羅尼奧斯
2.3 亞歷山大後期數學
2.3.1 海倫
2.3.2 托勒密
2.3.3 丟番圖
2.3.4 帕普斯 .
第三章 古印度與阿拉伯數學
3.1 古印度數學
3.1.1 印度數學的主要成就
3.1.2 河谷文明時期與吠陀時期
3.1.3 悉檀多時期
3.2 阿拉伯數學
3.2.1 阿拉伯數學的主要成就
3.2.2 阿拉伯數學家
第四章 歐洲數學
4.1 歐洲中世紀時期數學
4.1.1 斐波那契
4.1.2 奧雷斯姆
4.2 文藝復興時期數學
4.2.1 謬勒
4.2.2 塔塔利亞與卡爾達諾
4.2.3 費拉里
4.2.4 韋達
第五章 十七世紀數學
5.1 迪沙格
5.2 帕斯卡
5.3 納皮爾與對數的發明
5.4 費馬、笛卡兒與解析幾何
5.4.1 平面解析幾何的創立
5.4.2 費馬
5.4.3 笛卡兒
5.5 牛頓、萊布尼茲與微積分
5.5.1 牛頓的微積分
5.5.2 萊布尼茲的微積分
第六章 十八世紀數學
6.1 伯努利時代
6.1.1 伯努利家族貢獻
6.1.2 其他數學家及成就
6.2 歐拉時代
6.3 法國大革命時期
第七章 近代數學
7.1 19 世紀數學
7.1.1 19 世紀數學概述
7.1.2 高斯及數學研究
7.1.3 非歐幾何及影響
7.2 20 世紀數學
第八章 中國數學
8.1 中國早期的數學知識和數學思想
8.1.1 中國早期的數學工具─算籌與規、矩
8.1.2 春秋戰國時期的數學知識和數學思想
8.1.3 《周髀算經》與勾股定理
8.2 《九章算術》及突出成就
8.2.1 《九章算術》簡介
8.2.2 中國古代分數演算法
8.2.3 中國古代的盈不足演算法及方法論意義
8.2.4 「方程」之模型構造及演算程式
8.2.5 《九章算術》的開方演算法
8.3 中國古代數學泰斗─劉徽及成就
8.3.1 劉徽簡介
8.3.2 劉徽的數學機械化思想
8.3.3 劉徽的「割圓術」─無窮小分割和極限方法
8.3.4 劉徽的出入相補原理
8.4 《張丘建算經》和《孫子算經》
8.4.1 《張丘建算經》和百雞問題
8.4.2 《孫子算經》
8.5 祖氏數學世家
8.5.1 祖沖之父子及數學思想
8.5.2 祖沖之父子對球體積的研究
8.6 中國數學專科教育制度的確立
8.6.1 算學館與《算經十書》
8.6.2 隋唐時期的數學
8.7 宋元數學─中國傳統數學的高峰
8.7.1 賈憲與增乘開方法
8.7.2 秦九韶與《數書九章》
8.7.3 楊輝及數學貢獻
8.7.4 李冶與天元術
8.7.5 朱世傑與四元術
8.8 中國傳統數學的衰落與艱難復興
8.8.1 中國珠算及教育
8.8.2 徐光啟與《幾何原本》的翻譯
8.8.3 李善蘭對近現代數學教育的貢獻

帕斯卡
另一位法國數學家帕斯卡（1623 ∼ 1662），16 歲時就開始研究投射與取景法，1640 年完成著作《圓錐曲線論》，不久失傳，隨後於1779 年被重新發現。在射影幾何方面他最突出的成就是所謂的「帕斯卡原理」。

人物小史與趣事
布萊斯．帕斯卡 西元1623 ～ 1662 年
布萊斯．帕斯卡，法國傑出的數學家、物理學家、哲學家和文學家。出生於法國克萊蒙費朗城。
◆帕斯卡的生平
布萊斯的父親埃利納．帕斯卡是地方救護會會長，學識淵博，樂善好施，在當地非常有名望。母親安東尼達．白戈妮是位心地善良、容貌美麗的婦女。
1630 年，帕斯卡一家由克萊蒙費朗遷到巴黎。這時候，布萊斯雖然只有7 歲，但較同齡孩子早熟，普通學校裡的課程對他而言輕而易舉。可是，他體弱多病。父親埃利納為了防止帕斯卡用腦過度，便親自指導他學習，只教他古典語言，不讓他接觸數學。沒想到，埃利納對數學敬而遠之的態度，反而激起帕斯卡的強烈好奇心。帕斯卡經常詢問父親有關數學的問題，埃利納總是避而不答。
在布萊斯12 歲時，又纏著父親提出問題：「爸爸，幾何是什麼？請您說給我聽吧！」禁不住孩子的不斷請求，埃利納終於做了一個簡明而且生動的介紹。這段說明就像是在乾柴上點了一把火，把布萊斯長期被壓抑的熱情一下子迸發出來，讓他決心用自己的智慧和毅力去敲開這扇莊嚴的大門。
布萊斯．帕斯卡鑽研幾何的事蹟，在數學史上傳為美談。一開始，在沒有任何書本的啟示下，帕斯卡證明出一個重要的幾何定理：三角形三內角之和等於兩直角。這個了不起的成就讓他大受鼓舞，父親更是高興得熱淚盈眶。
這件事似乎還不夠神奇。根據姐姐吉爾帕蒂說：「布萊斯在看到歐幾里得《幾何原本》之前，就獨立發現這本書的前32 個定理，甚至連順序也完全相同。」
而「三角形三內角之和等於兩直角」，正好是《幾何原本》的第32 個定理。
許多人認為，布萊斯無疑是獨立地發現和證明《幾何原本》的一部分定理，但是吉爾帕蒂的說法可能言過其實，因為這幾乎是不可思議的事。
兩年之後，14 歲的布萊斯就跟隨父親到明尼茲修道院，參加梅森神甫主持的每週討論會。會員均是著名的學者，包含費馬、德札爾格、羅貝瓦爾等，笛卡兒則經常和他們進行通信。這個小團體後來發展為自由學院，到1699 年，演變為法國科學院。
◆神祕六邊形
正當帕斯卡在幾何上披荊斬棘，快速向新高峰攀登的時候，他的父親埃利納在事業上卻遇到麻煩。因為極端的誠實和正直，在一項徵稅問題上，埃利納與紅衣主教黎塞留發生爭執。因為得罪主教，埃利納只好帶著全家人到鄉下躲起來。事情後來是怎樣了結的，說法不一。據說，是埃利納的小女兒──美麗的傑克琳拯救全家。
有一次，主教去看演出，一位年輕女演員的精彩表演使他大為傾倒。喚到面前來一問，來她就是埃利納的小女兒傑克琳。主教二話未說，痛快地把舊賬一筆勾銷，還將埃利納安排到法國北部城市盧昂的稅務局工作。
課稅員的工作非常辛苦，埃利納經常抱著帳本一直計算到深夜。帕斯卡在旁邊默默地看著父親埃利納工作，又一次表現出超乎尋常的才能。帕斯卡發現一切加減運算均能夠用機械來完成，經過一段時間的摸索與改進，終於創造出世界上第一臺可以實際使用的電腦。這是一臺手搖操作的齒輪系統，每個齒輪包括10 個齒。順時針方向旋轉為加，逆時針方向旋轉為減。齒輪每轉過10 個齒，帶動旁邊高階位的齒輪轉一個齒，數字就進一位。就這樣，剛滿18 歲的帕斯卡成為數字電腦的發明者。
在這之前，帕斯卡廢寢忘食的研究還有一項重要進展：發現幾何學中一個非常優美的定理─帕斯卡定理。好在它的一個特殊情形只用直尺即可說明。
設有l 與l’兩條不平行的直線，在它們上面各任意取三點A、B、C 及A’、B’、C ’，分別將A 和B’、A’和B、B 和C’、B’和C、C 和A’、C’和A 連接起來，即可得到三對直線：AB’和A’B，BC’和B’C，CA’和C’A。若每對直線都有一個交點，設它們分別為D、E、F。帕斯卡證明：D、E、F 三點必定在同一條直線上。進而他將這三對直線換成圓內接六邊形的三對對邊，帕斯卡又證明：如果這些對邊的延長線分別相交，那麼，它們的交點也在同一條直線上。他將這種六邊形稱為「神祕六邊形」。
帕斯卡並不就此滿足，他借助德札爾格所發明的投射法，進一步推廣這個定理。假設一隻燈泡被一張開一個小孔的紙遮住，於是通過小孔射出一束圓錐狀的光線。若將一張紙伸到這束光線中去，那麼根據紙片角度的變化，在紙上能夠看到光束的邊界呈現不同的圖形：圓、橢圓、拋物線和雙曲線，這些均為圓錐曲線。帕斯卡發現，上述定理中圓內接六邊形的這種性質，若將圓換成其他的圓錐曲線，例如橢圓，同樣是正確的。如果在光束與紙片之間插進一塊玻璃，在玻璃上畫一個「神祕六邊形」，當光束穿過玻璃投射到紙面上的時候，出現的即為「神祕六邊形」的影子。這影子也是一個「神祕六邊形」，因為它的三對對邊的交點也在一條直線上。
帕斯卡發現這個有趣的定理那年才16 歲。依照德札爾格建議，聰明的帕斯卡環繞這個定理寫兩篇論文，將超過400 條有關圓錐曲線的定理，其中包括阿波羅尼奧斯及其他前人的成果，用投射法作了系統性總結，把它們歸納為少數幾條基本定理。論文所涉及的是與過去希臘幾何完全不同的全新領域─射影幾何。
這裡研究的圖形，它的線段長短及角度大小，在射影對應下可以不同，但是在射影對應中圖形的某些性質仍然保持不變。例如，將圓換成其他的圓錐曲線，其內接六邊形三對對邊的交點共線，性質始終保持一致。
可惜這兩篇珍貴的文稿從來沒有發表，而且旋即失傳；其中的一篇只有薄薄8 頁，題為《圓錐截線論》，在1779 年重新找到。德國數學家萊布尼茲曾經看到過它的手抄本，而且對帕斯卡的外甥談起過裡面的內容。笛卡兒在1640 年讀過這兩篇論文，可是他不相信，這樣出色的論文竟然會出自一個16歲的少年之手！
◆雙重折磨
年輕的帕斯卡卻必須為這一連串令人驚羨的成就付出沉重代價，通宵達旦的工作使得他的健康遭到極大損害。從17 歲起，他的生活幾乎每天都在難忍的病痛中度過，嚴重消化不良導致鑽心的胃痛，把他折磨得汗如雨下；長期的失眠，使得漫漫長夜成為可怕的惡魔。
更糟糕的事情還在後面：宗教狂熱開始感染帕斯卡的家庭。在當時名目繁多的教派中，一個稱為詹森派，由荷蘭神學家科爾內留斯．詹森所創。詹森派既不屬於天主教，也不是新教，偏激狂熱，蔑視意志自由，鼓吹神力不可反抗。信徒們為了表示忠誠，要用各種方式虐待和折磨自己。十分不幸，好端端的帕斯卡竟然迷上這古怪離奇的教派。雖然原因是多方面的，但是他的體弱多病無疑是最主要原因。限於當時的醫學水準，醫生們開出的各種處方解除不了帕斯卡的病痛，他只好求助於神。宗教成為他擺脫疾病困擾的救命稻草。從23 歲起，帕斯卡從數學研究的高峰一步步陷進詹森派的深淵而不能自拔。這位數學史上罕見的天才，在他短促的生命歷程中，從此遭受著病魔與宗教狂的雙重折磨。
但是天才的火花並未熄滅，帕斯卡對物理學作出重大貢獻。他對重力和密閉液體壓強的傳遞等進行一系列重要試驗，發現著名液壓傳遞的帕斯卡定律。義大利物理學家托里拆利做了一個著名實驗，測定一個標準大氣壓的水銀柱高度為760 毫米。帕斯卡進一步延伸，建議姐夫彼埃爾帶著氣壓計到家鄉附近多姆山上去測量大氣壓強。帕斯卡認為，由於高度升高，氣壓減小，水銀柱的高度應該隨之下降。後來，帕斯卡和妹妹傑克琳在返回巴黎的時候也進行同樣的實驗。
這時候父親已經退休，不久，帕斯卡與傑克琳來巴黎與他同住。有一次，浪跡四方的笛卡兒來帕斯卡家訪問。笛卡兒當時是享譽全球的大學者；帕斯卡比他年輕近30 歲，但是在科學界也已經嶄露頭角，蜚聲遐邇。他們兩人從數學、物理、文學，一直討論到哲學。臨別之時，笛卡兒還真摯地給這位年輕朋友提出不少忠告。他建議帕斯卡學他的樣子，每天躺到上午11 點鐘起床；對於經常給帕斯卡帶來煩惱的胃，笛卡兒建議他只喝肉湯，不要吃別的食物。
但是因為這些健身之道聽起來非常怪誕，所以帕斯卡並沒有重視。
在巴黎住的時間不長，全家又回到克萊蒙費朗。家鄉清幽的環境比豪華的巴黎更加吸引人。在家鄉，帕斯卡開始創作《沉思錄》。這是法國文學史上一部自我暴露與自我剖析的不可多得傑作。從中可以清楚地瞭解到帕斯卡矛盾的性格：他熱愛大自然，熱愛生活，但卻不自然地壓制著這些正當的欲望。為了做到這一點，他選擇到怪誕的詹森教派的教義中去尋求支持。
在克萊蒙費朗居住兩年，全家又來到巴黎。第二年父親不幸病逝。傑克琳在帕斯卡支持下進入波特羅耶爾的修道院。不久，她成為女修道院的聖職志願人，並不斷地勸說帕斯卡前往波特羅耶爾，攪得帕斯卡心緒不寧，思緒反覆異常。1654 年11 月23 日，他獨自駕馭一輛四駕馬車，在巴黎附近的鄉間道路上狂奔。在通過紐萊河上一座橋的時候，領頭的一匹馬突然衝過欄杆，躍入河中。幸虧挽繩一下子被繃斷，馬車仍舊停留在馬路上。這個事件引起帕斯卡的強烈震動。他認為能夠逃脫這場橫禍，無疑是神的意志─警告他趕緊在世俗生活上懸崖勒馬。他決定皈依詹森教派，而且在貼胸處掛起用羊皮紙做的護身符，以使自己克服淫邪的誘惑，以及時時刻刻記住上帝把他從地獄之門拯救出來的「偉大恩典」。
從此，帕斯卡永遠遠離世俗，虔誠地來到波特羅耶爾，過起清心寡欲的修道者生活。值得慶幸的是，在這之前，他對數學所作的最重要的貢獻已經完成。他與費馬一起創立機率論的數學理論，這個成就使他在數學史上享有不朽的地位。

平面解析幾何的創立
解析幾何是數學中最基本的分支學科之一，也是科學技術中最基本的數學工具之一。從歷史的角度來看，解析幾何的創建可說是數學史上偉大的創舉之一。
16 世紀末，韋達在代數中系統地使用字母，促使幾何學普及化，廣為一般民眾所知。
1607 年，韋達的學生格塔拉底（1566 ∼ 1627）發表《阿波羅尼奧斯著作的現代闡釋》，有系統地研究幾何問題的代數解法，對於解析幾何的創造有指標性貢獻。
在變數數學史的發展中，產生解析幾何的一個重要原因就是：傑出的數學家們把幾何、代數與一般變數相結合，直接奠定解析幾何產生的基礎，其中，費馬和笛卡兒幾乎同時各自獨立地創立這個學科。
1692 年，萊布尼茲首先創用「坐標」一詞。
人物小史與趣事
伽利略 西元1564 ～ 1642 年
伽利略．伽利萊，義大利物理學家、數學家、天文
學家及哲學家，科學革命中的重要人物。其成就主要包括改進望遠鏡、天文觀測，以及支持哥白尼的日心說。伽利略做實驗證明，感受到引力的物體並不是呈等速運動，而是呈現加速度運動；物體只要不受到外力作用，就會維持其原來的靜止狀態或等速運動狀態不變。他的工作為牛頓的理論體系的建立奠定基礎。1609 年8 月21 日，伽利略製造出人類歷史上第一架根據科學原理的望遠鏡。伽利略被譽為「現代觀測天文學之父」、「現代物理學之父」、「科學之父」及「現代科學之父」。
◆眼見還不能為憑
「恩里科，明天你願意幫助我做一個重要實驗嗎？」伽利略問學生。
「伽利略教授，我隨時可以幫助你，要做什麼實驗？」
「你記得我們在課堂上講過的亞里斯多德落體定律嗎？」
「當然記得。」學生恩里科回答。
「恩里科，我現在準備在比薩斜塔上向我的同事和學生證明，亞里斯多德錯了。」
年輕的學生恩里科盡可能抑制驚愕，說：「這可是一件不容易的事！其他教授都堅信亞里斯多德是正確的，您怎麼能改變他們的看法？」
「明天早晨，在比薩斜塔見。」伽利略說：「事實上，它的傾斜正好符合我們的需求。你能把羅伯特也找來嗎？我站在斜塔底下等你們。我希望有一大群人來看。真理最終必定勝利。」
次日，伽利略與兩名學生恩里科和羅伯特在塔下相遇。伽利略精神煥發，專心思考著他將要做的事，然後向兩名學生說明這項計畫。 「你們看，這裡是兩個鐵球。一個輕，另一個比它重十倍。根據亞里斯多德的說法，物體降落的速度與其重量成正比─較重的物體降落得較快。所以，人們認為：大球以比小球快十倍的速度下降。」兩個學生點頭，伽利略繼續興奮地說：「我將爬上塔頂，你們站在這裡看。當你們見到我在陽臺上向你們招手時，你們就預備好手裡的鐘，還必須向群眾說明：每一個球是多長時間接觸地面。恩里科你記錄小球，羅伯特你記錄大球，還有什麼問題嗎？」
學生和教授們聚集在塔的周圍，等著觀看實驗結果。
在中午的鐘聲敲響時，伽利略已經準備好了。恩里科和羅伯特伸長脖子，望著塔頂上的教授。
群眾安靜下來時，伽利略向年輕助手們發出信號，接著兩個鐵球一同降落，而且準確無誤地同時落地，較重的球一個並沒有以比較輕的球以快十倍的速度降落。在這件事上，亞里斯多德真的犯了個錯誤！
伽利略在他快步下塔梯時，心情非常激動。
但是，在他到達塔外時，他的快樂消逝了。只有極少數幾個學生留在那兒向他祝賀，而他的同事們則回去工作了。一路上，談論這件事的人，都說是魔術、是胡鬧。他們都眼睜睜地看到這個試驗，卻拒絕承認這是事實。為此，伽利略陷入煩惱。
◆受到誤解
伽利略受這樣的誤解已經不是第一次了。
幾年前，父親溫琴齊歐就責罵過他說：「伽利略，你對於賺錢不感興趣，總喜歡思考些怪問題，將來會變得一錢不值。」伽利略在音樂和藝術方面展現出過人的才能，父親希望他靠這些本領去賺錢。然而，溫琴齊歐知道，憑著唱歌和繪畫致富實在太難了。他自己就是一位有成就的音樂家，但仍須須要靠賣衣服賺錢來維持家庭生計。
最後，父母決定將伽利略培養成醫生，把伽利略送到比薩大學學醫。但是醫學院的課業卻令伽利略感到厭煩，在他看來，教授們的思想顯得陳腐，而且禁止學生在病人或屍體上做實驗。
一天，年輕的伽利略在走過大廳時，見到教室的門半開。裡面的學生們都坐在座位上，專心且興致勃勃地學習。他們顯然被所討論的學科─幾何─吸引住了，伽利略在外面徘徊、傾聽。對於這個年輕的醫科學生而言，這是一門新學科，非常引人入勝。不久之後，他開始從醫科課堂上逃出來，轉去聽數學課。
◆發現鐘擺定律
一天，他到大學的教堂裡去祈禱，希望能夠讓心靈平靜。但是，教堂裡發生的事，卻讓他激動得徹夜未眠。
伽利略進教堂是在臨近傍晚的時候，在祈禱並反思時，一名工人進來點燈。大銅燈是用鏈子吊在天花板上。為了點著它，工人站在騎樓上，用一根長竿將鏈子鉤過來，拉住鏈子後，讓吊著的燈從原處趨向他手中的火焰。當燈被點燃後，鬆開鉤子，它就像鐘擺一樣來回擺動，直到最後停下來。
這種現象，伽利略以前也見到過。但是，這次他注意到新東西。他觀察到：不管擺幅寬或窄，燈的每一次擺動都用相同的時間。為了更準確，他用自己心臟的跳動核對擺動的時間。
回到房間，伽利略就開始使用好多種吊著的物體實驗，先從附近的鐵匠那裡借來鐵鍊子與碎鐵片。他發現：無論弧的大小，還是吊著的物體重量，都不影響擺動的時間，只有鏈的長度會造成變化，如此便發現鐘擺定律。
最先，伽利略想用這個發現來否定亞里斯多德的落體定律：如果亞里斯多德是正確的，在擺動的鏈子上吊上兩個重量不同的物體，重物會比輕物早到底部。但是實驗結果證實，兩個物體會同時到達底部。所以，他產生爬上比薩斜塔做試驗的念頭。以此發現為基礎，他創造一項發明，這就是脈搏計─後來被醫生用來統計病人的心率。
最後，伽利略關於擺動物體的發現，創造出發明鐘擺的條件。
◆創造折射望遠鏡
雖然透過實驗可以證明自己是對的，面對同伴們的蔑視，還是讓伽利略感到心緒煩亂，但是他從未對選擇數學有絲毫悔意。不久，伽利略離開比薩，轉而前往帕多瓦大學，並在那裡任教18 年。
帕多瓦大學的校風非常開放，伽利略被允許繼續進行有爭議性的試驗和寫作。一天，他聽到令人震驚的消息：荷蘭的一名眼鏡製造工人漢斯．里珀希偶然發現，兩個鏡片以適當的方式組合，可以把所看到的東西放大三倍。
里珀希的學徒曾經製造出幾個望遠鏡作為玩具。於是，伽利略也著手此項工作，做出他獨創的折射望遠鏡，是一種使用透鏡做物鏡，利用屈光成像的望遠鏡，可以用來觀察天文、天象，這個發明使得人類得以一窺天空樣貌，有研究、探討天上星辰的機會。
◆天文上的發現
每天晚上，伽利略遙望天空：他見到月亮上的環形山，大為驚訝！他追蹤金星的軌跡，並且，注意到土星的環。最重要的是，他在1610 年發現木星有衛星環繞著它。這些觀察結果，肯定著名天文學家說過的話─小天體圍繞著大天體轉。這些曾經引發哥白尼宣布：「地球不是宇宙的中心，只不過是圍繞著太陽旋轉的許多行星之一。」
伽利略再一次陷入煩惱。官府和教會認定：「哥白尼是持異端邪說者，閱讀、學習和講授哥白尼著作當作都是違法行為！」
人們不想改變既有的保守思想，不願意承認伽利略關於宇宙的看法是正確的。
在伽利略最後的八年生命，教會掌權人將伽利略看得很緊。伽利略沒有發表學術理念的自由。掌權人威脅說：「伽利略如果不正式撤回他的科學發現，就要審訊他，而且要判他軟禁或刑罰。」
1638 年，伽利略完全失明。1642 年1 月，伽利略在經歷高燒與心悸後去世，享壽78 歲。