理論力學簡明教程（簡體書）

本書研究的主要內容是：導出各種力學系統的動力方程，如完整系統的拉格朗日方程、正則方程，非完整系統的阿佩爾方程等；探求力學的普適原理，如漢密爾頓原理、最小作用量原理等；探討力學系統的特性；研究求解運動微分方程的方法，例如，研究正則變換以求解正則方程；研究相空間代表點的軌跡，以判別系統的穩定性等。分析力學解題法和牛頓力學的經典解題法不同，牛頓法把物體系拆開成分離體，按反作用定律附以約束反力，然後列出運動方程。重視理論框架，數學清晰，例題經典。重點是力學體系的搭建，直接從變分開始，之後才是具體的原理應用專題：有心力場、剛體、振動等。第一章先講數學，之後是牛頓力學，牛頓力學應用，分析力學，分析力學應用。本書重點在分析力學，分析力學是理論力學的一個分支，它通過用廣義坐標為描述質點系的變數，運用數學分析的方法，研究宏觀現象中的力學問題。分析力學是獨立於牛頓力學描述力學世界的體系。分析力學的基本原理同牛頓運動三定律之間可以互相推出。

作者安宇長期從事物理基礎教學工作，曾教授大學物理、電磁學、熱學、理論力學等課程，對高校物理教學有豐富的經驗和獨到的理解。本書是在清華教授分析力學的講義基礎上編著的。安宇是清華大學物理系教授、博士生導師，主要研究領域是核理論和超聲空化，已經發表五十余篇研究論文，在超聲空化相關的國際會議上多次做過邀請報告，曾擔任過香山科學會議第222次學術討論會執行主席。

清華大學物理專業的分析力學課程教材，本教材集中於經典力學的典型內容，簡明扼要. 每章節都提供了練習題目，都試做過，可供學習者練習用.

把牛頓力學的內容大部分歸入普通物理的力學課，而在理論力學課程中主要講分析力學內容的方案是有爭議的。但隨著教學改革的深入，中學物理教學水平的不斷提高，進入高等學校物理學專業的學生學習普通物理課程的起點已經提高，普通物理的力學課程涵蓋了牛頓力學的大部分內容。如果在理論力學課程中仍然按部就班地講授牛頓力學，可能會出現不必要的重復和時間浪費。另外，力學的理論框架最為重要，是物理學的基礎，學生需要通過學習力學知識，認識和熟悉力學理論架構。但反復學習已經比較熟悉的知識內容，益處有限。為此，我們在清華大學物理系嘗試將力學和理論力學兩門課的內容整合，把原來在理論力學課程中講授的牛頓力學大部分內容歸入普通物理力學課，理論力學課程以分析力學內容為主。

分析力學被認為是物理系最重要的課程之一。通過分析力學來認識物理理論架構。物理學是實驗科學，物理理論的真理性最終要通過實踐的檢驗，但它同時又是精確的定量化的科學。要深化對大自然的認識必須將對實驗事實的感性認識提高到理性認識，概括為物理理論。分析力學是搭建物理理論體系的經典範例之一： 首先，數學表達式簡潔，處理問題強有力，可推廣性強，最重要的是理論框架很容易體現對稱性。其次，分析力學不僅是進一步學習近代物理(量子力學、統計力學)的階梯，更重要的是其本身就是近代物理研究的前沿。20世紀60年代開始發展起來的經典力學的一個分支——混沌動力學，不僅在物理學領域，在其他領域也顯現出重要性。

分析力學是物理系學生面對的第一門理論基礎課程，從普通物理到理論物理，不僅學習內容跨度大, 理論體系也有很大不同，低年級學生往往不適應這種變化。那麼如何學好分析力學？首先，學生要調整學習方法，學習方法調整適當，相信學好它是不會特別費力的。相比普通物理，學理論物理課程的學習方法和思維方式要有很大改變。在這裡抽象思維的能力、空間想象的能力和運用數學分析的能力都非常重要。拉格朗日曾標榜其經典著作《分析力學》中不用一張插圖。當然，絕對不依賴圖形未必是學習分析力學的必需的和最佳的方法，但我們所熟悉的解決力學問題的直觀方法確實應退居相對次要的地位了。其次，分析力學涉及的新概念比較多，也比較抽象，不要指望一下子就能明白其中的道理。要耐心推敲，仔細琢磨。要自己推導公式，推演能力非常重要，而且，會推演了才可能對其中的物理概念有體會。多做練習，練習做多了就會熟練，熟練了也就掌握了方法。有時可先學懂方法，回頭再深究物理意義。還有，分析力學主要用數學語言描述概念或概念間的聯繫，多元微積分和線性代數用得最多，因此分析力學的學習也是對這兩門數學的最好復習。另外，希望學生能討論學習，同學之間相互討論是最有益的學習方法之一。不清楚的問題，通過討論了解別人的思路，有利於弄清楚； 自以為清楚了的問題，通過討論可檢驗是否真懂，真清楚； 清楚了的問題，通過有條理地講給別人聽，可以弄得更清楚。學會如何討論也將終身受益。討論時既要清楚地講出自己的理解，又要認真聽取他人的不同意見。討論的參與者要相互尊重，實事求是，服從真理。最後，分析力學開始較難學，但是，一旦學習方法調整適當，就會越學越容易。

需要注意的是，物理學專業的分析力學課程內容與力學類專業的非常不同，雖然都是經典力學，都要學習如何利用數學解決問題，但側重點特別不一樣。對物理學專業的學生，學習分析力學主要是學習和了解物理理論框架結構，而學習如何解決具體問題是次要的。比如，對於力學專業學生，靜力學部分內容很多很細，有很多應用實例，需要花很大篇幅講，而對物理學專業學生只是導入理論的一個過程，篇幅很少，一帶而過。

分析力學的教材和參考書不少，但選擇合適的教材不是很容易。有的教材內容過多，或者相對於二年級本科生太難。如果沒有教材，只提供一些參考書，固然可以培養學生運用參考書的能力和習慣，但難免會加重學生課堂做筆記的負擔，影響課堂學習效率。因此，作者把近幾年課堂講授的講義內容整理成教材，有助於學生把注意力集中在課堂內容理解上。教材與其他參考書一起讀，可以減少課後復習和自學時選讀參考書的盲目性。

本教材的編寫力求集中於經典力學的典型內容，簡明扼要。比如，在第1章有關約束部分的講解，除了與理論建立有關的必需部分，對其他細節並不做過多糾纏，而是直截了當地進入拉格朗日力學。除了典型內容，在不引起內容繁復的前提下，適當進行了擴展。比如，第2章變分極值部分，擴展到含更高階導數和更高維的泛函情形。第3章有心力問題的研究，強化了對稱性與守恒量的概念。第4章微擾理論中，介紹了利用拉普拉斯變換求解常微分方程特解的方法，盡管這個方法在數理方程課程中作為常用方法介紹，但很少在理論力學課程中提及。這也是將學過的數學知識應用於物理問題的很好示例。第5章歐拉定理的證明，參照了楊振寧先生2004年給清華物理系本科生上課的內容。第6章增加了正則變量相空間的討論。第7章中討論了參考系之間的變換與正則變換之間的關係, 相信對直觀理解正則變換有益處。此外，經典混沌概念是近100年來最重要的物理認知之一，應該成為經典力學的必要內容，經典力學不介紹混沌概念，在今天是無法想象的。因此本教材的最後一章通過數值計算杜芬(Duffing)方程，展現混沌的典型現象。讀者通過了解數值計算結果，比較容易對初值敏感現象有大體了解，並理解有關混沌概念。

教材的編寫經過了反復的推敲過程，仔細核對了內容； 每章節都提供了練習題，本書作者都試做過，這些題目可供學習者練習用。由於作者水平有限，錯誤在所難免，敬請在使用過程中提出糾正意見。

教材編寫過程與黃維程先生在世時進行過很多次有益的深入討論，受益匪淺，在這裡對黃先生表示由衷的謝意。

中國科學技術大學的秦敢老師審閱了本教材，並提出很多中肯的修改意見，作者在這裡對其表示衷心的感謝。

緒論維裡定理

第1章拉格朗日方程
1.1完整系
1.1.1約束
1.1.2廣義坐標
1.2虛功原理和廣義力
1.2.1虛位移
1.2.2理想約束
1.2.3虛功原理
1.2.4廣義力
1.3達朗貝爾原理
1.4拉格朗日方程
1.4.1力學體系的動能
1.4.2基本形式的拉格朗日方程
1.4.3完整有勢力系的拉格朗日方程
1.5拉格朗日方程的解法
1.5.1運動積分
1.5.2羅斯函數
1.6拉格朗日方程的簡單討論
練習題

第2章哈密頓原理及變分方法
2.1哈密頓原理與變分方法
2.1.1哈密頓原理
2.1.2歐拉方程
2.1.3哈密頓原理與拉格朗日方程
2.2泛函的條件極值問題以及高維泛函和含高階導數的泛函極值問題
2.2.1條件泛函極值問題
2.2.2高維泛函極值問題
2.2.3含更高階導數的泛函極值問題
2.3力學中的應用
2.3.1哈密頓原理的數學表示
2.3.2完整系
2.3.3非完整系
2.3.4關於哈密頓原理
練習題

第3章有心力
3.1對稱性與不變量
3.1.1空間平移對稱性(不變性)
3.1.2轉動對稱性
3.1.3時間平移對稱性
3.2諾特定理
3.3運動方程
3.3.1運動的穩定性
3.3.2運動軌跡方程
3.4運動軌道
3.4.1平方反比力
3.4.2一般有心力情況
3.5散射截面
3.5.1散射截面的定義
3.5.2盧瑟福散射截面
3.5.3一般有心力場中的散射
3.6實驗室系和質心系
練習題

第4章微振動
4.1一維微振動
4.1.1諧振子
4.1.2阻尼振動
4.2強迫振動和非齊次常系數微分方程的解法
4.3非線性振動方程和微擾方法
4.3.1非線性齊次方程和微擾方法
4.3.2受迫非線性振動和微擾方法
4.4耦合諧振動
4.5多自由度力學系統的微振動
4.5.1勢能
4.5.2動能
4.5.3運動方程
4.5.4簡正頻率
4.5.5簡正坐標
練習題

第5章剛體繞定點的轉動
5.1剛體及其運動
5.1.1角速度
5.1.2運動描述
5.1.3速度和加速度
5.2歐拉定理
5.3描寫剛體轉動的廣義坐標——歐拉角
5.4歐拉運動學方程
5.5剛體的轉動慣量張量
5.6慣量主軸和慣量橢球
5.7歐拉動力學方程
5.8剛體的自由轉動(歐拉-潘索情形)
5.9有一固定點的對稱陀螺
練習題

第6章哈密頓動力學
6.1勒讓德變換
6.2正則方程(哈密頓方程)
6.3相空間和劉維爾定理
練習題

第7章正則變換與參考系變換
7.1正則變換
7.2參考系變換
7.3泊松括號
7.4哈密頓-雅可比方程
7.5一維振動的作用量-角變量
7.5.1作用量-角變量
7.5.2絕熱近似
練習題

第8章混沌
8.1受迫非線性振動
8.1.1吸引子
8.1.2對稱性破缺
8.1.3龐加萊截面
8.1.4周期倍分岔、費根勃姆數和混沌
8.1.5奇怪吸引子
8.2分形
練習題

參考文獻