數學傳播季刊191第四十八卷第三期

本期專訪Andrei Okounkov教授。Okounkov最初的研究領域是群表現理論,側重組合和漸近面向。 以此為起點,他在複、 實代數幾何、統計力學、 動力學系統、概率論及拓樸弦論等領域,取得了驚人成果。 他的研究植根於極為基本的概念,譬如分割(partition),這是表現理論核心的基本組合概念。他的核心想法是:就自然的機率測度而言,分割和其他表現論的概念應該被視為隨機物件。 他將此想法與幾何、 化學、高能物理結合,應用於諸多領域。
Okounkov和合作者的諸多結果是以Gromov-Witten (GW)不變量理論為背景。GW不變量是源於計數幾何(enumerative geometry)的經典問題,例如:平面一般位置上,經過3d−1個點的d次的有理曲線的數目是多少?八十年代末,弦理論學者藉由曲線數的生成函數所遵循的微分方程,以冪級數求解這些方程,得到曲線數目的遞歸關係。
一般來說, GW理論探索曲線到複流形的映射在模空間的交點數目。設V是複非奇異投影多樣體。 在一系列論文中, Okounkov和Pandharipande對曲線的GW不變量做了詳盡的描述。 他們證明:V=P1的生成函數是Todd階序的tau函數,且V=P1時GW不變量出乎意料地簡單,比V為點時的GW不變量更為基本,因為後者可藉由取極限而獲得。箇中關鍵因素是Gromov-Witten/Hurwitz對應關係;該關係聯繫起曲線V的GW不變量與Hurwitz數,其中的Hurwitz數是:在給定點上,給定分歧(ramification)類型的分歧覆蓋(branched covering)數。
其後, Maulik, Nekrasov, Okounkov及Pandharipande的論文推測:對於特定類別的形狀, Gromov-Witten計數恰好對應於所謂的Donaldson-Thomas理論(該理論對曲線有迥異的理解)。在此對應關係,某類型的隨機曲面至為關鍵。
橢圓曲線上的點滿足某二元三次方程,形如y2=x3+1。陳榮凱教授介紹橢圓曲線的代數結構,概述Mordell-Weil定理。 之後為了在複數平面的商群上描繪出三次曲線的樣貌,他考慮亞純函數,介紹亞純雙周期函數Weierstrass P-function℘(z);℘函數及其導數可用於參數化橢圓曲線,並可對給定整數格子點生成週期橢圓函數體。最後他概述橢圓曲線的密碼學,其安全性植基於所謂的Discrete log-arithm problem (DLP)的難解性;該問題考慮在有限體上的橢圓曲線,在給定P, Q且已知Q=mP時試圖求出m。
本期刊登2024歐洲女子數學奧林匹亞、國際數學奧林匹亞競賽試題解答。值得一提的是, Google的DeepMind打造的AI系統AlphaGeometry 2,費時19秒,解出了國際奧林匹亞競賽的幾何題(第四題),而該公司另一AI系統Al-phaProof,費了72小時,解出兩道代數題(第一題、第六題)及一道數論題(第二題)。