考研數學你真的掌握了嗎？多元微積分（簡體書）

本書主要內容包括多元函數的微分學、重積分、曲線積分和曲面積分。其中，多元函數的微分學部分涵蓋多元函數的極限與連續性、偏導數與全微分、復合求導與隱函數求導、方向導數與梯度等內容。重積分部分介紹了二重積分及其計算、積分次序問題、極坐標系下的二重積分，以及三重積分的計算。曲線積分和曲面積分部分探討了第一型和第二型曲線積分的定義與計算，以及曲面積分的面積計算和第一型曲面積分的內容。此外，格林公式和曲面積分部分還提及了曲線積分路徑無關的等價條件。
本書基於作者多年教學、輔導和出版經驗，歷時五年的準備時間，針對新考研大綱下的高中數學學科各主要專題，在深入研究的基礎上，進行了盡可能深入而充分地梳理和講解，力求體現知識脈絡的演變以及思維高度的創新。本次出版的內容原創性強，不拘泥於結論和形式，循循善誘，絕大部分例題在考研入門階段即可讀懂，後期還會有習題集配套出版，乃是廣大考生課堂學習的有益補充，也是大家提早備考的一劑沁心良藥。
本書的讀者物件是備戰考研的大學生。

張楊文，數學與應用數學博士學位，主要研究方向為偏微分方程的控制理論及其算法。 在計算數學頂尖期刊《SIAM Journal on Numerical Analysis》上發表論文7篇，其中作者還獨立解決了數值線性代數領域中一個非常重要的公開問題，作者與卡內基梅隆的Walkington教授和加州伯克利的Weber教授合作, 提出了關於偏微分計算的全新算法，在保持同樣精度的前提下，其計算效率是傳統算法的幾百倍甚至上千倍。在教學方面，作者曾經在成都新東方從事考研培訓2年，並且一直從事高等數學、線性代數，概率統計、數值線性代數、數值分析和偏微分方程等課程的教授工作。

本書內容原創性強，作者的思路清晰，講解詳細，比較容易看懂，適合從零開始備考研究生考試的同學，也適合相關教師。

一、寫書緣由

十年前, 我在國內一家知名教育機構教授考研數學與高考數學。對學術的渴求促使我放棄教學, 赴美攻讀計算數學博士學位。出國前, 我深知或許無緣再登講臺, 遂決定將教學經驗編寫成書, 作為對過往的紀念。於是, 一群志存高遠的年輕人合作編寫了``高考數學你真的掌握了嗎？''系列叢書。
該系列叢書因其科學系統的知識體系、遞進式的邏輯思路和創新的思考方法, 受到讀者的廣泛好評。我始終懷有編寫同樣風格的考研數學輔導書的心願。如今, 這一願望終於得以實現, 新系列叢書命名為``考研數學你真的掌握了嗎？'', 以延續前作的精神。
二、本書特色
1. 知識點的呈現方式。本書有別於其他輔導書的``轟炸式''知識點羅列, 採用漸進式呈現, 按照內在的邏輯逐步展開。我們注重每個知識點的引入, 通過解釋性的文字或適當的例題引導讀者, 致力於使每個知識點的呈現更加自然和流暢。在介紹每個知識點後, 我們安排了與之密切相關的基礎例題, 以加深對該知識點的理解。此外, 我們非常注重知識點之間的邏輯銜接, 努力讓讀者有一個整體框架。
2. 例題的呈現方式。在介紹完知識點後, 我們設計了一系列相關的例題。這些例題不僅有助於鞏固知識點, 還能梳理考研數學中常見的題型, 幫助讀者把握考試方向。我們嚴格按照由簡到難的順序呈現例題, 逐步深入, 例題之間的邏輯銜接語言將會有助於讀者全面理解題型的演變邏輯。針對一些重點題型, 我們不僅提供詳細的解答, 還會總結相關方法、經驗或結論, 並以醒目的方式突顯它們的重要性。
3. 變式題的引入。無數的經驗和教訓告訴我們, 只有例題的輔導書知識轉化率很低。這是因為很多讀者習慣於閱讀書中的例題而非真正做練習, 從而產生一種錯覺, 認為自己掌握了相應的題型和解題方法, 但實際上卻相去甚遠, 因為``看會''不等於``學會''。為此, 我們設計了一種方法：在每種類型的例題後安排了適量的變式題, 這些變式題與例題非常相似, 初步培養讀者具備最基本的``依葫蘆畫瓢''的能力。一旦初步掌握了這種能力, 就能夠嘗試解決練習冊中的題目。如果連變式題都難以解答, 那就意味著對例題的解題方法尚未掌握。
4. 框架圖的引入。考研數學極其重視基本概念的考查, 這些概念通常涉及多個命題的蘊含關係或等價關係。我們通過設計一些框架圖來直觀展現這些概念。根據我們的經驗, 這種展示方式不僅直觀易懂, 而且有助於記憶。
此外, 針對重要的考點和題型, 我們也採用類似的框架圖進行突出標注。這樣一來, 在二刷甚至三刷四刷的時候, 讀者能夠迅速回顧重要的知識點和題型, 達到快速復習的目的。
5.選題的原則。一本出色的復習參考書自然由一系列優質題目構成。優質題目就是自1987年以來被頻繁考查的考研數學真題。在我們的書中, 我們將引導考生了解常見或必考的題型, 並提醒同學們有些題目需要反復練習, 甚至需要牢記, 同時指導同學們如何進行有效的記憶。
如果您對本書表示認可, 並希望參與到書籍的優化工作中, 請加入本書讀者QQ群: 203778901, 與作者直接溝通。由於編者水平有限, 本書難免存在錯誤或不妥之處。如果在使用本書過程中發現任何錯誤, 我們真誠地歡迎您批評指正。

張楊文
2024年6月

第 1 章 多元函數的微分學 1
1.1 多元函數的極限與連續性 1
1.1.1 重極限的定義 1
1.1.2 多元函數的連續性 2
1.2 多元函數的偏導數與全微分 3
1.2.1 偏導數的定義 3
1.2.2 可 (偏) 導與連續的關係 5
1.2.3 多元函數的微分 6
1.2.4 多元函數的連續、可導與可微的關係 8
1.2.5 高階偏導數及混合偏導數 12
1.3 復合求導與隱函數求導 13
1.3.1 復合求導 13
1.3.2 高階偏導數問題 16
1.3.3 變量替換 18
1.3.4 由一個方程確定的隱函數求導 18
1.3.5 由方程組確定的隱函數求導 21
1.4 方向導數與梯度 (僅限數學一) 22
1.4.1 方向導數 22
1.4.2 梯度 23
1.4.3 梯度的重要性 25
1.5 空間解析幾何 (僅限數學一) 27
1.5.1 向量的叉乘 27
1.5.2 平面及其方程 28
1.5.3 空間直線及其方程 29
1.5.4 旋轉曲面及其方程 31
1.6 多元微分學的應用 (僅限數學一) 33
1.6.1 空間曲線的切線與法平面 (一) 33
1.6.2 空間曲線的向量表示 34
1.6.3 空間曲面的切平面與法線 35
1.6.4 空間曲線的切線與法平面 (二) 27
1.7 多元函數的極值與最值 37
1.7.1 二元函數的極值 38
1.7.2 二元函數的最值 44
1.7.3 條件極值的拉格朗日乘數法 46
1.7.4 再探二元函數的最值 53
第 2 章 多元函數的重積分 54
2.1 二重積分的概念與性質 54
2.1.1 二重積分的定義 54
2.1.2 二重積分的性質 55
2.2 直角坐標系下二重積分的計算 56
2.2.1 矩形區域上的二重積分 57
2.2.2 X 型區域上的二重積分 58
2.2.3 Y 型區域上的二重積分 60
2.2.4 無界區域上的二重積分 (僅限數學三) 61
2.2.5 參數方程下的二重積分 63
2.3 二重積分的次序問題 64
2.3.1 如何選擇合適的積分次序 64
2.3.2 交換積分次序. 67
2.4 極坐標系下二重積分的計算 69
2.4.1 積分區域為圓域 70
2.4.2 積分區域為非圓域 72
2.4.3 積分區域由極坐標方程給定 74
2.4.4 積分區域由一般隱函數給定 75
2.4.5 廣義極坐標 77
2.5 二重積分的對稱性 78
2.5.1 奇偶性與對稱性 79
2.5.2 輪換對稱性 81
2.6 分段函數的二重積分 83
2.7 三重積分 (僅限數學一) 87
2.7.1 利用直角坐標計算三重積分 87
2.7.2 如何確定球坐標的上下限 88
2.7.3 利用球坐標計算三重積分 91
2.7.4 三重積分的奇偶性與輪換對稱性 93
第 3 章 曲線積分 (僅限數學一) 94
3.1 曲線的弧長 94
3.2 第一型曲線積分 97
3.2.1 第一型曲線積分的定義 97
3.2.2 第一型曲線積分的計算 97
3.2.3 空間曲線的參數化 99
3.3 第一型曲線積分的對稱性 102
3.3.1 平面曲在線的第一型曲線積分的對稱性 102
3.3.2 空間曲在線的第一型曲線積分的對稱性 103
3.4 第二型曲線積分 104
3.4.1 第二型曲線積分的定義 104
3.4.2 第二型曲線積分的計算 105
3.5 格林公式 110
3.5.1 格林公式的直接應用 111
3.5.2 曲線不封閉的情形 111
3.5.3 偏導數不連續的情形 112
3.5.4 格林公式的反向利用 116
3.6 曲線積分與路徑無關的等價條件 117
第 4 章 曲面積分 (僅限數學一) 124
4.1 曲面的面積 124
4.1.1 一般簡單曲面的情形. 126
4.1.2 平面被圓柱面所截的情形 128
4.1.3 球面被圓柱面所截的情形 129
4.1.4 錐面被圓柱面所截的情形 130
4.2 第一型曲面積分 131
4.2.1 第一型曲面積分的定義 131
4.2.2 第一型曲面積分的計算 132
4.3 第一型曲面積分的對稱性 138
4.4 第二型曲面積分 140
4.4.1 曲面的側 140
4.4.2 第二型曲面積分的計算 141
4.5 兩種曲面積分的相互轉化 145
4.6 高斯公式 151
4.6.1 直接應用高斯公式 152
4.6.2 曲面不封閉的情形 153
4.6.3 偏導數不連續的情形 155
4.6.4 第二型曲面積分三種方法的比較 158
4.7 斯托克斯公式 160
4.7.1 旋度的計算 161
4.7.2 平面與柱面交線的情形 166
4.7.3 平面與球面交線的情形 167
4.7.4 柱面與球面交線的情形 168
4.7.5 斯托克斯公式與格林公式的統一 170
4.8 微積分的巔峰 170
參考答案 172