數學是什麼？（上）

美國排名第一
紐約大學數學科學研究所
創辦人瑞赫德．庫蘭特送給高等數學人才
一本從代數到危機分的系統性數學學習書

《數學是什麼?》(What is Mathematics?) 是一本為初學者和學者、學生和老師、哲學家，和工程師而寫的數學名著。自1941年出版以來就得到包括愛因斯坦、赫曼．外爾 (Herman Weyl) 等一代科學大師在內的一致推崇。兩位原作者如今都已辭世，不過後繼有人。1996年在著名數學家伊恩．史都華手中把原著中多個相關的數學主題帶到切合當前的發展水平，因而有現在的第二版。通過平易近人，引人入勝的描述，這部閃爍出兩代作者才華的鉅著，把「反映出人類積極的意志，深思熟慮的推理，以及在美學上盡善盡美的祈求」的數學世界，栩栩如生地呈現在我們眼前。《數學是什麼?》文情並茂地給我們報導了一個非凡的故事，為我們對數學的瞭解打開了一扇窗。

瑞赫德．庫蘭特（Richard Courant, 1888~1972）出生於德國，哥庭根大學數學研究所創建人，1920年至1933年期間任所長, 他在函數論和變分法方面的發展做出貢獻。在研究所期間與當時最負盛名的德國數學家希爾伯特（David Hilbert, 1862~1943）建立密切的合作關係，兩人合寫了著名的《Methods of Mathematical Physics》一書，將數學分析運用到物理學。1933年納粹興起，他逃往美國，翌年任紐約大學數學教授，並將他在哥庭根大學的經驗在紐約大學複製。在他的領導下建立了美國最有聲望的應用數學研究所之一。1958年他退休時為了紀念他，研究所以他命名（Courant Institute of Mathematical Sciences）。他的另一本名著《Differential and Integral Calculus》也被譽為是現代在微積分方面的最佳著作之一。

賀伯特．羅賓斯（Herbert Robbins, 1915~2001）為前美國紐澤西州羅格斯大學（Rutgers University）數學教授，以拓撲學、測度理論、統計學等方面的研究而知名。

伊恩．史都華（Ian Stewart）是英國英格蘭渥威克大學（University of Warwick）數學教授，在推動大眾對科學的認識方面做出許多貢獻。1995年獲得英國皇家學會頒贈法拉第獎章。他的著作廣泛，其中尤以《Nature’s Numbers》（大自然的數學遊戲，天下出版）、《Does God Play Dice?》（上帝擲骰子嗎？八方出版），以及被他視為可作為本書姊妹篇的《From Here to Infinity》為大家所熟知。他同時為科學雜誌《Scientific American》（科學人）撰寫 Mathematical Recreation 專欄。

譯者簡介
容士毅
1945年生，原籍廣東佛山，退休工程師，現居台北，從事科普出版工作，譯有《羅素的回憶：來自記憶裡的肖像》（左岸）、《愛因斯坦》、《霍金與最終理論的尋求》（牛頓）。

「明白易懂……把整個數學領域的基本概念和方法清晰地呈現出來。」 ——愛因斯坦

「毫無疑問，本書將有巨大的影響力。對於喜歡從事科學思考的人來說，不管是專業或非專業，都應該人手一本。」 ——紐約時報

「高度完美的上乘之作……以各種最簡單的例子，成功地把我們數學家視為我們這一行的命根子的基本概念和方法變得清清楚楚，其涵蓋範圍之廣令人驚訝。」 ——赫曼．外爾

「太好了……應該是體驗極大的樂趣和滿足感的一個源泉。」 ——應用物理學期刊(Journal of Applied Physics)

「本書就是一件藝術作品。」 ——美國數學家莫斯(Marston Morse)

「一個非同尋常的完美著作。」 ——數學評論(Mathematical Reviews)

第一章　自然數及其數學理論
第一部分：自然數
§1. 整數之運算 §2. 整數體系之無窮性　數學歸納法
第二部分：自然數之數學理論
§3. 質數 §4. 同餘 §5. 畢達哥拉斯數與費馬最後定理 §6. 歐幾里得演算法

第二章　數之體系
§1. 有理數 §2. 不可通約的線段、無理數、極限之概念 §3. 解析幾何簡述 §4. 無窮大之數學分析 §5. 複數 §6. 代數數與超越數 §7. 集合之代數理論

第三章　幾何作圖　數域代數
第一部分：作圖不可能性之求證及其代數
§1. 幾何作圖之基本原則 §2. 可構造之數與數域 §3. 三個古希臘難題之不可解性
第二部分：各種作圖方法
§4. 幾何變換。反演 §5. 利用其它工具的作圖方法。馬舍羅尼之圓規作圖法 §6. 再論反演及其應用

第四章　射影幾何學　公理體系　非歐幾里得幾何學
§1. 簡介 §2. 基本概念 §3. 交比 §4. 平行性與無窮遠 §5. 應用 §6. 解析幾何之典型表述 §7. 單獨使用直尺的幾何作圖問題 §8. 圓錐曲線與二次曲面 §9. 公理體系與非歐幾里得幾何 §10. 超越三維空間的幾何學

第五章　拓撲學
§1. 多面體之尤拉公式 §2. 圖形的拓撲性質 §3. 拓撲學定理的其它實例 §4. 表面之拓撲學分類 §5. 三個定理之證明