偏微分方程講義(第3版)（簡體書）

本書是俄羅斯科學院院士О.А.奧列尼克多年來在莫斯科大學數學力學系為大學三年級學生講授該課程基礎上的擴充。內容包括偏微分方程理論的古典與現代理論的基礎部分，以及泛函分析、廣義函數理論、函數空間理論方面的一些知識。作者是И.Г.彼得羅夫斯基的學生，在偏微分方程這個方向享有盛名。此書反映了莫斯科大學在這個課程上，20世紀后半葉至今的新情況，可供我國偏微分方程課教學參考。
本書可供綜合大學和師范院校數學、物理、力學及相關專業的教師和學生參考，也可供工科院校應用數學系師生參考。

奧列尼克，20世紀杰出的女數學家。1942年考取彼爾姆州國立大學數學物理系，1944年轉入莫斯科大學數學力學系，并在此一直工作到生命結束。1952年獲切鮑塔列夫獎。1954年獲羅蒙諾索夫一等獎，1991年當選為俄羅斯科學院院士，并成為許多國家的外籍院士。早在大學時代就開始了自己的科學研究，到了研究生時期對希爾伯特第16個問題中關于代數幾何問題進行了研究，所得到的許多結果至今被廣泛引用。從20世紀50年代起在高階微分方程、非線性偏微分方程、力學、物理學等方面做了一系列杰出工作。

本書是俄羅斯科學院院士、莫斯科大學教授О.А.奧列尼克在莫斯科大學數學力學系講課的講義擴充而成的教材。作者是И.Г.彼得羅夫斯基的學生，在偏微分方程這個方向享有盛名。此書反映了莫斯科大學在這個課程上，20世紀後半葉至今的新情況，可供我國偏微分方程課教學參考。本書講述了有關拉普拉斯方程、熱傳導方程、波動方程作為三種基本類型的偏微分方程的基本內容，一章中包括了數學分析和廣義函數理論的某些知識。第二版中補充了柯瓦列夫斯卡婭定理的證明、非齊次弦振動方程的混合問題、波動方程的柯西問題以及對稱雙曲組理論。

我們在本版中摘錄了奧麗迦.阿爾先尼耶夫娜.奧列尼克寫於1976年、當年由莫斯科大學出版社出版的本教科書第一冊的序.奧麗迦，阿爾先尼耶夫娜本來計劃寫作本教科書的第二冊——雙曲型偏微分方程及邊值問題理論.然而，由於一系列情況，寫作第二冊的工作沒能完成.莫斯科大學力學數學系微分方程教研室的同事們在奧麗迦，阿爾先尼耶夫娜逝世後，依據O.A.奧列尼克在莫斯科大學力學數學系多年來講授必修課程偏微分方程論課程的講義提綱，承擔了完成教科書的任務.A.IO.高里茨基，E.B.拉德凱維奇，A.C.沙瑪耶夫參加了這項工作.結果是O.A.奧列尼克所寫的教科書，補充瞭如下部分：柯瓦列夫斯卡婭定理的證明，非齊次弦振動方程的混合問題，波動方程的柯西問題以及對稱雙曲組理論，應當指出，雖然這些內容不是奧麗迦.阿爾先尼耶夫娜親自寫的，但是與她講授過的偏微分方程基本課程講義的內容是極為接近的。
本版的排版是由A.C.高洛得茨基，T.0.卡布斯金娜I1.A.切契金用TEX排版系統完成的；A.B.波洛夫斯基赫B.A.康德拉季耶夫與O.C.羅贊諾娃閱讀了全文並提出了一系列有價值的意見。
微分方程教研室全體同仁深信本版將會在高校大學生的“偏微分方程”專業的教學過程中得到使用，並且成為對奧麗迦.阿爾先尼耶夫娜.奧列尼克院士的最好的紀念——她是傑出的數學學者、卓越的教師、細心的領導者，一位堅毅、富有同情心、仁慈的人。

《俄羅斯數學教材選譯》序
第二版序
第一版序節錄
第1章 輔助命題
　1.1 符號.分析中的一些命題
1.1.1 赫爾德（Holder）不等式
1.1.2 弗里德里希斯（Fiedrichs）不等式
1.1.3 非負函數的導數的估計
　1.2 磨光函數.廣義導數
　1.3 廣義函數理論的基本概念與定理
1.3.1 廣義函數空間D'（Ω）
1.3.2 廣義函數的直積
1.3.3 廣義函數的卷積
1.3.4 廣義函數空間S'（Rn/χ）
1.3.5 微分方程的廣義解
1.3.6 空間Hk（Ω）
第2章 偏微分方程的分類
　2.1 歸結為偏微分方程的一些物理問題
　2.2 柯西問題.特征.方程的分類
第3章 拉普拉斯方程
　3.1 調和函數.泊松方程.格林公式
　3.2 基本解
　3.3 借助勢表示解
　3.4 基本邊值問題
　3.5 算術平均定理.極值原理
　3.6 格林函數.球的狄利克雷問題的解
　3.7 邊值問題解的唯一性和對邊界條件的連續依賴性
　3.8 導數的先驗估計.解析性
　3.9 劉維爾定理和弗拉格門-林德勒夫定理
　3.10 調和函數的孤立奇點.在無窮遠點鄰域中的性態.無界區域的狄利克雷問題
　3.11 關于調和函數序列.拉普拉斯方程的廣義解.外爾引理
　3.12 牛頓勢.拉普拉斯算子的亞橢圓性
　3.13 狄利克雷問題的廣義解
3.13.1 H1（Ω）中函數的跡
3.13.2 具有齊次邊界條件的狄利克雷問題
3.13.3 變分方法
3.13.4 具有非齊次邊界條件的狄利克雷問題
第4章 熱傳導方程
　4.1 格林公式.基本解
　4.2 解借助于勢的表示.解的無窮次可微性
　4.3 邊值問題與柯西問題的提法
　4.4 有界區域與無界區域中的極值原理
　4.5 邊值問題與柯西問題解的先驗估計.唯一性定理.解的穩定性
　4.6 導數的估計.解對變量χ的解析性.應用
　4.7 劉維爾定理.關于可去奇點的定理.解族的緊性
　4.8 借助傅里葉變換解柯西問題.體熱勢的光滑性
　4.9 廣義解.熱傳導算子的亞橢圓性
第5章 雙曲型方程與雙曲型方程組
參考文獻
名詞索引
譯者后記