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目次
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《微分幾何:流形、曲線和曲面(第2版修訂本)》主要由法國資深微分幾何學家貝爾熱在巴黎大學多年講授微分幾何課程講稿的基礎上編纂而成。《微分幾何:流形、曲線和曲面(第2版修訂本)》強調幾何與分析的有機結合，始終堅持對于分析，揭露其幾何實質，而對于幾何，則洞察其分析精髓。《微分幾何:流形、曲線和曲面(第2版修訂本)》對于常微分方程、單位分解、臨界點、拓撲度和流形上的微積分等研究微分幾何的各種工具做了相當充分的講解。內容重點是曲線的局部和整體理論，對于曲面的局部和整體理論則做了比較全面的概述，而對于其詳盡的證明則推薦相關的文獻供讀者查閱。書中配備了豐富的習題。《微分幾何:流形、曲線和曲面(第2版·修訂本)》是基礎數學和應用數學系本科生乃至其他理工科學生學習微分流形和微分幾何的優秀參考書。
作者簡介
M.貝爾熱 Marcel Berger（1927 ），著名的法國數學家，法國微分幾何老前輩。曾任法國科學高等研究所（1HES）所長。貝爾熱教授撰寫過多本成功的幾何著作，并以書中的精巧論述而見長。
目次
第零章 復習和補充
0.0 記號，復習
0.1 外代數
0.2 微分法
0.3 向量空間的開集上的微分形式
0.4 積分法
0.5 習題
第一章 微分方程
1.1 概述
1.2 不依賴時間的微分方程：局部解的存在性
1.3 整體唯一性研究，整體流
1.4 依賴時間的向量場，依賴一個參數的向量場
1.5 唯一性和對于依賴時問的向量場的整體流
1.6 相關知識和線性方程
第二章 微分流形
2.1 Rn的子流形
2.2 抽象流形
2.3 態射
2.4 覆疊映射.商
2.5 切空間
2.6 子流形，浸入，浸沒，嵌入
2.7 單位法叢，管形
2.8 習題
第三章 單位分解、密度、曲線
3.1 緊致流形的嵌入
3.2 單位分解
3.3 流形上的密度
3.4 一維連通流形的分類
3.5 流形上的向量場和微分方程
3.6 習題
第四章 臨界點
4.1 定義.例子
4.2 數值函數的非退化臨界點.莫爾斯的簡約
4.3 薩德定理
4.4 習題
第五章 流形上的微分法
5.1 叢以ArT*X
5.2 流形上的微分形式
5.3 最大階的微分形式和定向
5.4 德拉姆群
5.5 李導數
5.6 星形開集，龐加萊引理
5.7 球面和射影空間的德拉姆群
5.8 環面的德拉姆群
5.9 習題
第六章 流形上的積分法
6.1 d維定向流形上d階微分形式的積分
6.2 斯托克斯定理
6.3 斯托克斯定理的第一批應用
6.4 歐幾里得空問的定向子流形的典范體積形式
6.5 歐幾里得空間的定向子流形的體積
6.6 歐幾里得空間的子流形的典范密度
6.7 管形的體積Ⅰ：體積形式的補充
6.8 管形的體積Ⅱ
6.9 管形的體積Ⅲ
6.10 習題
第七章 映射度理論
7.1 預備引理
7.2 德拉姆群Rd(x)的確定
7.3 映射度
7.4 映射度對于同倫的不變性.應用
7.5 管形的體積f結尾)和高斯一博內公式
7.6 屬于c0(s1；s1)的映射的映射度
7.7 抽象流形上向量場的指標
7.8 習題
第八章 曲線的局部理論
8.0 引言
8.1 定義
8.2 仿射不變量：切線，密切平面，凸性
8.3 長度，歐幾里得空間的曲線的弧長參數表示
8.4 歐幾里得空間的曲線的曲率
8.5 在歐幾里得定向平面內的定向平面曲線的代數曲率
8.6 歐幾里得空間(3維的)雙正則曲線的撓率
8.7 習題
第九章 平面曲線的整體理論
9.1 定義
9.2 若爾當定理
9.3 等周不等式
9.4 平面曲線的回轉數
9.5 切線回轉定理
9.6 整體凸性
9.7 四頂點定理
9.8 法布里修斯布耶爾哈泊恩公式
9.9 習題
第十章 R0的曲面的局部理論的簡短導引
10.1 定義
10.2 例子
10.3 曲面的兩個基本形式
10.4 通過第一基本形式計算的量(2維黎曼幾何)
10.5 高斯曲率
10.6 第二基本形式以及通過它計算的量
10.7 曲面的兩個基本形式之間的關係
10.8 關於Rn+1中的超曲面
第十一章 曲面的整體理論的簡短導引
第一部分 2維整體黎曼流形
11.1 最短路徑的整體問題
11.2 常曲率的曲面
11.3 度量性質：一階和二階變分公式
11.4 最短路徑的唯一性和單射半徑
11.5 K≥k的流形
11.6 K≤k的流形
11.7 高斯-博內公式和霍普夫公式
11.8 曲面上的等周不等式
11.9 周期測地線和等收縮不等式
11.10 只有周期測地線的曲面
11.11兩部分問的過渡：嵌入和浸入問題
第二部分 嵌入或浸入到R3內的曲面
11.12 零曲率的曲面
11.13 高斯曲率為正或零的曲面
11.14 唯一性和剛性
11.15 K<0的曲面
11.16 平均曲率為零的曲面，又名極小曲面
11.17 平均曲率是常數的曲面或肥皂泡曲面
11.18 魏因加滕曲面
11.19 作為平面族的包絡的曲面：公式和應用
11.20 對于曲面的等周不等式
11.21 花束：球面和迪潘四次圓紋曲面的表征
參考文獻
法中術語對照
索引
0.0 記號，復習
0.1 外代數
0.2 微分法
0.3 向量空間的開集上的微分形式
0.4 積分法
0.5 習題
第一章 微分方程
1.1 概述
1.2 不依賴時間的微分方程：局部解的存在性
1.3 整體唯一性研究，整體流
1.4 依賴時間的向量場，依賴一個參數的向量場
1.5 唯一性和對于依賴時問的向量場的整體流
1.6 相關知識和線性方程
第二章 微分流形
2.1 Rn的子流形
2.2 抽象流形
2.3 態射
2.4 覆疊映射.商
2.5 切空間
2.6 子流形，浸入，浸沒，嵌入
2.7 單位法叢，管形
2.8 習題
第三章 單位分解、密度、曲線
3.1 緊致流形的嵌入
3.2 單位分解
3.3 流形上的密度
3.4 一維連通流形的分類
3.5 流形上的向量場和微分方程
3.6 習題
第四章 臨界點
4.1 定義.例子
4.2 數值函數的非退化臨界點.莫爾斯的簡約
4.3 薩德定理
4.4 習題
第五章 流形上的微分法
5.1 叢以ArT*X
5.2 流形上的微分形式
5.3 最大階的微分形式和定向
5.4 德拉姆群
5.5 李導數
5.6 星形開集，龐加萊引理
5.7 球面和射影空間的德拉姆群
5.8 環面的德拉姆群
5.9 習題
第六章 流形上的積分法
6.1 d維定向流形上d階微分形式的積分
6.2 斯托克斯定理
6.3 斯托克斯定理的第一批應用
6.4 歐幾里得空問的定向子流形的典范體積形式
6.5 歐幾里得空間的定向子流形的體積
6.6 歐幾里得空間的子流形的典范密度
6.7 管形的體積Ⅰ：體積形式的補充
6.8 管形的體積Ⅱ
6.9 管形的體積Ⅲ
6.10 習題
第七章 映射度理論
7.1 預備引理
7.2 德拉姆群Rd(x)的確定
7.3 映射度
7.4 映射度對于同倫的不變性.應用
7.5 管形的體積f結尾)和高斯一博內公式
7.6 屬于c0(s1；s1)的映射的映射度
7.7 抽象流形上向量場的指標
7.8 習題
第八章 曲線的局部理論
8.0 引言
8.1 定義
8.2 仿射不變量：切線，密切平面，凸性
8.3 長度，歐幾里得空間的曲線的弧長參數表示
8.4 歐幾里得空間的曲線的曲率
8.5 在歐幾里得定向平面內的定向平面曲線的代數曲率
8.6 歐幾里得空間(3維的)雙正則曲線的撓率
8.7 習題
第九章 平面曲線的整體理論
9.1 定義
9.2 若爾當定理
9.3 等周不等式
9.4 平面曲線的回轉數
9.5 切線回轉定理
9.6 整體凸性
9.7 四頂點定理
9.8 法布里修斯布耶爾哈泊恩公式
9.9 習題
第十章 R0的曲面的局部理論的簡短導引
10.1 定義
10.2 例子
10.3 曲面的兩個基本形式
10.4 通過第一基本形式計算的量(2維黎曼幾何)
10.5 高斯曲率
10.6 第二基本形式以及通過它計算的量
10.7 曲面的兩個基本形式之間的關係
10.8 關於Rn+1中的超曲面
第十一章 曲面的整體理論的簡短導引
第一部分 2維整體黎曼流形
11.1 最短路徑的整體問題
11.2 常曲率的曲面
11.3 度量性質：一階和二階變分公式
11.4 最短路徑的唯一性和單射半徑
11.5 K≥k的流形
11.6 K≤k的流形
11.7 高斯-博內公式和霍普夫公式
11.8 曲面上的等周不等式
11.9 周期測地線和等收縮不等式
11.10 只有周期測地線的曲面
11.11兩部分問的過渡：嵌入和浸入問題
第二部分 嵌入或浸入到R3內的曲面
11.12 零曲率的曲面
11.13 高斯曲率為正或零的曲面
11.14 唯一性和剛性
11.15 K<0的曲面
11.16 平均曲率為零的曲面，又名極小曲面
11.17 平均曲率是常數的曲面或肥皂泡曲面
11.18 魏因加滕曲面
11.19 作為平面族的包絡的曲面：公式和應用
11.20 對于曲面的等周不等式
11.21 花束：球面和迪潘四次圓紋曲面的表征
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