微分幾何講義（簡體書）

《微分幾何講義》以主叢與矢叢上的聯絡為主線介紹現代微分幾何，全書分兩部分，各5章。前3章給出微分流形的基本概念，把歐氏空間的微積分推廣到微分流形上。第4.5章分別討論Riemann流形與李群及李代數。第6.7章分別介紹纖維叢理論與復流形，其中7.6節證明球面S6上沒有可積的等距復結構。第8章介紹示性類，其中8.7節用示性類討論Milnor的7維怪球。第9章介紹Clifford代數與旋量群。第10章介紹Atiyah。Singer指標定理、規範場論與Seiberg-Witten方程。《微分幾何講義》內容豐富，綱目清楚，論證嚴謹，易于學習。
第1～5章可以作為高年級本科生或研究生一學期的微分流形課程教材，第6~10章可以作為微分幾何研究生教材，也可作為數學工作者的參考書。

前言
第1章 微分流形
1.1 微分流形的定義及例子
1.1.1 歐氏空間
1.1.2 微分流形的定義
1.1.3 微分流形的例子
1.1.4 微分流形之間的映射
習題1.1
1.2 切空間
1.2.1 代數預備知識
1.2.2 切空間
1.2.3 余切空間
習題1.2
1.3 切叢與向量場
1.3.1 切叢與向量場
1.3.2 李括號積
1.3.3 切映射與余切映射
習題1.3
1.4 子流形
1.4.1 預備定理
1.4.2 浸入與嵌入
習題1.4
1.5 Frobenius定理
1.5.1 積分曲線
1.5.2 Frobenius定理
1.5.3 積分子流形
習題1.5

第2章 外微分形式
2.1.張量與張量積
2.1.1 多重線性函數與張量積
2.1.2 張量
2.1.3 對稱與反對稱張量
習題2.1
2.2 外代數
習題2.2
2.3 矢叢
習題2.3
2.4 外微分形式
2.4.1 外微分形式
2.4.2 外微分
2.4.3 Probenius定理的另一描述
習題2.4
2.5 單位分解與流形的定向
2.5.1.單位分解
2.5.2 流形的定向
2.5.3 帶邊流形
習題2.5
2.6 流形上的積分與stokes定理
2.6.1 外形式的積分
2.6.2 Stokes定理
2.6.3 deRham同調群
習題2.6

第3章 聯絡
3.1 聯絡和測地線
3.1.1 聯絡的定義及性質
3.1.2 平行移動和測地線
3.1.3 法坐標與指數映射
習題3.1
3.2 撓率和曲率
習題3.2
3.3 張量叢上的聯絡
3.3.1 矢叢上的聯絡
3.3.2 流形的張量叢上的聯絡
習題3.3

第4章 Riemann流形
4.1 Riemann幾何基本定理
4.1.1 Riemann度量
4.1.2 Riemann聯絡
習題4.1
4.2 Riemann流形上的測地線
4.2.1 法極坐標
4.2.2 測地完備性
習題4.2
4.3 Riemann曲率
4.3.1 Riemann曲率張量
4.3.2 截面曲率
習題4.3
4.4 Jacobi場和共軛點
習題4.4
4.5 Riemann子流形
4.5.1 子流形的基本公式
4.5.2 活動標架法
4.5.3 歐氏空間的子流形
習題4.5
4.6 Hodge理論
4.6.1 星算子
4.6.2 Laplace算子
4.6.3 Hodge定理及其應用
4.6.4 Poincare對偶
習題4.6
4.7 Gauss-Bonnet定理
4.7.1 Eulei·示性類
4.7.2 向量場零點的指標
4.7.3 Eulel-Poincax數
4.7.4 Gauss-Bonnet定理
習題4.7

第5章 李群
5.1 李群與李代數
5.1.1 李群的定義與例子
5.1.2 李代數
5.1.3 流形上的單參數變換群
習題5.1
5.2 李群同態與指數映射
5.2.1 李群同態
5.2.2 指數映射
習題5.2
5.3 李群與李代數的伴隨表示
5.3.1 李群與李代數的伴隨表示
5.3.2 Killing-Cartan內積
習題5.3
5.4 齊性流形
5.4.1 齊性流形
5.4.2 齊性流形上的Riemann幾何
習題5.4
5.5 tuemann對稱空間
5.5.1 對稱空間的性質
5.5.2 對稱空間的曲率
習題5.5
參考文獻

第6章 纖維叢理論
6.1 矢叢同態與矢叢上的聯絡
6.1.1 矢叢的同態與同構
6.1.2 誘導叢
6.1.3 矢叢上的聯絡
習題6.1
6.2 纖維叢與主叢
6.2.1 纖維叢
6.2.2 主叢的定義與例
6.2.3 相配矢叢
習題6.2
6.3 主叢上的聯絡
6.3.1 矢叢的標架叢上的聯絡
6.3.2 主叢上聯絡的定義與性質
6.3.3 水平提升
……

第7章 復流形
第8章 示性類
第9章 Clifford代數與旋量群
第10章 Atiyah-Singer指標定理
參考文獻
名詞索引