概率論（簡體書）

李少輔，閻國軍等編著的這本《概率論》既是一本完整系統的初等概率論教材，又是一本引導讀者由初等概率論走向以測度論和柯爾莫戈洛夫公理化體系為基礎的概率論的入門讀物，內容包括：概率空間、條件概率與獨立性、隨機變量、隨機向量、隨機變量的數字特征、特征函數、大數定律與中心極限定理。附錄中提供了測度論等閱讀材料。
《概率論》特色鮮明，富創意，知識體系完整，結構嚴謹，同時又通俗易懂，利于教學，可作為高等學校數學各專業的教材，也可供其他相關專業選用，對教師和科研工作者也具有參考價值。

本書既是一本完整系統的初等概率論教材，又是一本引導讀者由初等概率論走向以測度論和柯爾莫戈洛夫公理化體係為基礎的概率論（以下簡稱為近代概率論）的入門讀物。
在多年的教學實踐中，編者體會到，學生在學了初等概率論之後，還欠缺一些東西。如，對概率論的研究框架理解不深，對概率論發展的方向較為模糊，對近代概率論知之甚少。更有甚者，不太知曉概率與概率分佈的區別，把獨立同分佈的隨機變量視為同一個隨機變量，尤其是對隨機變量序列的各種收斂性不甚清楚，
最近翻譯出版的俄羅斯教授A。H。施利亞耶夫著《概率》一書，令人耳目一新。使人強烈地感到，在概率論的理論教學方面，我們存在較大的差距。我國目前概率論的教學重點，只是放在初等概率的各種計算上，而且這一傾向近幾年來似有愈演愈烈的勢頭。20世紀80年代以來，我國概率論的教學內容基本上沒有變化，然而近30年間，與近代概率論有關的眾多數學分支，如馬爾可夫過程、鞅和隨機積分、隨機優化、隨機控制等都有長足的進展。尤其是隨機金融學的崛起，使得經濟領域的研究也都需要近代概率論作為基礎知識。
課程與教學的改革成為必然，但直接採用像上述《概率》那樣的教材，顯然不太適合我國目前的教學實踐。《概率論》教材，應是既能使學生得到足夠的初等概率的訓練，又能讓他們學到近代概率論的一些概念和方法，了解這些概念是如何從初等概率論中發展起來的，增強他們進一步學習近代概率論及其他應用學科的能力，這就是我們編寫這本書的初衷。
從目錄上看，本書與其他教科書大致相同。但由於把概念都納入到概率空間中去理解，讀者將會發現，本書有許多不同之處，為了使本書成為近代概率論的“解讀”教材，我們要回答許多基本問題，如，為什麼要引進可測函數；為什麼要研究測度的擴張；為什麼要用乘積空間與乘積概率來刻畫獨立重複試驗；為什麼要區別單個概率空間中的概率與乘積概率；為什麼要把條件概率提升成為隨機變量，從而引出關於σ域的條件概率與條件期望；為什麼要把數學期望上升為關於概率測度的積分等。教材通過對這些問題的回答，使讀者知道進一步學習近代概率論的必要。同時，在附錄中我們還向讀者提供了測度論閱讀材料。
在編寫過程中，編者堅持抽象概念形象化的原則，無論多麼抽象的概念，都把它放在最簡單的環境中，看一看它究竟是什麼樣子。例如，關於σ域的條件數學期望這一概念，歷來是學習近代概率論時最費解的概念之一，當σ域變得簡單時，條件數學期望就成為對隨機變量進行局部平均。我們就從這類最簡單的情況出發，逐步引出一般性定義，同時指出由簡單到一般所遇到的困難，使讀者了解到拉東一尼柯迪姆定理在概率論發展中所起到的關鍵作用。
我們博採百家之長，例如，用柯召先生在《組合論》一書中提出的相同球佔位，來代替令人費解的允許重複組合，使許多古典型概率的計算變得簡單，用W。費勒的思想進行多去少補的演示，使讀者了解到容斥原理的實質，同時進一步證明了多個容斥原理公式，我們還採用了一些經典的例子和段落，在引用之處都指明了材料來源，並在這裡對這些材料的作者表示感謝。
這本《概率論》教材，我們內部使用過多年，又作了較大的修改與補充，部分內容重寫，初稿完成之後，又在幾所“211”院校試用多次，這里特別感謝施仁傑教授，他仔細閱讀了全書，並提出了許多寶貴意見。我們懷著激動的心情感謝王梓坤院士，他為本書作了序言。
本書內容較多，教學中可適當取捨，帶星號的章節或段落提倡學生自學。
提升概率論的教學水平是一項艱鉅而又長期的任務，需要全體同仁的努力，本教材僅是拋磚引玉，我們盼望有更好、改革步子更大的教科書出現，由於編者水平有限，難免有不當之處，敬請讀者和同仁批評指正。件數學期望就成為對隨機變量進行局部平均。我們就從這類最簡單的情況出發，逐步引出一般性定義，同時指出由簡單到一般所遇到的困難，使讀者了解到拉東一尼柯迪姆定理在概率論發展中所起到的關鍵作用。
我們博採百家之長，例如，用柯召先生在《組合論》一書中提出的相同球佔位，來代替令人費解的允許重複組合，使許多古典型概率的計算變得簡單，用W。費勒的思想進行多去少補的演示，使讀者了解到容斥原理的實質，同時進一步證明了多個容斥原理公式，我們還採用了一些經典的例子和段落，在引用之處都指明了材料來源，並在這裡對這些材料的作者表示感謝。
這本《概率論》教材，我們內部使用過多年，又作了較大的修改與補充，部分內容重寫，初稿完成之後，又在幾所“211”院校試用多次，這里特別感謝施仁傑教授，他仔細閱讀了全書，並提出了許多寶貴意見。我們懷著激動的心情感謝王梓坤院士，他為本書作了序言。
本書內容較多，教學中可適當取捨，帶星號的章節或段落提倡學生自學。
提升概率論的教學水平是一項艱鉅而又長期的任務，需要全體同仁的努力，本教材僅是拋磚引玉，我們盼望有更好、改革步子更大的教科書出現，由於編者水平有限，難免有不當之處，敬請讀者和同仁批評指正。

目錄
序言 i
前言 iii
第1章 概率空間 1
1.1 樣本空間 1
1.1.1 隨機現象 1
1.1.2 樣本空間 1
1.1.3 隨機事件 3
1.1.4 概率 3
習題1.1 4
1.2 古典型中概率的直接計算 5
1.2.1 古典型 5
1.2.2 常用排列組合公式 6
1.2.3 例子 6
習題1.2 9
1.3 幾何型中概率的直接計算 10
習題1.3 14
1.4 事件的σ域 14
1.4.1 事件的關係和運算 14
1.4.2 事件運算的性質 15
1.4.3 事件列的極限 16
1.4.4 事件的σ域 17
1.4.5 子σ域與域的生成 18
1.4.6 博雷爾域 19
習題1.4 20
1.5 概率的公理化定義 21
1.5.1 概率的定義 21
1.5.2 概率的性質 21
1.5.3 加法定理 23
1.5.4 例子 27
習題1.5 30
第2章 條件概率與獨立性 32
2.1 條件概率與乘法公式 32
2.1.1 條件概率的定義 32
2.1.2 條件概率的性質 33
2.1.3 乘法公式 34
習題2.1 37
2.2 全概率公式與貝葉斯公式 38
2.2.1 全概率公式 38
2.2.2 貝葉斯公式 41
習題2.2 42
2.3 事件的獨立性 43
2.3.1 兩個事件的獨立性 43
2.3.2 多個事件的獨立性 44
2.3.3 獨立事件的概率計算公式 47
習題2.3 49
2.4 獨立試驗 50
*2.4.1 試驗的獨立性 50
2.4.2 伯努利試驗 52
2.4.3 無窮次伯努利試驗 55
*2.4.4 分賭本問題 57
習題2.4 58
第3章 隨機變量 59
3.1 隨機變量的定義 59
3.1.1 問題提出 59
3.1.2 可測函數 59
3.1.3 隨機變量的定義 61
習題3.1 63
3.2 概率分佈與分佈函數 64
3.2.1 隨機變量的概率分佈 64
3.2.2 隨機變量的分佈函數 65
3.2.3 分佈函數的性質 65
習題3.2 70
3.3 離散型隨機變量 71
3.3.1 定義及分佈列 71
3.3.2 與獨立試驗有關的分佈 72
3.3.3 泊松分佈 75
3.3.4 超幾何分佈 76
習題3.3 77
3.4 連續型隨機變量 77
3.4.1 連續型隨機變量的定義 77
3.4.2 均勻分佈 80
3.4.3 正態分佈 80
*3.4.4 高斯推導正態分佈的思路 83
3.4.5 指數分佈Γ分佈與泊松事件流 84
習題3.4 89
3.5 隨機變量函數的分佈 90
3.5.1 離散型隨機變量函數的分佈 90
3.5.2 連續型隨機變量函數的分佈 90
*3.5.3 反問題 94
習題3.5 94
第4章 隨機向量 96
4.1 隨機向量及其分佈 96
4.1.1 隨機向量的定義 96
4.1.2 聯合分佈函數和邊緣分佈函數 97
習題4.1 100
4.2 離散型與連續型隨機向量 100
4.2.1 離散型隨機向量 100
4.2.2 多項分佈 102
4.2.3 連續型隨機向量 104
4.2.4 多維正態分佈 106
習題4.2 109
4.3 隨機變量的獨立性 109
4.3.1 獨立性定義 109
4.3.2 多個隨機變量的獨立性 112
習題4.3 114
4.4 條件分佈 114
4.4.1 條件分佈定義 114
4.4.2 隨機變量的全概率公式與貝葉斯公式 118
習題4.4 120
4.5 隨機向量函數的分佈 121
4.5.1 定義及有關性質 121
4.5.2 卷積 123
4.5.3 一般方法 126
4.5.4 最大值與最小值分佈 130
4.5.5 隨機向量的變換 132
習題4.5 135
第5章 隨機變量的數字特徵 137
5.1 隨機變量的數學期望 137
5.1.1 離散型隨機變量的數學期望 137
5.1.2 連續型隨機變量的數學期望 139
5.1.3 數學期望的一般定義(一) 141
5.1.4 數學期望的一般定義(二) 144
5.1.5 數學期望的性質 146
習題5.1 151
5.2 方差 矩 152
5.2.1 方差的定義 153
5.2.2 方差的性質 155
5.2.3 矩 156
5.2.4 切比雪夫不等式 158
習題5.2 159
5.3 隨機向量的數字特徵 160
5.3.1 隨機向量函數的數字特徵 160
5.3.2 兩個隨機變量的協方差相關性 162
5.3.3 不相關與獨立性 167
5.3.4 隨機向量的數學期望與協方差陣 168
5.3.5 分解法求數學期望與方差 169
習題5.3 172
5.4 條件數學期望 173
5.4.1 由條件概率分佈所確定的條件數學期望 174
*5.4.2 關於隨機變量的條件數學期望 175
*5.4.3 關於子σ域的條件數學期望 179
習題5.4 183
第6章 特徵函數 185
6.1 特徵函數的基本性質 185
6.1.1 定義及例子 185
6.1.2 特徵函數的基本性質 187
習題6.1 191
6.2 逆轉公式與唯一性定理 191
6.2.1 逆轉公式與唯一性定理 191
*6.2.2 分佈函數的卷積與特徵函數的乘積 195
*6.2.3 分佈函數的再生性與可分性 197
習題6.2 198
6.3 隨機向量的特徵函數 198
*6.4 關於多維正態分佈的一些注記 201
6.4.1 密度函數與特徵函數 201
6.4.2 聯合分佈為正態的判定 204
6.4.3 線性變換與正交變換 206
習題6.4 208
*6.5 矩母函數與概率母函數 208
6.5.1 矩母函數 208
6.5.2 概率母函數 209
習題6.5 211
第7章 大數定律與中心極限定理 212
*7.1 概率論的三個古典極限定理 212
7.2 隨機變量序列的收斂性 214
7.2.1 依概率收斂 214
7.2.2 幾乎必然收斂 216
7.2.3 依分佈收斂 217
習題7.2 220
7.3 大數定律 221
7.3.1 定義 221
7.3.2 弱大數律 221
7.3.3 應用大數定律的例子 225
習題7.3 226
*7.4 強大數定律 227
7.4.1 幾乎必然收斂的條件 228
7.4.2 柯爾莫戈洛夫不等式 230
7.4.3 柯爾莫戈洛夫判別法 231
7.4.4 柯爾莫戈洛夫定理 233
習題7.4 235
7.5 中心極限定理 236
7.5.1 一般定義 236
7.5.2 獨立同分佈場合下的中心極限定理 237
7.5.3 獨立同分佈場合中心極限定理的應用 238
*7.5.4 獨立不同分佈場合下的中心極限定理 242
習題7.5 250
附錄A 測度與積分 252
附錄B 波赫納-辛欽定理 291
附錄C 連續性定理 294
附錄D 常用分佈表 298
習題答案與提示 303
參考文獻 311
索引 312