高等代數（簡體書）

《高等代數》是作者多年使用講義的基礎上編寫而成的，主要體現了以下特色：1.注重理論聯繫實際，儘量從實踐和實際問題中引八概念和定理；注重高等代數與現代科技、社會生活的密切聯繫，突出了在現代科技中的應用。2.注意高等代數與初等數學的聯繫，以培養學生居高臨下解決初等數學問題的能力。這種聯繫，主要體現在部分例題及習題之中。 3.突出人文精神。教材中增加了數學家小傳：人物聚焦。讓學生瞭解數學家在數學發展史上的卓越貢獻。 4.注重創新精神的培養。教材中增加了“問題探究”供有興趣的學生去另闢蹊徑，探討創新。 5.加強基本概念的教學，注意介紹基本概念、原理產生的過程。注重培養學生觀察、思考、提出問題、解決問題的能力。 6.教材中配置了典型的例題，盡可能不局限於孤立地求解革種特例，而是注重剖析思想、開拓思路，從中尋求一類題型的一般規律和思想方法，以期舉一反三。 7.習題按節配置，有難有易，章後有大量的補充題。 8.為了適應雙語教學的需要，加強學生專業外語的學習，對重要的關鍵詞加注了英文名。 全書共人十章。前三章為行列式、線性方程組、矩陣。第四章為多項式理論，利用n維向量及其線性關係圓滿地解決了線性方程組的有關理論，又用n維向量的理論研究了矩陣的運算性質及秩的有關問題。並用n維向量及矩陣表示的方法研究多項式的運算、運算性質、最大公因式等相關問題，充分體現了矩陣理論大多項式中的應用，這是與其他教材的重要不同點。後六章分別是二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間和雙線性函數。．

《高等代數》的特點是起點低，有坡度，針對性強，適用面廣，力求敘述簡明、直觀、言簡意賅。在闡述基本概念和基本理論時，力求清晰、透徹，淡化嚴格推理，削弱運算技巧，突出重點，循序漸進，注意化解理論難點，便于學生掌握理解，易教易學．注重學生基本運算能力和分析問題、解決問題能力的培養，注重理論聯系實際。
本書由白鳳蘭任主編，負責修改、統稿、定稿。

“高等代數”是數學與應用數學、信息與計算科學等專業學生學習的一門重要基礎課程，在全國已有多種版本的教材，其中不乏經典的好教材，編寫本書的主要目的是想為開設高等代數課程的二本院校提供一本比較合適的教材。
本教材是在安徽省精品課程“高等代數”長期教學中積累而成的，編寫本教材的指導思想是：
（1）“高等代數”教材首先遵循該課程教學大綱的基本框架，并且覆蓋高等代數課程的基本內容：行列式、矩陣、線性空間、線性變換、多項式、特征值、λ一矩陣、二次型和歐氏空間，但在具體授課時，可以根據學時數以及實際需要，有選擇地講解，為此，本教材中加星號的內容可以考慮選講或者不講。
（2）考慮到在實踐教學中培養學生實踐能力和創新能力的需要，在大部分章節中，引入適量的背景來導入理論知識，同時在掌握理論之后，再通過實際例子將理論知識融會貫通，本書精選出一些具有代表性的例題，給出了解題思路和分析方法，題后提示了解題中應注意的問題，目的在于啟發學生并培養學生自學能力。
（3）考慮現今二本學生的基礎條件，本書在內容編排上由淺人深、循序漸進。
（4）本書的章節編排順序與其他教材有所不同，特別是將“線性方程組的解法和結構”放在“線性空間”一章里，目的是基于：①用矩陣的秩來判別解的存在，而矩陣的秩在該章中詳細討論過；②從線性空間的角度來理解線性方程組的解的結構，另外，本書中將“二次型”這一章挪到“特征值”之后，是為了將二次型的標準化與矩陣的正交化融合，使學生對這兩部分有個整體統一的認識。
學數學做習題無疑是重要的，書中習題按難度分A、B兩類，A類是為教材理論知識的掌握而設計的，在內容上重視基礎理論，覆蓋課程全部基本教學要求；B類稍有難度，是為學生能力提高而設計的，使學生能加深理解基本理論并融會貫通，熟練掌握基本的分析計算方法并舉一反三，不斷提高應試水平和知識的綜合應用。 More

第1章 基礎知識
1．1 集合
1．1．1 集合的概念及表示法
1．1．2 集合的運算
習題1．1
1．2 映射
1．2．1 映射的概念
1．2．2 映射的運算
習題1．2
1．3 整數的整除性理論
1．3．1 帶余除法
1．3．2 整除性
習題1．3
1．4 數學歸納法
習題1．4
1．5 數域
習題1．5
第2章 多項式
2．1 一元多項式的運算和整除性
2．1．1 一元多項式及其運算
2．1．2 帶余除法
2．1．3 整除性
習題2．1
2．2 最大公因式
2．2．1 最大公因式的概念
2．2．2 互素多項式
習題2．2
2．3 因式分解
2．3．1 不可約多項式
2．3．2 因式分解唯一性定理
2．3．3 重因式
習題2．3
2．4 多項式函數
2．4．1 多項式函數理論
2．4．2 多項式的零點
習題2．4
2．5 復系數多項式
習題2．5
2．6 實系數多項式
習題2．6
2．7有理系數多項式
習題2．7
第3章 行列式
3．1 行列式的定義
3．1．1 排列
3．1．2 二階行列式和三階行列式
3．1．3 n階行列式的定義
3．1．4 n階行列式的等價定義
習題3．1
3．2 行列式的性質
習題3．2
3．3 行列式按行（列）展開
3．3．1 余子式和代數余子式
3．3．2 行列式按行（列）展開定理
習題3．3
3．4 克拉默法則
習題3．4
第4章 矩陣
4．1 矩陣及其運算
4．1．1 矩陣的概念
4．1．2 矩陣的運算
4．1．3 矩陣的轉置
習題4．1
4．2 逆矩陣
4．2．1 逆矩陣的定義
4．2．2 可逆矩陣的性質
習題4．2
4．3 分塊矩陣
4．3．1 分塊矩陣的運算
4．3．2 分塊矩陣的逆矩陣
習題4．3
4．4 矩陣的初等變換和初等矩陣
4．4．1 矩陣的初等變換
4．4．2 初等矩陣
習題4．4
4．5 矩陣的秩
4．5．1 矩陣的子式與矩陣的秩
4．5．2 矩陣乘積的行列式與秩
習題4．5
第5章 線性方程組
5．1 消元法
習題5．1
5．2 線性方程組有解的判別法
習題5．2
5．3 n維向量空間
習題5．3
5．4 向量的線性相關性
5．4．1 向量的線性相關性概念
5．4．2 向量組的極大線性無關組
習題5．4
5．5 線性方程組解的結構
5．5．1 齊次線性方程組的基礎解系
5．5．2 非齊次線性方程組解的結構
習題5．5
第6章 二次型
6．1 二次型及其矩陣表示
6．1．1 二次型和對稱矩陣
6．1．2 矩陣合同
習題6．1
6．2 二次型的化簡
6．2．1 二次型的標準形
6．2．2 二次型的化簡方法
習題6．2
6．3 復數域和實數域上二次型
6．3．1 復數域上二次型的規范形
6．3．2 實數域上二次型的規范形
習題6．3
6．4 正定二次型
6．4．1 正定二次型及其判定
6．4．2 正定矩陣
習題6．4
第7章 線性空間
7．1 線性空間的定義和性質
7．1．1 線性空間的定義
7．1．2 線性空間舉例
7．1．3 線性空間的簡單性質
習題7．1
7．2 線性空間的維數與基
7．2．1 向量的線性相關性
7．2．2 維數與基
習題7．2
7．3 基變換與坐標變換
7．3．1 過渡矩陣
7．3．2 坐標變換
習題7．3
7．4 線性子空間
7．4．1 線性子空間的概念
7．4．2 生成子空間
7．4．3 子空間的交與和
7．4．4 維數公式
習題7．4
7．5 子空間的直和
習題7．5
7．6 線性空間的同構
習題7．6
第8章 線性變換
8．1 線性變換及其基本運算
8．1．1 線性變換的定義及舉例
8．1．2 線性變換的基本運算
習題8．1
8．2 線性變換和矩陣
8．2．1 線性變換的矩陣
8．2．2 相似矩陣
習題8．2
8．3 不變子空間
8．3．1 定義及例子
8．3．2 不變子空間與矩陣化簡
習題8．3
8．4 矩陣的特征值與特征向量
8．4．1 特征值與特征向量的概念
8．4．2 特征值與特征向量的性質
習題8．4
8．5 可以對角化的矩陣
習題8．5
第9章 歐幾里得空間
9．1 向量的內積
9．1．1 歐幾里得空間的概念
9．1．2 度量矩陣
習題9．1
9．2 標準正交基
9．2．1 正交基的概念
9．2．2 施密特正交化
9．2．3 正交矩陣
習題9．2
9．3 歐氏空間的同構
習題9．3
9．4 正交變換
9．4．1 正交變換及其等價定理
9．4．2 正交變換的分類
習題9．4
9．5 子空間
9．5．1 正交子空間
9．5．2 正交補
習題9．5
9．6 對稱變換和對稱矩陣
9．6．1 對稱變換
9．6．2 實對稱矩陣的性質
9．6．3 實對稱矩陣的標準形
9．6．4 實二次型的標準形
習題9．6
習題參考答案與提示
參考文獻 More

1.1.1 數域
數是數學的一個最基本的概念，我們的討論就從這里開始，在歷史上，數的概念經歷了一個長期發展的過程，大體上看，是由自然數到整數、有理數，然后是實數，再到復數，這個過程反映了人們對客觀世界認識的不斷深入，按照所研究的問題，我們通常需要明確規定所考慮的數的范圍，譬如說，任意兩個整數的商不一定是整數，這就是說，限制在整數的范圍內，除法不是普遍可以做的，而在有理數范圍內，只要除數不為零，除法總是可以做的，因此，在數的不同范圍內同一個問題的回答可能是不同的，我們經常會遇到的數的范圍有全體有理數、全體實數以及全體復數，它們顯然具有一些不同的性質，當然，它們也有很多共同的性質，在代數中經常是將有共同性質的對象統一進行討論，關于數的加、減、乘、除等運算的性質通常稱為數的代數性質，代數所研究的問題主要涉及數的代數性質，這方面的大部分性質是有理數、實數、復數的全體所共有的，有時我們還會碰到一些其他的數的范圍，為了方便起見，當我們把這些數當作整體來考慮時，常稱它為一個數的集合，簡稱數集，有些數集也具有與有理數、實數、復數的全體所共有的代數性質，為了在討論中能夠把它們統一起來，我們引入一個一般的概念。