矩陣論與數值分析：理論及其工程應用（簡體書）

《全國工程碩士專業學位教育指導委員會推薦教材．矩陣論與數值分析：理論及其工程應用》根據（全日制、在職）工程碩士研究生的特點和培養創新型人才的要求，將矩陣論與數值分析的有關理論與方法按內容體系編寫.全書共6章，分別是矩陣運算與矩陣分解、線性空間與線性變換、矩陣的若爾當標準形與矩陣函數、方程與方程組的數值解法、數值逼近方法與數值微積分、常微分方程的數值解法，為提高工程碩士研究生應用數學方法和科學計算解決實際問題的能力，各章最後一節給出了一些應用案例，對一些重要的問題給出了求解問題的MATI，AB程序。
《全國工程碩士專業學位教育指導委員會推薦教材．矩陣論與數值分析：理論及其工程應用》可供了程碩士研究生以及理工科非計算數學專業的大學生閱讀，也可供科技工作者參考。

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第1章 矩陣運算與矩陣分解
1.1 矩陣及其基本運算
1.1.1 矩陣及其基本運算回顧
1.1.2 矩陣的初等變換
1.2 矩陣分解及其在解線性方程組中的應用
1.2.1 矩陣的三角分解（LU分解）
1.2.2 矩陣的正交三角分解（QR分解）
1.2.3 矩陣的滿秩分解
1.2.4 矩陣的奇異值分解
1.3 矩陣的特徵值與特徵向量
1.3.1 特徵值與特徵向量
1.3.2 特徵值的估計
1.3.3 求主特徵值及其特徵向量的冪法
1.3.4 QR方法簡介
1.4 矩陣的廣義逆及其應用
1.4.1 廣義逆矩陣A
1.4.2 廣義逆A+
1.5 應用案例
1.5.1 電力系統小干擾穩定性分析
1.5.2 火力發電機組熱功效率的在線計算
1.5.3 奇異值與特徵值分解在諧波源定階中的等價性
本章小結
習題1

第2章 線性空間與線性變換
2.1 線性空間
2.1.1 集合與映射
2.1.2 線性空間
2.1.3 線性空間的基、維數與坐標
2.1.4 線性子空間
2.2 賦范線性空間與矩陣範數
2.2.1 賦範線性空間
2.2.2 矩陣的範數
2.3 內積空間
2.3.1 內積的定義與性質
2.3.2 向量的正交性與施密特（Schmidt）正交化方法
2.4 矩陣分析初步
2.4.1 矩陣序列的極限
2.4.2 矩陣級數
2.4.3 矩陣冪級數
2.4.4 矩陣的微分和積分
2.5 線性變換
2.5.1 線性變換的定義與性質
2.5.2 線性變換與矩陣
2.5.3 線性變換的特徵值與特徵向量
2.5.4 正交變換
2.6 應用案例
2.6.1 電路變換及其應用
2.6.2 基於正交分解的MOA洩漏電流有功分量提取算法
2.6.3 基於範數的唯一穩態消諧法及其應用
2.6.4 線性變換在求高階線性常微分方程特解中的應用
本章小結
習題2

第3章 矩陣的若爾當標準形與矩陣函數
3.1 λ矩陣及其史密斯（Smith）標準形
3.2 矩陣的若爾當標準形
……
第4章 方程與方程組的數值解法
第5章 數值逼近方法和數值微積分
第6章 常微分方程的數值解法
參考答案
參考文獻

本節討論了平坡梯形斷面明渠的數值積分計算方法，其計算誤差主要來自于粗糙率n的選擇、經驗公式如曼寧公式的選擇等因素。眾所周知，水力計算本身就建立在理論分析與經驗總結相結合的基礎上，但是不適當的計算方法將使計算結果誤差更大，本節討論的計算方法，經理論分析推導出通用計算公式，可利用Excel工具進行計算，既減小了明渠水力計算的誤差，又使計算方便快捷。
本章小結
本章主要介紹了數值逼近方法和數值微積分。
插值法是函數逼近的一種重要方法，它是數值微積分、微分方程數值解等數值計算的基礎與工具，由于多項式具有形式簡單、計算方便等許多優點，故本章主要介紹多項式插值，它是插值法中最常用和最基本的方法。
拉格朗日插值多項式的優點是表達式簡明、形式對稱、便于記憶，它的缺點是如果增加插值節點，公式必須整個改變，這就增加了計算量，而牛頓插值多項式對此作了改進，當增加一個節點時只需在原牛頓插值多項式基礎上增加一項，而原有的項無需改變，從而達到節省計算次數、節約存儲單元、應用較少節點達到應有精度的目的，由于高次插值多項式具有數值不穩定的缺點（如龍格現象），高次插值多項式的效果并非一定比低次插值好，所以當區間較大、節點較多時，常用分段低次插值，如分段線性插值和分段二次插值。由于分段插值是局部化的，每個節點只影響附近少數幾個間距，從而計算方便。分段插值的缺點是不能保證曲線在連接點處的光滑性。
為了保證插值曲線在節點處不僅連續而且光滑，可用樣條插值方法。三次樣條插值法是最常用的方法，它在整個插值區間上可保證具有直到二階導數的連續性。用它來求數值微分、微分方程數值解等，都能起到良好效果。
常用數值積分公式及數值微分公式大多基于多項式插值或分段多項式插值，其余項與插值多項式的余項密切有關。牛頓—柯特斯公式是在等距節點情形下的插值型求積公式，其簡單情形如梯形公式、辛普森公式等。復化求積公式是改善求積公式精度的一種行之有效的方法，特別是復化梯形公式、復化辛普森公式，使用方便，實際計算中常常使用。龍貝格求積公式是在區間逐次分半過程中，對梯形法所得的近似值進行多級“修正”，而獲得的準確程度較高的求積分近似值的一種方法。
高斯型求積公式是一種高精度的求積公式，在求積節點數相同，即計算量相近的情況下，利用高斯型求積公式往往可以獲得準確度較高的積分近似值，但需確定高斯點，而且當節點數據改變時，所有數據都要重新查表計算。
數值微分僅介紹了簡單形式的差商型和插值型求導公式，在精度要求不高時可采用。各種數值微分法都有數值穩定性困難的問題，改善數值穩定性困難的途徑是利用余項展開進行外推。隱式方法也是一種途徑，但不適于一般情況。
最后，介紹了混頻器中變頻損耗的數值計算和梯形平坡明渠的數值積分水力計算兩個應用案例。
對具體實際問題而言，一個公式使用的效果如何，與被積分、被微分的函數性態及計算結果的精度要求等有關。我們要根據具體問題，選擇合適的公式進行計算。