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點集拓撲與代數拓撲引論（簡體書）
商品資訊
系列名：21世紀數學規劃教材.數學基礎課系列
ISBN13：9787301230602
出版社：北京大學出版社
作者：包志強
出版日：2021/12/23
裝訂／頁數：平裝／284頁
規格：21cm*14.7cm*1.3cm (高/寬/厚)
版次：一版
商品簡介
名人/編輯推薦
序
目次
書摘/試閱
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商品簡介
《21世紀數學規劃教材·數學基礎課系列:點集拓撲與代數拓撲引論》是高等院校數學系本科生拓撲學的入門教材。全書共分五章。第一章介紹拓撲空間和連續映射等基本概念。第二章介紹可數性、分離性、連通性、緊致性等常用點集拓撲性質。第三章從幾何拓撲直觀和代數拓撲不變量兩個角度，綜合地介紹了閉曲面的分類。第四章介紹了基本群的概念以及應用。第五章介紹復迭空間的技術。《21世紀數學規劃教材·數學基礎課系列:點集拓撲與代數拓撲引論》的特點是敘述淺顯易懂，并給出了豐富具體的例子，主干內容（不打星號的節）每節均配有適量習題，書末附有習題的提示或解答。
名人/編輯推薦
《21世紀數學規劃教材·數學基礎課系列:點集拓撲與代數拓撲引論》是作者包志強結合科研工作和多年教學經驗編著的一本拓撲學方面的入門教材，有兩大特點：綜合介紹了點集拓撲的主要內容和代數拓撲的入門知識，使得學生在學完之后臺旨對現代拓撲學的全貌有一個初步的了解。采用了類似手課堂討論的講述風格，條理清晰而又淺顯易懂，并且提供了豐富具體的例子以及難度適中的配套習題，并附有習題答案。
《21世紀數學規劃教材·數學基礎課系列:點集拓撲與代數拓撲引論》可作為綜合大學和高等師范院校數學系的拓撲課教材，也可供有關的科技人員和拓撲學愛好者作為自學的入門讀物。
《21世紀數學規劃教材·數學基礎課系列:點集拓撲與代數拓撲引論》可作為綜合大學和高等師范院校數學系的拓撲課教材，也可供有關的科技人員和拓撲學愛好者作為自學的入門讀物。
序
引 言
什么是拓撲？
在數學家的圈子以外，當被問到拓撲一詞時，人們最有可能想到的，大概是計算機科學中提到的“拓撲”概念：當我們把許多計算機相互連接在一起構成網絡時，會有很多種不同的連接方式，小到可以是一臺服務器掛很多客戶端的集中式網絡，大到可以是很多子網絡通過路由器連接在一起的網際網絡，這些連接方式都被叫做網絡拓撲．雖然計算機的型號性能和網絡連接的速度質量可能有千差萬別，但是當網絡拓撲相同時，網絡運行的基本原理和算法是相通的．反過來當網絡拓撲不同時，計算機之間搜索位置和傳送信息的方法則往往會有本質差別．
其實這個概念是從數學中借用過去的，不過在一定程度上，這種借用確實反映了拓撲學中一些最樸素最直觀的想法．數學家發明拓撲的初衷，正是要去尋找這樣的一些幾何形狀上的特征，它們雖然也都看得見摸得著，但是卻比長度和角度等傳統幾何性質更加“本質”：這些特征不會因為研究對象的某些細節上的改變而發生改變．一個通俗（但是并不準確）的說法是：拓撲學研究的是一個對象在連續形變下保持不變的性質．
這種性質有嗎？當然有．早在1736年，Euler（歐拉）解決K?nigsberg（哥尼斯堡）七橋問題的時候，就發現了一些這樣的奇妙性質，并認為應該有一種“關于相對位置的幾何”來專門研究此類古典幾何無法解釋的奇妙性質．這就是拓撲學的起源．Euler稱“位置幾何”這個詞源于Leibniz（萊布尼茨）．近年來人們對數學史的研究發現，Leibniz的想法可能來源于比他更早的Descartes（笛卡爾）的一篇未發表的手稿．
Gauss（高斯）和Maxwell（麥克斯韋）出于研究電磁學的目的，也都先后思考過關于位置幾何的問題．不過“拓撲”這個詞卻是Gauss的學生Listing從希臘文中表示位置的詞τοπο?（topos）和表示原理的詞λ?γο?（logos）造出來的．1847年，Listing發表了著名的論文《Vorstudien zur Topologie》（關于拓撲學的初步研究），這就是歷史上的第一篇關于拓撲學的數學論文．
當然，真正實用的拓撲學還要等到1874年Cantor（康托爾）發明集合論之后才算開始，因為集合的語言才是表達拓撲思想最合適的語言．沿著這條線索發展出來的，研究最一般的集合上的拓撲的學科，被稱為點集拓撲學（point-set topology）或一般拓撲學（general topology）．
另一方面，對于一些結構比較好的拓撲空間，來自代數和微分方程的思想和方法則可以發揮巨大作用．在1895年Poincaré（龐加萊）發表了一篇長達一百多頁的著名論文《Analysis Situs》（位置分析），這篇論文包含了很多創造性的新思想，或者說提出了一系列重要的、有待嚴格證明的研究方法和結論，并在此后三十年間主導了拓撲學界的大部分研究．這些想法被發展起來后，就形成了今天的代數拓撲學（algebraic topology）和微分拓撲學（differential topology）．
有趣的是，Poincaré的工作導致后來的很多數學家都習慣用“位置分析”或“位置幾何”稱呼這個學科，拓撲學（topology）這個名稱直到二十世紀三十年代才開始被數學界普遍使用．
國內的第一本拓撲書是江澤涵教授在抗戰時期翻譯的一本德文教材．最初他把這門學科稱為“形勢幾何學”，后來他取了一個具有延伸擴展之意的“拓”字，又取了一個具有拍打擠壓之意的“撲”字，合起來既接近西文的發音又提示了這門學科的特點，即它關心的是幾何形體在連續形變下保持不變的性質，這樣才將該學科的中文名稱正式確定為“拓撲學”．
拓撲學的直觀認識
為了能夠讓大家初步理解拓撲學都研究些什么，讓我們拿歐氏幾何來對比一下．所謂的歐氏空間，無非是一個點集附加上一些額外的信息．每一套完整的附加信息稱為一個歐氏結構，人們可以通過讀取這些信息來判斷點的共線或共面關系，以及計算距離、夾角、面積、體積等歐氏幾何能計算的量．依現代幾何學的理解來看，這些量中距離是最基礎的，歐氏空間到歐氏空間的保持距離的映射稱為等距變換，而歐氏幾何所關心的，基本都是些不會被等距變換所改變的性質．
與之類似，拓撲空間（topological space）也是一個點集附加上一套額外的信息．這套附加信息稱為拓撲結構（topological structure），它的主要作用則是幫助我們定義連續性（或者說把“ 上的連續函數”這一概念推廣到一般的集合上去）．拓撲空間到拓撲空間的保持連續性定義方式不變的映射稱為同胚（homeomorphism），而拓撲學研究的，正是那些在同胚下保持不變的性質，即拓撲性質（topological property）．下表列出了兩者的類似之處．
概念 特點 概念 特點
歐氏空間 具有歐氏結構 拓撲空間 具有拓撲結構
歐氏結構 用于刻畫距離 拓撲結構 用于刻畫連續性
等距變換 保持距離不變 同胚 保持連續性不變
歐氏性質 等距變換下不變 拓撲性質 同胚下不變
“保持長度不變地把一個圖形變到另一個圖形”是一種很容易理解的操作，但是“保持連續性定義方式不變地把一個空間變到另一個空間”是一種什么樣的操作呢？考慮閉區間 ，按照數學分析中學過的標準方式定義連續性．很顯然這條線段可以進行收縮或者拉伸，然后在新得到的空間中按相應方式（而不是數學分析中的標準方式）定義連續性．我們還可以在線段不同的部位進行不同程度的局部收縮和拉伸，甚至是彎曲，只要變形不劇烈，都不難在得到的空間上相應地定義連續性．這些變形都是同胚的例子，而且正因為有這些例子，科普文章中經常出現的一種關于拓撲學的通俗（但并不準確）的解釋就是：拓撲學專門研究幾何形體的那些在連續形變下不會被改變的性質．
下面讓我們通過幾個具體的例子來體會一下，會有些什么樣的性質是在連續形變下不發生改變的．當然，這里入選的拓撲性質都是一些早期的初等例子，證明也不求嚴格，只是為了找找感覺．更深入的例子要等我們正式定義了拓撲結構之后才能討論．
K?nigsberg七橋問題（K?nigsberg bridge problem） 這個問題被公認為現代圖論及拓撲學的開端．K?nigsberg（哥尼斯堡）是條頓騎士團在中世紀建立的一個古老的城市，后來一直是東普魯士的首府，不過現在歸屬于俄羅斯，稱為Калинингрáд（Kaliningrad）．著名的K?nigsberg七橋問題是：流經該城的Pregel河上有七座橋，能否設計一條散步的路線，使得在一次散步中恰好可以經過每座橋各一次？
1736年，Euler在他的論文《Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis》（一個關于位置幾何的問題的解）中對該問題作出了完美的解答．答案是不能，理由如下．
K?nigsberg被河流分割成了城南、城北、城東和中央區域四個地理區域．假如滿足要求的散步路線存在，那么對于路線起終點所在區域之外的每個區域，與之相連的橋一定恰好有偶數座，因為每次經過該區域都需要一座進來的橋和一座離開的橋．但實際上四個區域都只和奇數座橋相連，這就導出了矛盾．□
在這篇論文中Euler對K?nigsberg的地形圖進行了一個重要的變形，把它變成了一個由頂點（vertex）以及連接頂點的邊（edge）構成的幾何結構，稱為圖（graph）．被河流分開的每個區域被收縮成了一個點，而每座橋則被拉長拉細成了一條弧線．顯然K?nigsberg七橋問題的解法也可以推廣到一般的圖上，用來回答一個圖能不能被“一筆畫出”的問題．
一個圖 上如果有一個頂點和邊交替出現的序列
（要求第一個和最后一個都是頂點），使得每條邊 的兩個端點恰好是 和 ，并且 的每條邊在這個序列中恰好出現一次，則稱這個序列為圖 的一條Euler路徑（Eulerian path）．于是“能被一筆畫出”就可以數學上很嚴格地解釋成“存在Euler路徑”．雖然是否存在Euler路徑也是一個關于幾何圖形的問題，但是卻和古典幾何所在意的那些事情（比如邊的長度以及邊是如何彎曲的等等）都完全無關．Euler論文標題中的“位置幾何”一詞正是想表達此意．對于一個圖來說，“是否存在Euler路徑”就是一個拓撲性質．
什么是拓撲？
在數學家的圈子以外，當被問到拓撲一詞時，人們最有可能想到的，大概是計算機科學中提到的“拓撲”概念：當我們把許多計算機相互連接在一起構成網絡時，會有很多種不同的連接方式，小到可以是一臺服務器掛很多客戶端的集中式網絡，大到可以是很多子網絡通過路由器連接在一起的網際網絡，這些連接方式都被叫做網絡拓撲．雖然計算機的型號性能和網絡連接的速度質量可能有千差萬別，但是當網絡拓撲相同時，網絡運行的基本原理和算法是相通的．反過來當網絡拓撲不同時，計算機之間搜索位置和傳送信息的方法則往往會有本質差別．
其實這個概念是從數學中借用過去的，不過在一定程度上，這種借用確實反映了拓撲學中一些最樸素最直觀的想法．數學家發明拓撲的初衷，正是要去尋找這樣的一些幾何形狀上的特征，它們雖然也都看得見摸得著，但是卻比長度和角度等傳統幾何性質更加“本質”：這些特征不會因為研究對象的某些細節上的改變而發生改變．一個通俗（但是并不準確）的說法是：拓撲學研究的是一個對象在連續形變下保持不變的性質．
這種性質有嗎？當然有．早在1736年，Euler（歐拉）解決K?nigsberg（哥尼斯堡）七橋問題的時候，就發現了一些這樣的奇妙性質，并認為應該有一種“關于相對位置的幾何”來專門研究此類古典幾何無法解釋的奇妙性質．這就是拓撲學的起源．Euler稱“位置幾何”這個詞源于Leibniz（萊布尼茨）．近年來人們對數學史的研究發現，Leibniz的想法可能來源于比他更早的Descartes（笛卡爾）的一篇未發表的手稿．
Gauss（高斯）和Maxwell（麥克斯韋）出于研究電磁學的目的，也都先后思考過關于位置幾何的問題．不過“拓撲”這個詞卻是Gauss的學生Listing從希臘文中表示位置的詞τοπο?（topos）和表示原理的詞λ?γο?（logos）造出來的．1847年，Listing發表了著名的論文《Vorstudien zur Topologie》（關于拓撲學的初步研究），這就是歷史上的第一篇關于拓撲學的數學論文．
當然，真正實用的拓撲學還要等到1874年Cantor（康托爾）發明集合論之后才算開始，因為集合的語言才是表達拓撲思想最合適的語言．沿著這條線索發展出來的，研究最一般的集合上的拓撲的學科，被稱為點集拓撲學（point-set topology）或一般拓撲學（general topology）．
另一方面，對于一些結構比較好的拓撲空間，來自代數和微分方程的思想和方法則可以發揮巨大作用．在1895年Poincaré（龐加萊）發表了一篇長達一百多頁的著名論文《Analysis Situs》（位置分析），這篇論文包含了很多創造性的新思想，或者說提出了一系列重要的、有待嚴格證明的研究方法和結論，并在此后三十年間主導了拓撲學界的大部分研究．這些想法被發展起來后，就形成了今天的代數拓撲學（algebraic topology）和微分拓撲學（differential topology）．
有趣的是，Poincaré的工作導致后來的很多數學家都習慣用“位置分析”或“位置幾何”稱呼這個學科，拓撲學（topology）這個名稱直到二十世紀三十年代才開始被數學界普遍使用．
國內的第一本拓撲書是江澤涵教授在抗戰時期翻譯的一本德文教材．最初他把這門學科稱為“形勢幾何學”，后來他取了一個具有延伸擴展之意的“拓”字，又取了一個具有拍打擠壓之意的“撲”字，合起來既接近西文的發音又提示了這門學科的特點，即它關心的是幾何形體在連續形變下保持不變的性質，這樣才將該學科的中文名稱正式確定為“拓撲學”．
拓撲學的直觀認識
為了能夠讓大家初步理解拓撲學都研究些什么，讓我們拿歐氏幾何來對比一下．所謂的歐氏空間，無非是一個點集附加上一些額外的信息．每一套完整的附加信息稱為一個歐氏結構，人們可以通過讀取這些信息來判斷點的共線或共面關系，以及計算距離、夾角、面積、體積等歐氏幾何能計算的量．依現代幾何學的理解來看，這些量中距離是最基礎的，歐氏空間到歐氏空間的保持距離的映射稱為等距變換，而歐氏幾何所關心的，基本都是些不會被等距變換所改變的性質．
與之類似，拓撲空間（topological space）也是一個點集附加上一套額外的信息．這套附加信息稱為拓撲結構（topological structure），它的主要作用則是幫助我們定義連續性（或者說把“ 上的連續函數”這一概念推廣到一般的集合上去）．拓撲空間到拓撲空間的保持連續性定義方式不變的映射稱為同胚（homeomorphism），而拓撲學研究的，正是那些在同胚下保持不變的性質，即拓撲性質（topological property）．下表列出了兩者的類似之處．
概念 特點 概念 特點
歐氏空間 具有歐氏結構 拓撲空間 具有拓撲結構
歐氏結構 用于刻畫距離 拓撲結構 用于刻畫連續性
等距變換 保持距離不變 同胚 保持連續性不變
歐氏性質 等距變換下不變 拓撲性質 同胚下不變
“保持長度不變地把一個圖形變到另一個圖形”是一種很容易理解的操作，但是“保持連續性定義方式不變地把一個空間變到另一個空間”是一種什么樣的操作呢？考慮閉區間 ，按照數學分析中學過的標準方式定義連續性．很顯然這條線段可以進行收縮或者拉伸，然后在新得到的空間中按相應方式（而不是數學分析中的標準方式）定義連續性．我們還可以在線段不同的部位進行不同程度的局部收縮和拉伸，甚至是彎曲，只要變形不劇烈，都不難在得到的空間上相應地定義連續性．這些變形都是同胚的例子，而且正因為有這些例子，科普文章中經常出現的一種關于拓撲學的通俗（但并不準確）的解釋就是：拓撲學專門研究幾何形體的那些在連續形變下不會被改變的性質．
下面讓我們通過幾個具體的例子來體會一下，會有些什么樣的性質是在連續形變下不發生改變的．當然，這里入選的拓撲性質都是一些早期的初等例子，證明也不求嚴格，只是為了找找感覺．更深入的例子要等我們正式定義了拓撲結構之后才能討論．
K?nigsberg七橋問題（K?nigsberg bridge problem） 這個問題被公認為現代圖論及拓撲學的開端．K?nigsberg（哥尼斯堡）是條頓騎士團在中世紀建立的一個古老的城市，后來一直是東普魯士的首府，不過現在歸屬于俄羅斯，稱為Калинингрáд（Kaliningrad）．著名的K?nigsberg七橋問題是：流經該城的Pregel河上有七座橋，能否設計一條散步的路線，使得在一次散步中恰好可以經過每座橋各一次？
1736年，Euler在他的論文《Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis》（一個關于位置幾何的問題的解）中對該問題作出了完美的解答．答案是不能，理由如下．
K?nigsberg被河流分割成了城南、城北、城東和中央區域四個地理區域．假如滿足要求的散步路線存在，那么對于路線起終點所在區域之外的每個區域，與之相連的橋一定恰好有偶數座，因為每次經過該區域都需要一座進來的橋和一座離開的橋．但實際上四個區域都只和奇數座橋相連，這就導出了矛盾．□
在這篇論文中Euler對K?nigsberg的地形圖進行了一個重要的變形，把它變成了一個由頂點（vertex）以及連接頂點的邊（edge）構成的幾何結構，稱為圖（graph）．被河流分開的每個區域被收縮成了一個點，而每座橋則被拉長拉細成了一條弧線．顯然K?nigsberg七橋問題的解法也可以推廣到一般的圖上，用來回答一個圖能不能被“一筆畫出”的問題．
一個圖 上如果有一個頂點和邊交替出現的序列
（要求第一個和最后一個都是頂點），使得每條邊 的兩個端點恰好是 和 ，并且 的每條邊在這個序列中恰好出現一次，則稱這個序列為圖 的一條Euler路徑（Eulerian path）．于是“能被一筆畫出”就可以數學上很嚴格地解釋成“存在Euler路徑”．雖然是否存在Euler路徑也是一個關于幾何圖形的問題，但是卻和古典幾何所在意的那些事情（比如邊的長度以及邊是如何彎曲的等等）都完全無關．Euler論文標題中的“位置幾何”一詞正是想表達此意．對于一個圖來說，“是否存在Euler路徑”就是一個拓撲性質．
目次
引言
拓撲學的直觀認識
預備知識
集合論的公理系統
第一章拓撲空間與連續性
1.1拓撲空間
1.2拓撲空間中的一些基本概念
1.3集合的基數和可數集
1.4連續映射與同胚
1.5乘積空間
1.6子空間
1.7商映射與商空間
1.8商空間的更多例子
第二章常用點集拓撲性質
2.1可數公理
2.2分離公理
2.3Urysohn度量化定理
2.4連通性
2.5道路連通性
2.6緊致性
2.7度量空間中的緊致性
2.8維數
第三章閉曲面的拓撲分類
3.1拓撲流形
3.2單純復形
3.3閉曲面的分類
3.4Euler示性數
3.5可定向性
3.6同調和Betti數
第四章基本群及其應用
4.1映射的同倫
4.2同倫等價
4.3關于群的常用知識
4.4基本群的定義
4.5連續映射誘導的基本群同態
4.6范疇和函子
4.7有限表出群
4.8VanKampen定理
4.9基本群的應用舉例
4.10Jordan曲線定理
第五章復迭空間
5.1群作用與軌道空間
5.2纖維化與復迭映射
5.3復迭空間的基本群
5.4泛復迭空間的存在性
5.5映射提升定理
5.6復迭變換
名詞索引
習題提示與解答
參考文獻
拓撲學的直觀認識
預備知識
集合論的公理系統
第一章拓撲空間與連續性
1.1拓撲空間
1.2拓撲空間中的一些基本概念
1.3集合的基數和可數集
1.4連續映射與同胚
1.5乘積空間
1.6子空間
1.7商映射與商空間
1.8商空間的更多例子
第二章常用點集拓撲性質
2.1可數公理
2.2分離公理
2.3Urysohn度量化定理
2.4連通性
2.5道路連通性
2.6緊致性
2.7度量空間中的緊致性
2.8維數
第三章閉曲面的拓撲分類
3.1拓撲流形
3.2單純復形
3.3閉曲面的分類
3.4Euler示性數
3.5可定向性
3.6同調和Betti數
第四章基本群及其應用
4.1映射的同倫
4.2同倫等價
4.3關于群的常用知識
4.4基本群的定義
4.5連續映射誘導的基本群同態
4.6范疇和函子
4.7有限表出群
4.8VanKampen定理
4.9基本群的應用舉例
4.10Jordan曲線定理
第五章復迭空間
5.1群作用與軌道空間
5.2纖維化與復迭映射
5.3復迭空間的基本群
5.4泛復迭空間的存在性
5.5映射提升定理
5.6復迭變換
名詞索引
習題提示與解答
參考文獻
書摘/試閱
值得一提的是，上圖中右側的示意圖雖然看上去更簡單一些，但卻是一個錯誤的切法，在該圖中，左上角和右下角的兩個三角形的頂點對應的是環面上完全相同的三個點，這會導致同一個抽象單形（A，B，C）被用來標記兩個不同的曲邊三角形，所以前面提到的那種構造曲面單純剖分的技術有兩個關鍵點要注意：一是要使得切出來的每一小塊拓撲上同胚于一個三角形（即圓盤），并且邊界恰好由三個頂點及三條連線（邊）構成；二是需要任何兩個這樣的小塊不能使用三個完全相同的頂點，當這兩條都被滿足時，整個切割方案就能用一個抽象單純復形K來記錄，使得對K進行幾何實現的時候，得到的多面體｜K｜與M同胚，定理3.2.2 任何緊致曲面都有二維有限單純剖分。
注意，我們雖然在上面直接打了個“已證完”的標記，但并不是說這個結論是“顯然的”，實際上，這個結論是Rado在1925年證明的，證明雖然只用到了很初等的拓撲技術，但是卻相當復雜，不過，這個證明與我們要講的主要內容關系不大，所以我們就不具體介紹了，大家只需要知道這個結論即可。
有了這個定理，我們便知道每個緊致曲面都是由有限個三角形粘合邊而得到的，而且邊應該配對粘合，如果把三個以上的三角形沿一個公共邊粘合，粘出來的肯定不是流形，我們將在講完基本群后再證明這一幾何直觀，現在暫時承認這一點，那么就可立刻得出下述推論。
推論3.2.1 任何緊致曲面都可以由有限多個三角形將一部分邊配對粘合而得到，而沒有配上對的邊以及它們的頂點粘合后得到的是該曲面的邊界，
這個定理的一維版本也是對的（參見習題），由此不難進一步證明，緊致（連通）曲線一定同胚于S1或者[0，1]。
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