數學思想10講（簡體書）

《數學思想10講》以數學史上曾經出現過的一些重要的初等問題為紅線，考察歐拉、高斯、柯西、希爾伯特等近代最重要的數學家在解決歐幾里得、丟番圖、費馬時代遺留下來的古典數學問題所采取的觀點、探索問題的過程以及最終解決問題的途徑和方法，解讀數學家解決問題的思想和方法。我們還探討數學推理的邏輯基礎，以大量例證說明雖然數學推理的形式是演繹的，但是直覺參與了數學推理的全過程，純粹而徹底的公理化的推理方式實際上是不存在的。希望《數學思想10講》所論述的觀點無論對大學數學課程教學，還是對中學數學課程教學都有一定的參考啟發作用。
《數學思想10講》可以作為大學數學專業選修課教材，也可以作為數學教育方向的研究生和研究者的參考書，還適合對數學有興趣的中學生和數學愛好者閱讀。

前言
第1講 希爾伯特第三問題：代數與幾何結合的典范
1.1 科學的任務
1.2 從勾股定理到面積剖分法
1.3 希爾伯特第三問題
1.4 Dehn不變量方法
參考文獻

第2講 整數中的若干定理
2.1 歐拉二平方和分解
2.2 拉格朗日四平方和定理
2.3 高斯三平方和定理
2.4 天衣無縫、難以置信
2.5 一個成功的小數推斷
參考文獻

第3講 完美的數系字宙：合成代數分類與Hurwitz定理
3.1 數系的核心：康托爾不可數定理
3.2 Frobenius定理：三元數系不存在
3.3 合成代數分類與Hurwitz定理
3.4 希爾伯特第17問題：正定函數表為平方和
3.5 幾何連續性與極限完備性等價
參考文獻

第4講 從圓錐曲線到射影幾何
4.1 圓錐曲線作為圓的中心射影
4.2 射影變換的基本性質
4.3 對偶原理與對偶定理
4.4 特例原理的進一步應用：笛沙格定理
4.5 調和分割與僅用直尺的作圖
參考文獻

第5講 處于交匯點的數學
5.1 歐拉多面體定理：作為三角形內角和定理的推廣
5.2 基本群與同倫型
5.3 單復形與同調群
5.4 閉曲面分類定理
5.5 幾何、代數與分析的交匯點
參考文獻

第6講 歐拉的數學直覺
6.1 級數求和中的直觀方法
6.2 歐拉“圓函數”公式
6.3 圓函數公式的應用：弱Dirichlet定理證明
6.4 費馬問題的歐拉方法
6.5 歐拉方法與高斯方法的對比
6.6 歐拉是我們所有人的老師，e是所有數的老師
參考文獻

第7講 幾何直觀
7.1 直覺本能：看出來的證明
7.2 劉徽的直觀構形
7.3 空問維數的應用
7.4 維度的區別：折紙實現的幾何作圖
7.5 e的無理性：兒何途徑
參考文獻

第8講 模式直觀在數學證明中的作用
8.1 代數推理中的模式直觀
8.2 形式符弓代數演算的認識淪價值
8.3 原始歸納與數字式證明
8.4 直覺推理與演繹推理
8.5 歸納思維與范疇擴充
參考文獻

第9講 幾何對稱與代數對稱
9.1 幾何圖形的對稱
9.2 方程根的對稱性
9.3 三、四次方程求解
9.4 高斯已經接近Galois群：17次單位根的代數表達
9.5 不可解方程
參考文獻

第10講 群與Goldbach猜想