複變函數與積分變換（簡體書）

本書將根據教育部“工科類數學基礎課程教學基本要求”的精神和原則，結合編者多年教學實踐與研究而編寫，內容符合“複變函數與積分變換”課程的教學基本要求。教材編寫力求結構嚴謹、邏輯清晰、深入淺出、重點突出、例題豐富、方便自學。突出應用性，使學生學會應用數學思想、概念和方法去處理工程實踐中的實際問題；尤其“用MATLAB進行複變函數與積分變換運算一章，體現了教材的現代化，加強數學實驗的教學與實踐，使讀者能夠熟悉MATLAB在複變函數與積分變換的基本使用方法。本書每章都有小結，有利於讀者全面把握教材內容和基本方法，也便於教學與自學。

目錄
前言
第1章複數與復變函數1
1.1 複數及其運算1
1.1.1 複數的基本概念1
1.1.2 複數的代數運算1
1.1.3 復平面2
1.1.4 複數的乘冪與方根5
1.2 复球面與區域10
1.2.1 复球面10
1.2.2 區域11
1.3 複變函數13
1.3.1 複變函數的概念13
1.3.2 映射14
1.3.3 複變函數的極限16
1.3.4 複變函數的連續性18
本章小結19
習題1 20
第2章解析函數23
2.1 解析函數的概念及充要條件23
2.1.1 複變函數的導數與微分23
2.1.2 解析函數的概念及性質25
2.1.3 函數解析的充要條件27
2.2 初等函數32
2.2.1 指數函數32
2.2.2 對數函數33
2.2.3 冪函數34
2.2.4 三角函數36
2.2.5 反三角函數39
2.2.6 雙曲函數與反雙曲函數39
本章小結40
習題2 42
第3章複變函數的積分44
3.1 複變函數積分的概念44
3.1.1 复積分的定義44
3.1.2 复積分存在的條件及計算45
3.1.3 复積分的性質48
3.2 複變函數積分的基本定理49
3.2.1 柯西古薩基本定理49
3.2.2 基本定理的推廣——複合閉路定理50
3.2.3 原函數與不定積分52
3.3 複變函數積分的基本公式56
3.3.1 柯西積分公式56
3.3.2 解析函數的高階導數公式57
3.4 解析函數與調和函數的關係60
3.4.1 調和函數的概念61
3.4.2 共軛調和函數61
3.4.3 解析函數與調和函數的關係62
本章小結64
習題3 66
第4章級數70
4.1 複數項級數與冪級數70
4.1.1 複數列的極限70
4.1.2 複數項級數的概念72
4.1.3 複數項級數的審斂法72
4.1.4 複變函數項級數的概念74
4.1.5 冪級數及其收斂圓76
4.1.6 冪級數的運算和性質80
4.2 泰勒級數82
4.2.1 泰勒展開定理82
4.2.2 函數展開成泰勒級數的方法84
4.3 洛朗級數87
4.3.1 雙邊冪級數的概念與性質88
4.3.2 洛朗展開定理89
4.3.3 函數展開成洛朗級數的方法92
本章小結96
習題4 100
第5章留數103
5.1 孤立奇點103
5.1.1 可去奇點103
5.1.2 極點104
5.1.3 本性奇點106
5.1.4 解析函數的零點與極點的關係106
5.1.5 函數在無窮遠點的性態108
5.2 留數110
5.2.1 留數概念及留數定理110
5.2.2 留數的計算規則113
5.2.3 在無窮遠點的留數115
5.3 留數在定積分計算中的應用119
5.3.1 形如R(cos0，sin O)d0積分119
5.3.2 形如R(x)dx的積分120
5.3.3 形如R(x)e。dx(a>0)的積分121
本章小結124
習題5128
第6章Fourier變換130
6.1 Fourier積分130
6.1.1 Fourier級數130
6.1.2 Fourier積分定理132
6.2 Fourier變換136
6.2.1 Fourier變換與Fourier逆變換的概念136
6.2.2 單位脈衝函數的概念與性質139
6.2.3 單位脈衝函數的Fourier變換143
6.3 Fourier變換的性質145
6.3.1 線性性質145
6.3.2 位移性質146
6.3.3 相似性質147
6.3.4 對稱性質148
6.3.5 微分性質148
6.3.6 積分性質149
6.3.7 Parserval等式151
6.4 卷積與卷積定理151
6.4.1 卷積的概念152
6.4.2 卷積定理155
6.5 Fourier變換的應用157
本章小結160
習題6 163
第7章Laplace變換166
7.1 Laplace變換的概念166
7.1.1 Laplace變換的定義166
7.1.2 Laplace變換的存在定理168
7.1.3 週期函數的Laplace變換171
7.2 Laplace變換的性質173
7.2.1 線性性質174
7.2.2 微分性質174
7.2.3 積分性質176
7.2.4 位移性質178
7.2.5 延遲性質178
7.2.6 相似性質181
7.2.7 *初值定理與終值定理182
7.3 卷積184
7.3.1 卷積的概念184
7.3.2 卷積定理185
7.4 Laplace逆變換188
7.4.1 反演積分公式188
7.4.2 利用留數計算反演積分189
7.5 Laplace變換的應用195
7.5.1 解線性常微分方程195
7.5.2 解積分微分方程199
7.5.3 解線性常微分方程組201
7.5.4 *解線性偏微分方程203
7.5.5 *線性系統的傳遞函數206
本章小結208
習題7 212
第8章Matlab在復變函數與積分變換中的應用215
8.1 Matlab編程基礎215
8.1.1 語句與變量215
8.1.2 向量與矩陣216
8.1.3 控制流和M文件216
8.2 Matlab在復變函數與積分變換中的應用218
8.2.1 複數與復矩陣的生成218
8.2.2 複數的運算219
8.2.3 留數220
8.2.4 複變函數的積分222
8.2.5 Fourier變換224
8.2.6 Laplace變換225
本章小結226
習題8 227
習題答案228
參考文獻239
附錄I Fourier變換簡表240
附錄II Laplace變換簡表243