常微分方程(第四版)（簡體書）

本書是《常微分方程》的新修訂本。考慮第三版出版逾十年，修訂本需適應科學技術和教育的發展變化。由於目前高等院校中“常微分方程”課程教學時數的減少，要突出重點、精簡教學內容。更多引導學生開闊視野。把一些補充知識及適合優秀學生學習的較難內容放在附錄中介紹。更增加了“數字資源”，形成“紙質教材+數字資源”的新形態教材。
《常微分方程（第四版）》介紹常微分方程的基礎理論和基本方法，包括一階常微分方程的初等解法，常微分方程的解的存在**性理論，高階線性微分方程和線性微分方程組理論，高階常係數線性微分方程和方程組求解方法，非線性常微分方程定性、穩定性和哈密爾頓系統，一階線性偏微分方程基本理論及邊值問題等。考慮到科學技術的迅猛發展，除傳統內容外，適當補充奇解、數值解、孤立子與混沌和李群分析方法作為選項，使常微分方程理論更為完整。
本書可作為綜合性大學和師範院校數學與應用數學專業，以及師範專科學校數學系常微分方程課程的教材和各高校數學模型課程的參考資料。

 

《常微分方程》從第一版到第四版經歷了漫長的40年。 1978年恢復高考後，急需一批高等院校專業教材，中山大學許淞慶教授接受了編寫《常微分方程》教材的任務。在許淞慶教授的主持下，以中山大學數學力學係原《常微分方程講義》為基礎，參考國內外一些同類教材，由王高雄、週之銘、朱思銘、王壽松四位當時的年輕教師分工編寫，王高雄統合，於1978年出版。
第二版由王高雄根據1980年審訂的“常微分方程教學大綱”和高等學校理科1981至1985年教材編寫規劃的要求進行修訂，充實了各章習題、增加了第7章，於1983年出版，1987年獲“國家教委高等學校優秀教材一等獎”。
第三版由朱思銘、王壽松、李艷會修訂，朱思銘主持。經全面修訂，以開放態度把常微分方程放在整個數學結構中考慮，並強調了數學模型、增加數學軟件介紹，於2006年出版，2007年被評為“普通高等教育精品教材”。
本書是第四版。考慮第三版出版逾十年，修訂本需適應科學技術和教育的發展變化。由於目前高等院校中“常微分方程”課程教學時數的減少，本次修訂的目標是突出重點、精簡教學內容，更多引導學生開闊視野。因此，我們把一些補充知識及適合優秀學生學習的較難內容放在附錄中介紹；增加了“數字資源”，形成“紙質教材+數字資源”的新形態教材。
第四版介紹常微分方程的基礎理論和基本方法，包括：一階常微分方程的初等解法，常微分方程的解的存在唯一性理論，高階線性微分方程和線性微分方程組理論，高階常係數線性微分方程和方程組求解方法，非線性常微分方程定性、穩定性和哈密頓系統，一階線性偏微分方程基本理論及邊值問題等。考慮到科學技術的迅猛發展，除傳統內容外，適當補充奇解、數值解、孤立子與混沌和李群分析方法作為選學內容，使常微分方程理論更為完整。
配合全國大學生數學建模競賽和全國研究生數學建模競賽的需要，並補充教材中例子的不足，我們在附錄A中除適當補充較複雜的模型外，還在“數字資源”中專門介紹了常微分方程的各類數學模型和數學建模競賽中的常微分方程模型，使各學科、各專業的同學都能從中藉鑑。
不論應用或研究，現在都離不開計算機。特別是近年出現了較成熟的開源數學軟件Sagemath（簡稱Sage）。我們在附錄C中介紹了新開源數學軟件Sage。關於數學軟件Mathematica，MATLAB，Maple和Sage在常微分方程中的應用及Sage的安裝使用則放在“數字資源”中。
《常微分方程》第四版由朱思銘、週之銘、李艷會修訂，朱思銘主持。週之銘負責第三、四、五章和附錄B，李艷會負責第一、二、七章和附錄C，朱思銘負責第六、八章和附錄A並統編全書；各章內容和附錄都經三人討論，數字資源也由三人按分工完成。
週之銘教授長期從事常微分方程的研究和數學教學工作，曾在美國多所大學任教；李艷會博士一直活躍在數學教學第一線，曾兼任廣東省工業與應用數學學會秘書長；朱思銘教授曾負責本科生和研究生數學建模競賽工作，2012年獲全國研究生數學建模競賽終身成就獎。這些閱歷為本書修訂帶來特色。
本書配套的數字資源學習方法請參閱數字課程說明頁。
本次修訂未經全體原編者審核，有關錯漏與問題由修訂者負責。

第一章 緒論
1．1 常微分方程模型
1．2 常微分方程基本概念和學習常微分方程的重要性
1．2．1 常微分方程基本概念
1．2．2 學習常微分方程的重要性
習題1．2
本章學習要點

第二章 一階微分方程的初等解法
2．1 變量分離方程與變量變換
2．1．1 變量分離方程
2．1．2 可化為變量分離方程的類型
2．1．3 應用舉例
習題2．1
2．2 線性微分方程與常數變易法
習題2．2
2．3 恰當微分方程與積分因子
2．3．1 恰當微分方程
2．3．2 積分因子
習題2．3
2．4 一階隱式微分方程與參數表示
2．4．1 可以解出y（或x）的方程
2．4．2 不顯含y（或x）的方程
習題2．4
本章學習要點
總練習

第三章 一階微分方程的解的存在定理
3．1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法
3．1．1 存在唯一性定理
3．1．2 近似計算和誤差估計
習題3．1
3．2 解的延拓和解對初值的連續性與可微性
3．2．1 解的延拓
3．2．2 解對初值的連續性與可微性
習題3．2
*3．3 奇解
3．3．1 包絡和奇解
3．3．2 克萊羅微分方程
習題3．3
*3．4 數值解
3．4．1 歐拉方法
3．4．2 龍格-庫塔方法
習題3．4
本章學習要點

第四章 高階微分方程
4．1 線性微分方程的一般理論
4．1．1 齊次線性微分方程的解的性質與結構
4．1．2 非齊次線性微分方程與常數變易法
習題4．1
4．2 常係數線性微分方程的解法
4．2．1 常係數齊次線性微分方程
4．2．2 非齊次線性微分方程與比較係數法
4．2．3 質點振動
習題4．2
4．3 高階微分方程的降階和冪級數解法
4．3．1 可降階的一些方程類型
4．3．2 二階線性微分方程的冪級數解法
*4．3．3 第二宇宙速度的計算
習題4．3
本章學習要點

第五章 線性微分方程組
5．1 線性微分方程組的一般理論
5．1．1 齊次線性微分方程組
5．1．2 非齊次線性微分方程組
習題5．1
5．2 常係數線性微分方程組
5．2．1 基解矩陣exp At
5．2．2 基解矩陣的計算公式
習題5．2
5．3 拉普拉斯變換
5．3．1 微分方程的拉普拉斯變換法
5．3．2 微分方程組的拉普拉斯變換法
習題5．3
本章學習要點

第六章 非線性微分方程
6．1 穩定性：李雅普諾夫穩定性與V函數
6．1．1 李雅普諾夫穩定性
6．1．2 按線性近似決定穩定性
6．1．3 y函數方法（李雅普諾夫第二方法）
習題6．1
6．2 定性：奇點、極限環及平面圖貌
6．2．1 奇點
6．2．2 極限環
6．2．3 平面圖貌
習題6．2
*6．3 哈密頓方程、孤立子和混沌
6．3．1 哈密頓方程與完全可積性
6．3．2 孤立子
6．3．3 洛倫茨方程
6．3．4 蟲口模型和李-約克混沌定理
習題6．3
本章學習要點

第七章 一階線性偏微分方程
7．1 首次積分和求解常微分方程組
7．1．1 基本概念
7．1．2 一階線性偏微分方程與常微分方程組的關係
7．1．3 利用首次積分求解常微分方程組
習題7．1
7．2 一階線性偏微分方程的解法
7．2．1 一階齊次線性偏微分方程
7．2．2 一階擬線性偏微分方程
習題7．2
7．3 柯西問題
7．3．1 一階線性（擬線性）偏微分方程幾何解釋
7．3．2 線性偏微分方程柯西問題
習題7．3
*7．4 李群分析與對稱
7．4．1 李變換群
7．4．2 對稱
習題7．4
本章學習要點

第八章 邊值問題
8．1 邊值問題的可解性和待定係數法
8．1．1 邊值問題的概念和可解性
8．1．2 待定係數法
習題8．1
8．2 格林函數
習題8．2
8．3 本徵值和本徵函數
8．3．1 本徵值和本徵函數
8．3．2 自伴的本徵值問題
習題8．3
本章學習要點

附錄A 常微分方程模型
A1 常微分方程模型
A2 平面圖貌
附錄B 相關知識與補充說明
B1 雅可比矩陣與函數相關性
B2 解對初值的連續性和可微性
B3 常微分方程組解的存在唯一性
附錄C數學軟件在常微分方程中的應用
C1 計算機數學軟件
C2 常微分方程計算機輔助分析計算
C3 開源數學軟件Sagemath
索引
常微分方程發展和分支
部分習題答案與提示
參考文獻