高等數學‧上冊(微課版)（簡體書）

"高等數學"教材的內容包括函數、極限與連續、導數與微分、中值定理與導數的應用、不定積分，定積分及定積分的應用、常微分方程、向量代數與空間解析幾何、多元函數的微分法及其應用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數等部分。該教材基於學生的初等數學基礎，由淺入深地引入高等數學的理念、思想和方法，充分闡述所涉及的基本概念和基本定理,通過例題的細致講解和所安排的分層次練習題,提高學生學習高等數學的興趣和應用高等數學知識解決相關問題的意識和能力。

袁學剛,博士,大連民族大學教授，優秀學術帶頭人，大連理工大學兼職博士生導師。曾入選教育部新世紀優秀人才支持計劃、遼寧省高等學校優秀人才支持計劃、大連市第六批優秀專家、國家民委中青年英才培養計劃。主持並完成2項國家自然科學基金項目

一本可以邊看視頻邊學習教材內容的立體化高等數學教材

本書的前身是2017年出版的《高等數學》（上、下冊）。經過幾年的教學實踐，編寫組於2021年對原教材進行了全面修訂，在內容及表現形式上做了一定的調整。
本書以教育部高等學校大學數學課程教學指導分委員會制定的《工科類本科數學基礎課程教學基本要求》為依據，在知識點的覆蓋面與“基本要求”相一致的基礎上，對課程內容體系進行了整體優化，強化了高等數學與後續專業課程的聯繫，使之更側重於培養學生的基礎能力和應用能力，以適應培養應用型、復合型本科人才的培養目標。
本書的主要讀者物件是高等院校中理工類各專業的學生、復習考研的學生及自學高等數學的人員。學習高等數學的重要意義不僅在於學習數學知識的本身，而且在於培養並提高分析、歸納、推理、判斷等方面的能力，更在於服務後續的專業課程。對於大一新生而言，如何在短時間內完成從初等數學到高等數學的全方位跨越刻不容緩； 對於任課教師而言，如何引導學生順利地學習並用好高等數學課程中的各種“規則”勢在必行，從而完美解決教與學的相合度問題。與傳統教材相比，本書的理念及特色主要體現在以下幾方面： 

1. 在知識體系的編排上，突出基礎的重要地位。對教材的內容進行了適當的優化和調整，使得課程內容的布局更加合理。例如，在傳統教材中，函數、數列極限是幾乎被忽略的內容，只用很少的篇幅進行介紹，並且在授課時也只是泛泛講解，這對學生學習高等數學是非常不利的。一方面，函數是微積分的研究物件，數列極限可以較好地幫助讀者認識和理解極限的概念，淡化了這些基礎內容，不利於學生完成從初等數學到高等數學的思維方式跨越； 另一方面，學生從高考結束到進入大學學習，空閑了至少兩個月的時間，淡化了這些內容，對學生學習後續的內容影響很大。
2. 在課程內容的編寫上，注重知識點的使用方法和技巧。學好高等數學的要素是學習並用好“規則”，這些“規則”包括： 教材內容涵蓋的定義、性質、定理、推論及一些重要的結論等。為此，在給出重要的“規則”時，對其進行必要的說明，指出在使用這些“規則”解決相關問題時的誤區，列舉了一些典型反例； 對典型例題進行先分析提示，再引導求解，逐步使學生在學習“規則”時，能夠正確理解並合理使用這些“規則”，做題時有理可依、有據可查。
3. 在例題、習題的選配方面，注重不同層次和類別。為了滿足不同專業、不同層次學生的需求，將例題分為三個層次。層次注重的是基本“規則”，使學生能夠正確合理使用這些“規則”解決一些基本問題； 第二層次注重的是方法和技巧，使學生能夠靈活運用這些“規則”解決一些相對複雜的問題，培養學生的邏輯推理和計算能力； 第三層次注重的是應用，使學生能夠綜合運用所學的“規則”解決一些較為困難的問題，從而提高學生的數學素質。將課後習題分為A和B兩類，學生通過學習、第二層次的例題便可以解決A類題中的內容，而B類題的內容相對複雜，求解較為困難，主要是為了滿足部分專業和部分考研學生對高等數學的實際需求。
4. 在電子課件的製作方面，注重動畫演示過程的精準展現。課程組經過多年的教學實踐，設計了課件的框架和規範，進而研制了與教材內容相對應的電子課件。針對目前電子課件資源普遍存在的問題，課程組在知識構架、頁面布局、內容銜接、動畫演示等方面進行了整體設計。研制的電子課件便於任課教師在備課時根據自身特點和授課物件進行必要的修改和增減。需要說明的是，本課件在研制過程中參考並借鑒了中國礦業大學李安昌教授、曹瓔珞教授研制的課件《高等數學》（同濟第六版）中的一些理念、方法和內容，在此表示感謝！
5. 在信息手段的利用方面，注重在線線下教與學的有機統一。本書作為高等數學立體化教材的主教材，為了在信息時代充分利用好在線線下的資源，課程組在研制的電子課件基礎上，抽選了課程的各個知識要點、典型例題和各章的復習題，精心錄制了相關視頻，並在教材的相應位置提供了二維碼鏈接，讀者可以通過手機或平板計算機等移動端掃描二維碼進行學習。這種做法的好處在於，便於學生有針對性地進行預習、學習和復習，符合碎片化、傾向性學習的需求，實現了課前預習、課上聽講、課後復習的一條龍學習模式。特別地，每個視頻的後部分都配備了相應的思考與練習，既有課外習題的延伸講解，又留有相應的課後練習。
本書在編寫和改版過程中，各位參與編寫的教師齊心協力，不僅重新修訂了各自編寫的章節，還對全書的統稿和定稿建言獻策，並進行了認真審閱，順利完成了預期任務。其中，黃永東承擔本書的主審工作； 袁學剛和張文正負責全書的統稿、改版及定稿； 董麗編寫四章，焦佳編寫三章，張文正編寫三章，謝叢波編寫兩章，楚振艷編寫一章，趙巍編寫一章。袁學剛、張文正、趙巍、馬威和牛大田負責各知識點視頻的錄制和校對； 袁學剛、呂娜、張文正負責本書配套課件的研制和修訂。特別地，馬威在錄制上冊章的視頻（函數部分）過程中，添加了許多函數的應用背景，並進行了生動的配音講解，為相關視頻增色很多。
本書的順利出版，離不開大連民族大學各級領導的關心和支持，在此表示感謝。幾年來，清華大學出版社劉穎編審為本書的出版及修訂做了大量的工作，在此表示感謝！同時，也向那些曾經給本書提過寶貴意見的專家與讀者們表示感謝！

編者2021年2月4日

第1章函數
1.1基本概念
1.1.1集合、區間、值和鄰域
1.1.2函數的定義
1.1.3具有某種特性的函數 
1.1.4函數的四則運算、復合函數和反函數
習題1.1
1.2初等函數
1.2.1基本初等函數
1.2.2初等函數的定義及其範例
習題1.2
1.3函數關係的幾種表示方法
1.3.1函數的分段表示
1.3.2函數的隱式表示
1.3.3函數的參數表示
1.3.4函數的極坐標表示
習題1.3
復習題1
第2章數列及其極限
2.1數列的極限
2.1.1數列
2.1.2收斂數列
2.1.3數列和子數列之間的關係
2.1.4數列中的無窮小量和無窮大量
2.1.5數列極限的基本性質
習題2.1
2.2數列極限的運算法則
2.2.1四則運算法則
2.2.2夾逼準則
2.2.3單調有界原理和一個重要的極限
習題2.2
復習題2
第3章函數的極限與連續
3.1函數的極限
3.1.1函數極限的定義
3.1.2無窮小量和無窮大量
習題3.1
3.2函數極限的性質和運算法則
3.2.1函數極限的基本性質
3.2.2函數極限的運算法則
3.2.3夾逼準則和兩個重要的極限
習題3.2
3.3無窮小量的比較
3.3.1無窮小量的階
3.3.2等價無窮小的替換原理
習題3.3
3.4連續函數
3.4.1連續函數的定義
3.4.2函數的間斷點
習題3.4
3.5連續函數的運算和性質
3.5.1連續函數的運算
3.5.2初等函數的連續性
3.5.3閉區間上連續函數的性質
習題3.5
復習題3
第4章導數與微分
4.1基本概念
4.1.1兩個典型問題
4.1.2導數的定義
4.1.3導數的幾何解釋
4.1.4可導與連續的關係
習題4.1
4.2導數的運算法則
4.2.1導數的四則運算法則
4.2.2反函數的導數
4.2.3復合函數的導數
4.2.4初等函數的導數
習題4.2
4.3高階導數
4.3.1高階導數的定義
4.3.2高階導數的運算法則
習題4.3
4.4隱函數的導數
4.4.1由一個方程確定的隱函數的導數
4.4.2由參數方程確定的函數的導數
習題4.4
4.5函數的微分
4.5.1引例
4.5.2微分的定義
4.5.3微分的幾何解釋
4.5.4微分的運算法則和公式
4.5.5微分在近似計算中的應用
習題4.5
復習題4
第5章微分中值定理及導數的應用
5.1微分中值定理
5.1.1羅爾定理
5.1.2拉格朗日中值定理
5.1.3柯西中值定理
習題5.1
5.2洛必達法則
5.2.100型未定式的極限
5.2.2∞∞型未定式的極限
5.2.3其他未定式的極限
習題5.2
5.3泰勒公式
5.3.1泰勒定理
5.3.2泰勒公式的應用
習題5.3
5.4函數的性態(Ⅰ)——單調性與凸性
5.4.1函數的單調性
5.4.2函數的凸性及其拐點
習題5.4
5.5函數的性態(Ⅱ)——極值與值
5.5.1函數的極值
5.5.2值與小值
5.5.3應用舉例
習題5.5
5.6函數圖形的描繪
5.6.1曲線的漸近線
5.6.2函數的性態表與作圖
習題5.6
5.7曲率
5.7.1弧微分
5.7.2曲率及其計算公式
5.7.3曲率圓與曲率半徑
習題5.7
復習題5
第6章不定積分
6.1基本概念及性質
6.1.1原函數
6.1.2不定積分的定義
6.1.3不定積分的幾何解釋
6.1.4基本積分公式
6.1.5不定積分的性質
習題6.1
6.2換元積分法
6.2.1類換元積分法
6.2.2第二類換元積分法
習題6.2
6.3分部積分法
習題6.3
6.4有理函數的積分及其應用
6.4.1有理函數的積分
6.4.2簡單的無理函數的積分
6.4.3三角函數有理式的積分
習題6.4
復習題6
第7章定積分及其應用
7.1定積分的概念
7.1.1引例
7.1.2定積分的定義
7.1.3定積分的幾何解釋
習題7.1
7.2定積分的存在條件及其性質
7.2.1定積分的存在條件
7.2.2定積分的性質
習題7.2
7.3微積分基本公式
7.3.1積分上限的函數及其導數
7.3.2牛頓萊布尼茨公式
習題7.3
7.4換元積分法和分部積分法
7.4.1定積分的換元積分法
7.4.2定積分的分部積分法
習題7.4
7.5反常積分
7.5.1無窮區間上的反常積分
7.5.2無界函數的反常積分
習題7.5
7.6定積分的應用（Ⅰ）——幾何應用
7.6.1定積分的微元法
7.6.2平面圖形的面積
7.6.3旋轉體的體積
7.6.4平行截面面積為已知的立體的體積
7.6.5平面曲線的弧長
習題7.6
7.7定積分的應用（Ⅱ）——物理應用
7.7.1質量和質心
7.7.2外力做功
7.7.3液體壓力
7.7.4引力
習題7.7
復習題7
第8章常微分方程
8.1微分方程的基本概念
8.1.1引例
8.1.2基本概念
習題8.1
8.2常微分方程的初等積分法(Ⅰ)
8.2.1可分離變量的方程
8.2.2一階線性微分方程
8.2.3伯努利方程
習題8.2
8.3常微分方程的初等積分法(Ⅱ)
8.3.1齊次方程
8.3.2可降階的二階微分方程
8.3.3其他類型的常微分方程
習題8.3
8.4高階線性微分方程
8.4.1二階線性微分方程解的性質
8.4.2二階線性微分方程的通解
習題8.4
8.5高階常系數線性微分方程
8.5.1高階常系數齊次線性微分方程的解法
8.5.2高階常系數非齊次線性微分方程的解法
8.5.3歐拉方程及其解法
習題8.5
8.6微分方程的應用舉例
復習題8
習題答案及提示