數學分析學習指導(上)（簡體書）

目錄
前言
第1章 實數 1
1.1 實數集的公理系統及它的某些一般性質 1
1.2 重要的實數類 1
1.3 與實數集的完備性有關的等價引理 12
1.4 可數集與連續統 12
第2章 極限 22
2.1 序列的極限 22
2.2 函數的極限 50
第3章 連續函數 73
3.1 基本定義和例子 73
3.2 連續函數的性質 77
第4章 微分學 101
4.1 可微函數 101
4.2 微分的基本法則 107
4.3 微分學的基本定理 121
4.4 用微分學的方法研究函數 139
4.5 復數初等函數彼此間的聯系 169
4.6 自然科學中應用微分學的一些例子 169
第5章 積分學 190
5.1 原函數與不定積分 190
5.2 定積分 214
5.2.1 積分定義和可積函數集的描述 214
5.2.2 積分的性質 214
5.2.3 積分和導數 230
5.2.4 定積分的一些應用 246
5.2.5 反常積分 253
第6章 拓撲空間及映射的極限與連續性 268
6.1 拓撲空間 268
6.2 拓撲空間的連續映射 287
第7章 多變量函數微分學 309
7.1 多變量函數的微分 309
7.2 微分法的基本定律 309
7.3 多變量實值函數微分學的基本事實 318
7.4 隱函數定理 333
7.5 隱函數定理的一些推論 333
7.6 Rn中的曲面和條件極值理論 353
第8章 重積分 364
8.1 n維區間上的黎曼積分 364
8.2 集合上的積分 364
8.3 積分的一般性質 374
8.4 化重積分為累次積分 374
8.5 重積分中的變量替換 388
8.6 反常重積分 397
第9章 流形(曲面)及微分形式 411
9.1 線性代數準備知識 411
9.2 流形 419
9.3 流形上的微分形式 443
第10章 流形(曲面)上微分形式的積分 454
10.1 微分形式在流形上的積分 454
10.2 曲線積分與曲面積分 454
10.3 流形上的閉形式與恰當形式 481
第11章 向量分析與場論初步 489
11.1 向量分析的微分運算 489
11.2 場論的積分公式 504
11.3 勢場 514
11.4 應用例子 514

第1章 實數
1.1 實數集的公理系統及它的某些一般性質
&
1.2 重要的實數類
一、知識點總結與補充
1.與確界相關的基本概念
(1)集合的上確界(最小上界)
(2)集合的下確界(最大下界)
(3)函數的上確界(值域的上確界)sup
(4)函數的下確界(值域的下確界)inf
2.完備(連續)公理
如果X與Y是R的非空子集，且具有性質:有，則，使對有.
3.確界原理
實數集的任何非空有上界(下界)的子集有唯一的上確界(下確界).
注利用完備(連續)公理可證明確界原理.
4.數學歸納原理
如果E是自然數集N的子集，並且當時，x+1也屬於E，那麼E=N.用符號表示為.
5.算術基本定理
每個自然數能唯一地不計因數順序的區別表示成乘積的形式
n=p1 pk，
其中p1， ，pk都是素數.
6.阿基米德原理
如果h是任意一個固定的正數，那麼對於任何實數x，必能找到唯一的整數k，使得.
7.有理數和無理數的稠密性
有理數集Q和無理數集均在R中稠密.
8.實數集的位置記數法引理
如果固定實數q＞1，那麼，對於任何正數x2R，必有唯一的整數，使得.
二、例題講解
1.對於定義在集合D R上的函數f(x)和g(x)，證明:
(1)
(2)
證 這裡只給出(1)的證明，(2)的證明是類似的.
先證(1)的第一個不等式.首先，由下確界的定義，顯然有
因此
再次由下確界的定義，可知
再證(1)的第二個不等式.由上、下確界的定義易見
這蘊含著
再由下確界的定義即得
移項即得所要證的不等式.
注 容易給出(1)和(2)中不等式取嚴格不等號的例子，此處從略.
2.設函數f(x)於集合上有界，記.
證明:
證 由上、下確界的定義可知，使得.且.若M=m，結論顯然成立.若，則當時，又顯然.再結合式，由上確界的定義即
得結論.
3.給出和的表達式.
解 容易驗證
和
此外，也可以通過解如下方程組求得
注 (幾何意義)為a和b的中點，為兩點距離的一半.
4.函數(u=u(x))的正部與負部定義如下:
正部
負部
因此我們有如下的分解:
函數的分解.
絕對值的分解.
5.設為一個無限集，常數a＞0.如果且，都有成立.證明:數集A是無界集.
證 反證法.假設A是有界集，則，使得.取自然數n使得.將閉區間分成2n等份，得到2n個閉區間.因為A是無限集，所以在上面的2n個閉區間中至少有一個閉區間包含了A中兩個不同的元素a1，a2，此時，矛盾.
6.(無理數的稠密性)證明:設，則，使得.
證1 由和有理數在R中的稠密性，可知，使得，所以.顯然，所以取即可.
證2 由和有理數在R中的稠密性，可知，使得，所以.若，則，則取即可.若，則.同樣由有理數的稠密性易知，使得，所以.顯然，則取即可.
三、習題參考解答(1.2節)
1.依據歸納原理證明:
(1)當且時，同時只有n=1或x=0時等號成立(伯努利不等式).
(2).
證 (1)當n=1或x=0時等號顯然成立.往證.
當n=1時，
因此.設，則.
故，因此據歸納原理可知E=N.至此，伯努利不等式得證.
(2)牛頓二項式可改寫為
這裡是二項式系數.往證.
顯然.設，則
這裡利用了如下公式:當k=1，2， ，n時，故，因此據歸納原理可知E=N.至此，牛頓二項式得證.
2.設S為非空有下界數集.證明:
證 先證，所以.
再證，所以，所以ξ為下界.對S的任何下界m，由定義.又因為，所以也有，故ξ為最大下界，即.
3.設-A是形如-a的數的集合，這裡，試證.
證 由下確界的定義，使得，所以.又顯然，所以，故由上確界的定義可知.
4.設A+B是形如a+b的數的集合，A B是形如a b的數的集合，其中.試檢查是否總有
(1)sup(A+B)=supA+supB.
(2)sup(A B)=supA supB.
解 (1)顯然，所以，故.另一方面，使得.所以.顯然，因此由上確界的定義可知sup(A+B)=supA+supB.
另外一種證明:首先，容易看出.事實上，對於任意的，則z=a+b，其中，顯然.
因此，這就證明了sup(A+B).supA+supB.如果sup(A+B) 因此，這與矛盾.因此，我們得到sup(A+B)=supA+supB.