抽象代數（簡體書）

本書是“抽象代數”課本, 力求淺易簡明, 便於入門. 前4章內容基本, 淺顯簡潔.後面部分及附錄,內容漸豐. 全書涵蓋較廣, 包含: 群論基礎, 子群與商群,群作用於集合, 環論基礎, 多項式與**析因環, 域論基礎, 伽羅華理論和模等選學參考內容.有較多例題, 習題, 附有習題解答和提示. 本書是基於作者長期科研和在多所大學的教學講課稿, 參閱大量文獻寫就. 融入心得感悟.前身講義曾在清華,中科大, 南科大, 哈工大(深圳)使用.適於做高校本科生或研究生教材,也適合自學或參考.

張賢科, 清華大學教授, 博士生導師.研究方向:代數數論. 曾獲"國家自然科學獎",國家"做出突出貢獻的中國博士學位獲得者"獎.本科畢業於中國科學技術大學,後在該校取得理學博士學位. 在中國科大長期任教.1993年調到清華大學. 在國內外發表研究論文80多篇. 著書有: 《代數數論導引》(第二版),高等教育出版社, 《高等代數學》(版、第二版),《高等代數解題方法》(版、第二版), 清華大學出版社, 此書被清華數學系學生稱為"鎮系之寶",廣受喜愛, 《古希臘名題與現代數學》,科學出版社.

基於多年的授課經驗而編寫的從基礎到前沿的抽象代數教材.

本書是“抽象代數”(也稱“近世代數”)課程的教材,前半部分力求淺易具體、清楚易懂，詳細講解基本的標準內容，引導讀者進入抽象殿堂.後半部分內容漸進豐厚、涵蓋較廣、視角較新.
內容包含群、環、域的完整講解，同態、同構、商群、商環、理想、多項式、域的擴張和嵌入等，也包含群作用於集合、西羅定理、析因整環、主理想整環、伽羅瓦理論和應用(方程根式解和標尺作圖等)、有限域及其上多項式等較深入的內容.後部分還介紹了模與正合序列、代數整數環、坐標環和諾特環、群的半直積等，可作選讀參考.配有較多例題、習題，附有解答和提示，還加上3個附錄.本科生或初學者可略去帶*號等後部分內容.
作者長期在清華大學、中國科學技術大學、南方科技大學作代數方面的教學和研究工作.在清華尖子生“學堂班(基礎科學班)”“錢學森班”和數學系長期主講“抽象代數”課程.
此教材是基於長期科研和教學實踐，反復完善授課講稿，參閱文獻，多年積累寫成，融入了不少心得感悟.講解力求清楚明白,具有透視性，科學準確並採用較新視角，避免不必要的過分形式化和臃腫、煩瑣.旨在引導讀者較快掌握本課的實質.
本書可作為本科生和研究生的教材，適用於數學、理工科、自動化與人工智能、信息通信、編碼和密碼學、計算機網絡等領域的學生、學者、科技人員學習或參考.第1、2、4章為基本內容，其余內容可根據教學需求和學時情況取舍調整.
抽象代數是重要的數學分支之一.按照布爾巴基(N.Bourbaki)學派的結構主義，全部數學是基於代數、順序、拓撲這三種母結構,三者分化組合生發出來的.代數學衍生融合出眾多現代數學分支，許多是菲爾茲等大獎的重要獲獎領域，例如代數數論、代數幾何、交換代數、表示論、同調代數、代數拓撲、模形式、李群、李代數、範疇論，等等，都蓬勃興旺.隨著數字化時代的到來，信息處理、信息安全加密、代數編碼、人工智能發展迅猛，代數學在其中起到理論核心作用,是創新的靈魂，應用日益深入廣泛.
抽象代數的突出特點是“抽象”，它討論的是“代數結構”(algebraical structures)，而不是數字或具體器物.“今天的數學主要關心的是結構以及結構之間的關係，而不是數之間的關係.這種情況初發生在1800年左右，首次的突破是抽象群概念的引入.目前它在數學領域中已經無所不在.” (塞爾伯格(A.Selberg)語).在抽象代數的產生和發展中，問題和實例起到重要作用. 尋求五次以上一元多項式方程的求解公式的驚心歷程，導致發現 “群” 以描述方程根的對稱性(伽羅瓦的思想困惑了數學界1830年左右).對二次型、高次互反律、費馬大定理的研究，產生了“環”和“理想”的概念(庫默爾的理想數震驚了巴黎，1847).近世代數思潮的興起，一掃兩千年迷霧，古希臘的歷史難題一時紛紛瓦解冰消.
發展到19—20世紀之交,抽象思潮引起數學巨變.數學家不再滿足於研究具體物件的性質，而是要建立一般理論.各種數學結構和分類問題成為潮流.這種潮流在整個數學領域出現，代數學是引領者.通過基本運算和公理，形式地定義出許多代數結構，抽象的群論、環論、域論橫空出世 (施泰尼茨的域論，希爾伯特，阿廷，諾特的環論，斐波那契，舒爾的群表示論等).1900年前後這半個世紀的輝煌建樹，在1930—1931年被範德瓦爾登出版的《近世代數》兩卷系統地總結，“代數”一詞的含意從此永遠改變，數學的含意也從此改變了. 此後，代數學及其融合的諸多學科都飛速發展.當初的高次互反律期望落實為類域論的優美理論，300多年對費馬大定理的不懈追求終成正果.同時，又生發出郎蘭茲猜想等新的夢想，也帶給人類諸如橢圓曲線算法等強大的高科技能力.
歷史緣由和現實經驗告訴我們，代數的“理論抽象性”是必須學習的——這正是代數的“威力”和“精華”所在，正是代數的“獨特性”“優越性”.代數為有志青年提供了大好用武之地，發展之基.既使是不打算做理論工作的同學,趁年輕多學習一些抽象理論也是好的.事實上,代數沒有傳說的那樣難學，它只是初學不習慣而已，“回頭看”多了就親切了.理論和實例交錯，理解和記憶融合，反復多次，就能建立起直觀認知，抽象就變得具體而且自然了.進一步，好選擇一個代數相關專業踏實學下去，更能深入真切.因為抽象代數現在是多個學科方向的共同基礎課，內容難免龐雜，側面較多,“絕知此事要躬行”.
總之，教書和讀書都要用心.用心久了，歲月和實踐會有回報.在這一點上，教學和科研有些像農林業，種下桃樹精心培養定會果實累累； 而不太像工業製造業，人工合成桃子很難而且無味.校園裡看到“香蕉開花一條心”很有感觸，“志者心之所之也”.有《香蕉開花贊》一首贈給有心志的青年:

四月芭蕉捧赤心,
紫霞丹玉獻青君.
流光結下黃金果,
蠟卷貝葉隱詩痕.

張賢科

2021年2月12日於清華園

第1章群論基礎

1.1數與映射

1.2整數分解

1.3同余與同余類

1.4群與例

1.5非阿貝爾群例

1.5.1置換群

1.5.2可逆方陣群

1.6群的簡單性質

1.7二面體群，四元數群

1.8同態與同構

1.9直和

1.10平移與共軛
第2章商群與同構

2.1子群

2.2陪集

2.3正規子群與商群

2.4同構定理

2.5子群與乘積

2.6置換群與不可解

2.7孫子定理

2.8阿貝爾群的分解
第3章群作用於集合

3.1群對集合的作用

3.2平移和共軛作用

3.3p群

3.4西羅子群

3.5群的結構

*3.6小階群簡表

*3.7自由群，群的表現
第4章環論基礎

4.1環的定義和例子

4.2理想

4.3商環與同態

4.4素理想與極大理想

4.5特徵與分式域

4.5.1特徵的另一討論方法

4.5.2分式域(商域)

4.5.3分式環和局部化

4.6中國剩餘定理
第5章多項式與重要環

5.1多項式的根與重根

5.2整系數多項式環Z［X］

5.3對稱多項式

5.4主理想整環是析因整環

5.5歐幾裡得整環和析因整環

*5.6整數環與戴德金環

*5.7代數集與諾特環

*5.8希爾伯特零點定理
第6章域論基礎

6.1子域和擴張

6.2域的復合

6.3嵌入

6.4代數封閉域

6.5分裂域與正規擴張
第7章伽羅瓦理論

7.1伽羅瓦基本理論

7.2伽羅瓦群實例

7.3方程根式解

7.4無根式解方程

7.5標尺作圖

7.6有限域
第8章模與序列

8.1模的簡單性質

8.2同態與同構

8.3主理想整環上的有限生成模

8.4模的張量積

8.5模的正合序列

8.6Hom函子等

8.6.1Hom(D,_)與投射模

8.6.2Hom(_,D)與單射模

8.6.3張量函子和平坦模
附錄A集合與映射

A.1概念與符號

A.2偏序集與佐恩引理

A.3無限集與基數
附錄B群的半直積
附錄C若干群的結構
部分習題解答與提示
參考文獻
名詞索引(音序)
作者綴語