作者認為，悲傷有兩種意思。首先，悲傷是對永久失去的反應：它是不可逆轉、帶有情感重量，且是超凡的；此外，悲傷是自我相似：譬如，喪母之痛包含許多「比較輕微」的悲傷，因為再也不能促膝長談，或一起用餐、散步。然而，每一個微小悲傷都是對失去母親的反應之縮影，可以當成尋找有效投射的實驗室。向外在投射，悲傷就有可能指向可以助人的舉動。

在這本意義深遠且充滿希望的書中，作者為讀者陳述幾何學如何幫助我們理解與應對悲傷，即使你是排斥數學的人，也能理解書裡淺顯易懂的敘述。作者在書中穿插了原創插圖、對基礎幾何學的清晰介紹，以及從他自己人生中汲取的智慧，是穿越數學與美麗人生之旅。藉著人類純善的心靈與幾何學的優雅，本書幫助讀者了解，我們可以如何放膽大步前行，勇敢面對未知的崎嶇道路。

作者簡介

作者簡介
麥可・法瑞姆（Michael Frame）
耶魯大學數學系教授，2016年退休。
譯者簡介
畢馨云
清華大學數學系畢業，曾任科普書編輯十餘年，現為自由譯者及業餘交響樂團團員。譯有《生而為人的13堂數學課》、《翻轉微積分的28堂課》、《幫孩子找到自信的成長型數學思維》、《數學是最好的人生指南》等書。

名人/編輯推薦

洪萬生國立臺灣師範大學數學系退休教授
蘇益賢臨床心理師
蘇絢慧諮商心理師／璞成健康心理學堂創辦人

書摘/試閱

「找找天上最亮的那顆。」
「在樹的旁邊，大概45度角嗎？是那顆嗎，露西？」
「對，那就是金星。它是行星，是一顆星球，幾乎和地球一樣大，而且始終很多雲。還沒有人看過金星表面。」
「如果金星一直有很多雲，那邊就一定很冷。」
「不一定。金星比地球更靠近太陽，也許那些雲層在高溫下還持續存在，那裡就非常熱。」
「那我懂了。今天晚上天空清朗無雲，所以會比多雲的時候涼爽。」
「你說對了，米奇。現在想進屋裡嗎？」
「天上還有其他行星嗎？」
「今天晚上看不到。」
「我們能不能待在外面看螢火蟲？」
「當然可以呀。」
那是1958年夏天的某個深夜。深紫偏靛藍色的天空中閃現著幾顆小星星，還有一個明亮得多的光點，金星。我們在西維吉尼亞州的南查爾斯頓（South Charleston），在我的祖母和露西姑姑的家裡共進晚餐。我七歲，我妹妹琳達四歲，我們的弟弟史蒂夫兩歲。只有我和露西在後院，其他人都在前廊，媽媽說我們是來「探望」。我們住在西維吉尼亞州的聖奧班斯（St. Albans），離這裡差不多只有十三公里，所以常來看看我的祖母和露西。只是我不懂為什麼成年人要探望。他們會談些什麼？他們只是講講鄰居和其他親屬的閒話。
我和露西不一樣。那天下午我們坐在自家的菜園裡，看著意志堅決的螞蟻大軍和亂跳的蚱蜢出神。我建構出詳盡的自然史來解釋牠們的行為；露西提出了簡單得多的其他解釋。她從來不用「奧坎剃刀」一詞，但已經開始教我簡單解釋之美。還有省時省力的可能性：魯布哥德堡機械（Rube Goldberg machine）有很多可能會故障的點──魯布哥德堡機械是個複雜的古怪裝置，占滿整個房間，但執行像打蛋這麼簡單的任務。也許我的複雜途徑是很好的心理演練，但我真的認為大自然那麼愚蠢嗎？多年後，我明白是露西讓我走上科學家這條路。她認為好奇心是最重要的特質；孩子的好奇心，在解釋廣闊天地面貌和動態時的彎彎曲曲推理，是成年人所能看到的最美好事物。爸媽、祖父母、其他的叔叔姑姑都鼓勵好奇心，但露西是在培養好奇心，混入一點懷疑論，而且總是會找一本和時下議題有關的書給我讀。露西讓我走上了六十年後寫出這個故事的路。
小學時討論到未來的志願，我的同學不是想當警察、消防員，就是公園管理員（太空人在當時並不是職業──對，我是老一輩的人），我卻恰恰相反，想當物理學家、數學家或天文學家。但實際上，那個年齡的孩子個個是自然觀察家。夏天早上在住家附近的樹林中，可以不斷看到自然奇觀。童年的樂觀態度是無止境的。我父母的經濟能力儘管有限，仍能給我機會嘗試創意探索。為了測量熱電偶（把銅線和鋼絲繞在一起，可將熱轉換成微弱的電流）的輸出，另外一個學生的父親買了一個昂貴的多用電表，而我做了一個檢流計：把兩根磁化的針，穿過用線懸掛在線圈中的小長方形厚紙板。誰會在測出微小電流的時候得到更多樂趣？
露西並沒有幫我設計實驗，是爸爸做的，而且還讓我在他的工作室角落弄了一個小小實驗室；但露西促使我發覺自己可以做實驗，解答我自己的一些問題。
在我十一歲、快十二歲的時候，露西生病了。何杰金氏淋巴瘤（Hodgkin’s lymphoma），這種疾病現在是可以治癒的，但在1960年代初期不是。我相信她接受了化療藥物Mustargen的治療，但在痛苦中只多活幾個月，在我滿十二歲不久時就去世了。露西生病時我去看望她，但做不了什麼事。我站在她床邊，把小手放在她的前臂上，我想要和她說話，但想不出要說什麼。探望之後回到家，媽媽擁抱我，摸著我的頭髮。我知道我應該和露西多講講話，她為我做了這麼多，現在她需要我，她需要我和她講講話，因為我是她特別疼愛的人。後來我知道媽媽是在撫平自己的悲傷。她對情況了解得比我多得多，知道這種疾病會獲勝，露西會戰敗。爸爸開始和我談他妹妹的病痛，他很坦誠：露西快死了。我很感激他說出實情，而不是胡扯露西要離家一陣子，或是要去和天使一起住了──這種說法更糟糕。她的生命會走到盡頭，而且時日無多。「這不公平。露西和我還有很多事情要做，她答應過我們會買望遠鏡去看行星。我的零用錢已經存六個月了。這真是不公平。」
「兒子，人生本來就不公平。露西不是因為做了什麼壞事才生病。她就是生病了。有時候好事會發生，有時候壞事會發生，我們能做的就是努力讓多一點好事發生，讓少一點壞事發生。可是發生在我們身上的很多事情，我們束手無策。」
「爸爸，這真的很可怕。」
「對，真的是這樣。」
那天晚上我想到一個計畫。我會非常非常用功，成天讀書，不再玩捉迷藏，或是跟年幼的小朋友講無聊的故事。我會提前讀完高中，上大學，然後進研究所和醫學院，成為醫學研究員，找到治療何杰金氏淋巴瘤的方法，給露西用藥，治癒她的病。我的其中一個幻想是坐著直升機，從我的大學實驗室飛到露西的醫院。我對我的計畫非常滿意，我告訴媽媽，並說我會叫露西不要擔心，我會治好她的病。我以為媽媽會很高興，但她看起來非常難過，告訴我，我不能跟露西說。
「為什麼不行？妳不想讓她知道她會好起來嗎？」
「米奇，我不希望你讓她燃起希望。」這是謊言，一個溫和、善意的謊言。「不管你怎麼用功讀書，可能都治不好露西的病。」
從邏輯上講，我知道媽媽是對的。我去查爾斯頓的圖書館，找了一本腫瘤學的書（我問媽媽研究癌症的科學叫什麼名稱），找到何杰金氏淋巴瘤的存活統計資料。數字不樂觀。但我沒法想像沒有露西的世界，我們還要做很多年的探索，更何況，露西怎麼可以離開她和藹可親的母親蘿芙娜・法瑞姆（Luverna Frame），我的世界裡最和善、最溫柔的成年人？一定有解決的辦法，我會找到的。
但露西死了。她在醫院去世時，爸爸在她身邊，握著她的手。當他回到家，他的表情說出了我需要知道的一切。他告訴媽媽、琳達和史蒂夫，他們哭了；我沒有哭。最後媽媽說，露西病得很嚴重，不會再好轉，所以不再有痛苦比較好。「露西會痛嗎？」琳達放聲大哭，接著她和史蒂夫開始邊跑邊尖叫，最後才平靜下來，開始啜泣。但我已經知道露西很難受。我在走道等候爸爸去確認我可以進病房的時候，偶爾會聽到她的呻吟聲。她在忍受痛苦，現在不痛了。離開塵世的平靜，比稍許緩解的痛苦更好嗎？這對十二歲的孩子來說是個大哉問。現在仍是大哉問……
爸爸不想讓我們小孩子去參加葬禮。爸爸媽媽去葬禮的時候，我們待在外祖父母伯爾和莉迪亞・艾羅伍德（Burl and Lydia Arrowood）的家。我在外公的工作室發現了一袋氣球。外公是鐘錶匠，專門修理鐘錶，因為要用氣炬熔化一些合金，所以他的工作室有氣體噴嘴。我替一個氣球充氣，捆緊，走到前院，在離樹木一段距離的地方把氣球飛上天。這個舉動象徵著憂傷：它代表露西和我打算做，而現在永遠逝去的所有實驗。它代表一扇門關起來了。
就這樣，我把自己封閉起來，與外界隔絕。我再也不能幫助露西了，但也許我可以幫助其他人。我都在看書和學習科學，爸媽設法勸我到屋外跑一跑，他們說琳達和史蒂夫很想我，但我不這麼認為。他們整個夏天都在屋外，冠藍鴉和貓鳥的鳴唱一早就叫醒他們，整天玩著捉人遊戲和捉迷藏，黃昏時跑去看飛東飛西的螢火蟲。才不呢，他們不需要我。
現在我有個目標：我再也幫不了露西，但可以找到治病方法治好其他人。十二歲孩子認真下定的決心會是很狂熱的，我更是加倍狂熱。
那年，我在代數課本上讀到一個補充的問題。我花了大半個週末嘗試各種技巧，最後終於找到一個解法，但很拙劣、呆板又粗糙。這個解法行得通，但我知道它不是作者的用意。週一數學課下課後，我去問老師，她笑著說她很高興我嘗試解這個問題，然後寫出簡單又漂亮的解法。
那一刻，我的自我世界收起，消失了，我知道我所以為的是另一種悲傷的想法。那個解法只用了我知道的技巧，但應用的方式是我先前沒想到的。那一刻，我開始懷疑自己不夠聰明，沒辦法當個優秀的科學家。決心和努力會讓我躋身科學家之列，但當個配角的人生夠了嗎？選擇那條路帶來的真正風險是，從我現在所處的人生盡頭回首過去，會發現幾十年來的穩定工作中偶有些許獨到的見解。不可否認，那些時刻很令人驚喜。了解一點點想法架構的樂趣就是有大量的回報。但我想做的事更多。
我的人生和別人的人生有那麼不同嗎？對某些人來說，天資和興趣相符，就會展開令人滿意的生活，了無遺憾或揣測，很令人羨慕。但我們許多人都會經常想到當初沒有選擇的某條路。有些抉擇引領我們走上自己無法倒轉的路，即使現在改變跑道，餘生也不會像多年前就做出另一個選擇那樣發展。可能發生的結果非我們能力所及，我們為這種失落痛心。
我選擇探究一些數學結構，對我來說，這條路能夠為悲傷提供新的視角。我認為痛心與做數學展現出一些相似處；我們會在對方身上找到如出一轍的東西。苦思數學問題幫助我剖析自己的哀傷經歷，這正是我要談的主題。
伊森・卡寧（Ethan Canin）在《懷疑者的年鑑》（The Doubter’s Almanac）中寫道：「死亡的悲傷和知道孩子未來感受到痛苦的悲傷一樣嗎？音樂的憂愁呢？和夏日黃昏的憂愁一樣嗎……這兩者我們都稱為悲傷……但要如何化解我在父親最後那段日子感受到的哀痛？我們認為我們的悲傷是有邊際的，就像我們這個世界上知道的平面一樣。但真是這樣嗎？」
對我來說，幾何是數學裡最美的部分，也是我最了解的部分，所以我會集中在幾何上：悲傷的幾何。這與幾何的悲傷明顯不同，就如同〈If it weren’t for bad luck, I’d have no luck at all〉這首歌和歌劇大師浦契尼的詠嘆調〈公主徹夜未眠〉明顯不同；幾何的悲傷是下午最後某堂課，老師在黑板上利用「三角形SAS全等性質」振筆證明，而你想要蹺課的那股渴望。在這本書中，我們會探討悲傷影響幾何與幾何影響悲傷的幾個方式。
在我研究其他人寫過的東西之前，這個計畫的架構大部分已經就緒。在這本書中經常重複說的概念就是，想法是不可能看不見的。在想清楚我自己感受的傷痛之前就先去理解別人的想法，也許會限制我了解這些體悟的方式。我先粗略勾勒了草稿，才開始閱讀關於悲傷的過往研究，心理學家約翰・阿卻爾（John Archer）的《悲傷的本質》、人類學家芭芭拉・金（Barbara King）的《動物如何悲傷》，以及身兼醫生和演化生物學家藍道夫・內斯（Randolph Nesse）的〈理解悲傷的演化架構〉這些書籍與文章中的演化觀點，特別有幫助。我的某些想法跟既定的概念相似；其他又有所不同，有的甚至明顯不同，到時我都會指出來。
把我自己的看法擺在已經研究悲傷這個課題多年的學者的看法前面，這樣是不是很自大？我的答案是否定的，但你可能不同意。在午夜與黎明之間的深夜，我們和自己的思緒獨處，這也正是我們整理自身傷痛的最佳時分。第一步是了解自身感受，然後看看它如何融入既定的工作。在我所寫的任何東西能夠說得通之前，你必須先審視你自己的傷痛。
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儘管我很欽佩阿卻爾、金、內斯，和其他才思敏捷的學者，我還是認為文學、電影與音樂可以更直接展現內在傷痛世界。也有一些人持這個看法。亞歷山大・鄯德（Alexander Shand）的《性格的基礎》（The Foundations of Character）是第一次針對悲傷心理學的系統研究，鄯德在寫這本書的時候沒有什麼實驗數據，所以仰賴詩歌和文學，這些作品的作者都是細心體貼的人性觀察家。阿卻爾體認到，某些文學作品能夠清楚表達帶有情感重量的觀點，而他透過藝術視角來研究悲傷。
故事會提供最直接、最細微、最廣闊的描繪。關於沙特的存在主義觀點，我從他的小說《自由之路》三部曲了解到的，比從知識濃度高的哲學巨著《存在與虛無》了解到的更多。我會在接下來各章講很多故事。
倘若要了解藝術如何發自肺腑傳達深刻的愛與悲傷，不妨想想娜塔莉・默千特（Natalie Merchant）〈My Skin〉這首歌的歌詞，或她唱〈Beloved Wife〉這首歌時的哽噎聲；想想羅琳娜・麥肯尼特（Loreena McKennitt）〈Dante's Prayer〉這首歌哀傷卻又充滿希望的歌詞。想想菲利普・葛拉斯（Philip Glass）的歌劇《沙灘上的愛因斯坦》當中，〈Knee 5〉這段令人屏息的終曲；這部歌劇的其他幾個樂章在音樂上更加有趣，但這段音樂的多層次聲音和不帶感情的朗讀令我驚歎到透不過氣來。音樂可以直接對我們傳達深刻的情感。
如果你看過李安的唯美電影《臥虎藏龍》，不妨想想李慕白死在俞秀蓮臂彎裡的那一幕。李慕白臨死前對俞秀蓮說：「我已經浪費了這一生。我要用這口氣對妳說……我一直深愛著妳。我寧願游蕩在妳身邊，做七天的野鬼，跟隨你，就算落進最黑暗的地方，我的愛，也不會讓我成為永遠的孤魂。」
或想一想這部電影的尾聲。玉嬌龍在武當山上的廟宇裡。她和她的大盜情人羅小虎並肩站在雲霧繚繞的一座橋上。玉嬌龍問：「還記得你說的那個故事嗎？」早些時候，羅小虎告訴她：「我們有一個傳說。如果誰敢從那座山上跳下來，天神就會滿足他的願望。很久以前有個人的父母生病了，他就從山上跳下去，結果他沒有死，一點傷都沒有，後來他漂泊去了，再也沒有回來。他知道他的願望實現了。真心的，就會實現。我問過老人，他們說：『是，心誠則靈。』」
羅小虎回：「心誠則靈！」玉嬌龍說：「許個願吧，小虎。」羅小虎：「一起回新疆！」玉嬌龍從橋上縱身一躍，消失在雲霧裡。玉嬌龍在馬友友的大提琴聲中，穿過了雲海。到此你一定知道這並不是武俠片，而是個關於愛、失去與悲傷的故事。
或許你看過《六呎風雲》（Six Feet Under），這部播出五年的影集圍繞著在洛杉磯經營葬儀社的家族。你可能會批評這種選擇是容易實現的目標：經營葬儀社的人在工作時間都會遇到悲傷。不過，每一集都是從某個哲學或心理學角度探討死亡與悲傷。現在我對大結局特別感興趣，這一集用了希雅（Sia）的歌曲〈Breathe Me〉當配樂。我們看到主要角色展開人生與走向終點，劃出生命的弧線，看到許多層面的悲傷，映照著愛的悲傷。我必須提一下出現在《辛普森家庭》第29季第21集〈弗蘭德家的梯子〉（Flanders’ Ladder）當中的改編版，一開始很有趣，到後面就「一點也」不好笑了。
想想屠格涅夫的代表作《父與子》當中，葉夫根尼・瓦西里維奇・巴扎羅夫（Yevgény Vasílevich Bazárov）的死去，想想他的年邁父母在他的墓旁感受到的哀慟。葉夫根尼的死本來是可以避免的。在這個故事的世界裡，短短一瞬間的疏忽，他的死去就成了必然，不可逆轉。屠格涅夫在小說結尾描述了村莊的小墓地：「兩個身體虛弱的老人，一對夫妻，經常從附近的小村莊走到那裡。他們彼此攙扶，拖著沉重的腳步；他們走近鐵圍欄，跪地良久，泣不成聲，思念地凝望著寂靜的墓石，他們的兒子的長眠之地。」
這幅喪子之痛的情景令人不寒而慄，但在更大篇幅的敘述中，我們更充分了解他們的哀傷。有時我認為，這種排山倒海的情緒與屠格涅夫簡單易懂的散文體並列在一起，表露出埋藏在悲傷裡的絕美。
故事無法真正告訴我們另一個人的感受，但可以幫助我們想像，如果在他們的處境我們會有什麼感受。我相信這是同理心的基礎，是我們想嘗試了解一點悲傷的方式。
我們將會討論的許多想法都是自我反省的結果，是我的悲傷和幾何的親身經歷。我大多會用故事的形式呈現，而不是抽象的論證，因為我認為故事能更有效傳達具情感重要性的想法。抽象論證可以提供一些背景，但故事讓論點直接且堅定。
也許我的經歷會讓你想起你的經驗，或許你的經歷截然不同。經歷不同，對悲傷的理解就會不同嗎？我不知道。有形的物質世界容納得下許多美景，但究竟有多少景色能留存在我們的腦海中？