莫爾現象、理論及應用：基於Matlab的圖形計算學（簡體書）

莫爾條紋會在疊合的蚊帳、旋轉的電扇、兩排欄桿之間甚至是隨機點柵之間被觀察到，其本質是兩個柵之間的空間拍頻。本書以作者對莫爾條紋的研究為基礎，結合國內外的研究成果，全面詳細地介紹了莫爾條紋的基礎理論，分別研究了直線柵、曲柵、隨機點柵和網格柵等形成莫爾條紋的規律與特點，並介紹了傅裡葉變換、不動點定理、 Matlab 基礎、莫爾條紋應用等方面的知識。另外，為方便學習，書中還給出了各種圖形實現的Matlab 代碼，讀者可自己實現和驗證相關理論。本書可供物理、機械設計與製造、微電子、計算機應用等專業技術人員閱讀參考，也可供相關專業本科生和研究生學習參考。

本書以作者多年對莫爾條紋的研究為基礎，結合國內外的研究成果，對莫爾條紋的基本理論、形成規律和圖形實現進行了全面介紹，同時還介紹了傅裡葉變換、不動點定理、Matlab基礎等相關知識及莫爾條紋的具體應用。為方便學習，書中還給出了各種圖形實現的相應Matlab代碼，在揭示現象本質的同時，讀者可以自己實現和驗證相關理論。

莫爾現象經常發生在諸如兩層蚊帳、疊合的窗紗、旋轉的電扇、大橋的兩排欄桿、手機或者攝像機拍攝計算機屏幕或者電視屏幕等情況，在似有似無之間，屬於一種光學現象。近年來雙層二維材料堆垛的莫爾效應研究取得了令人矚目的成果，因此我們更傾向於定義莫爾效應為:多個周期柵疊合時，由於空間拍頻導致的材料物理性質呈現出的比原有柵空間周期大得多的空間周期性。這裡涉及柵的概念，現實中它是一族有規律的條紋，形成一張屏。但對於我們基於Matlab的圖形計算，柵分成線柵和圖片柵兩種。線柵用畫圖語句畫出來，兩個柵在畫出時就實現了疊合；而圖片柵則是計算出來的，以二維矩陣的形式存儲，兩柵疊合用矩陣相乘完成。這兩種柵都與實際對應，在不同情況下使用各有所長。進一步的研究表明，柵也可以由隨機點構成，兩個具有映射關係的隨機點柵疊合，也可以出現莫爾條紋。現實中的疊合是“透光”或“不透光”，或者叫“亮”或“暗”。在計算機技術成熟之前是把曲線(包括直線)打印在透明膠片上進行疊合，通過觀察以檢驗理論預期。現在利用各種軟件就可以實現這一點，比如用PowerPoint (PPT)，把需要疊合的柵的圖片粘貼上，設置為透明色，就可以達到互相疊合的視覺效果。在我國人們對絲綢疊合的莫爾條紋很早就有認識了，但其形成服裝產業則是在法國，同時出現了moiré一詞。在19世紀下半葉，瑞利[1] 對莫爾現象開始進行科學研究。在之後的近一個世紀裡，莫爾現象研究都是基於他們使用的幾何和代數分析法；到20世紀下半葉，傅裡葉分析技術開始被引入分析莫爾現象[2-4]，我國於1988年獨立提出了莫爾分析的譜方法[5]，不過在這方面集大成的是I.Amidror[6]；1969年，L.Glass研究了隨機點柵的莫爾條紋現象[7]，而把這種不易觀察的現象與數學上的不動點理論聯繫起來則到了1996年[8]；2008年，曹原等對魔角石墨烯奇異性質的研究[9]，則把作為一種光學現象的莫爾條紋推進到了包括超導、量子霍爾效應、鐵電性等廣泛物理效應。本書第一章介紹直線柵、斜柵、格點柵、圓環柵以及輻射柵數學描述，這些描述針對柵的基本特點——空間周期性展開。主要介紹分析周期函數的基本數學工具——傅裡葉變換；研究了幾何線柵、有限寬幾何線柵和余弦柵的頻譜特點，為整本書奠定數學基礎。第二章研究直線柵及規則點屏疊合產生莫爾條紋的規律，提煉出最低空間頻率法並說明如何編程“窮舉”實現，“可見圓”方法則對最低空間頻率法作直觀說明。同時介紹如何實現莫爾條紋最小化以及莫爾自由時柵疊合的微結構。第三章先介紹曲柵莫爾條紋形成的基本法則——索引指數法，然後針對各種二次曲線、高次曲線柵的自疊合和互疊合編程以實現其莫爾條紋圖案，與索引指數法得到的數學結果印證來驗證索引指數法的有效性。本章旨在展示莫爾條紋的美，同時為莫爾條紋的應用打下技術基礎。第四章討論隨機點柵和網格柵經過規則變換後與原柵疊合形成的莫爾條紋，其規律遵循數學上的不動點定理。數學再次展現其強大威力，不僅在存在不動點時可以預期莫爾條紋，甚至在不存在不動點的情況下也能預期疊合柵的微觀結構。這種微觀結構可以直觀顯示一些物理場。第五章基於物質波粒二象性用莫爾條紋構建二維和三維晶體結構。只要選擇合適的柵，使其空間周期與晶格常數對應，我們就可以用柵疊合呈現幾乎所有的基本晶體結構。第六章介紹莫爾條紋的一些應用，包括用作傳感器、測折射率、加密、製作萬花筒和其他藝術表現等，介紹了雙層石墨烯疊合在所謂魔角處呈現的奇異物理性質。這類研究把莫爾條紋由光學現象拓展到了更加一般化的物理現象。顯然，莫爾條紋是一個小眾的研究領域，若不是曹原等人對魔角石墨烯的研究，莫爾效應很可能一直坐在冷板凳上。筆者對莫爾現象的主要興趣點是它的美——由於柵之間的“和諧”創造的美，所以書中放入大量的圖片。我們還添加了大量基於Matlab的計算源代碼，讀者可以第一時間重現書中結果，但由於筆者對Matlab的認知粗淺，這些源代碼可能並不是最簡潔高效的。另外由於時間倉促，文字、圖表和參考文獻等的疏漏之處在所難免，歡迎讀者批評指正。本書第一章、第三章和第五章由南京工程學院李靖撰寫，第二章、第四章和第六章由河南科技大學李立本撰寫。全書由李立本統稿。感謝周國運老師鼓勵筆者研究莫爾條紋，感謝周鋒子老師在申請相關專利時付出的勞動，感謝左正偉老師提供的參考資料，感謝李運琴、黃建壟、唐凌露、郭書廣、盧振華、段小平、王世康、童彩麗、王倩茹、袁海龍等同學的共同討論與研究。特別感謝李寶珍女士對寫作的大力支持!李立本

第一章　柵描述及其傅裡葉分析 1第一節 一維傅裡葉級數 2一、直角坐標系中直線柵的三種描述 2二、柵函數的一維傅裡葉級數 3三、柵函數的傅裡葉系數 5第二節 一維傅裡葉變換 7一、定義 7二、性質 7三、傅裡葉變換舉例 9第三節 二維傅裡葉變換 11一、二維傅裡葉分析的基函數 11二、準二維傅裡葉分析 11三、二維傅裡葉分析 13第四節 極坐標系及傅裡葉變換 17一、極坐標下的傅裡葉變換 17二、可分離函數——圓對稱情況 17三、可分離函數——角周期情況 20計算程序 21Program11 21Program12 21第二章　直線柵莫爾條紋 22第一節 幾何線柵疊合形成的莫爾條紋規律 23一、極值空間頻率 23二、極值空間頻率與實空間條紋族的對應關係 25三、可見圓與頻率矢量 25第二節 兩柵疊合莫爾條紋規律的驗證 27一、無莫爾條紋情況 27二、一組莫爾條紋情況 28三、兩組莫爾條紋情況 30四、三組莫爾條紋情況 30五、兩柵疊合莫爾條紋的規律小結 32六、兩柵疊合莫爾條紋的應用——遊標卡尺原理 33第三節 等周期兩柵及三柵疊合的莫爾條紋 34一、等周期兩柵疊合的矢量分析與驗證 34二、穩定和非穩定莫爾自由 35三、三柵疊合的矢量分析與驗證 37第四節 四柵和兩點柵疊合的莫爾條紋 39一、四柵疊合規律 39二、等周期小夾角莫爾現象 40三、不等周期莫爾現象 42四、莫爾條紋最小化 43第五節 余弦柵疊合的莫爾條紋 45一、兩柵疊合 46二、三柵疊合 50三、譜強度 50第六節 有限線寬柵疊合的莫爾條紋 52一、有限線寬柵的產生 52二、等線寬與周期之比的柵的疊合 52三、線寬對莫爾條紋的影響 53第七節 柵疊合的微結構 59一、柵的位移與位相 59二、兩點屏的旋轉與疊合 60三、三點屏的旋轉與平移 61四、基元放大 61計算程序 64Program21 64Program22 66Program23 68Program24 70Program25 72Program26 74Program27 75第三章　曲柵莫爾條紋 78第一節 曲柵莫爾條紋的索引指數理論及驗證示例 79一、曲柵疊合莫爾條紋方程 79二、等距同心圓疊合等間距線柵 79三、不等距同心圓疊合等間距線柵 80四、兩個圓柵疊合的莫爾條紋 81五、徑向線柵的莫爾條紋 82第二節 畸變柵莫爾條紋的近似理論 85第三節 橢圓柵疊合的莫爾條紋 88一、非線性變軸長、中心不重合橢圓柵疊合 88二、軸長不等、中心重合橢圓柵疊合 88三、中心不重合、線性變軸長兩個橢圓柵疊合 89四、軸長劇烈變化的橢圓柵疊合 89第四節 拋物線柵疊合的莫爾條紋 90一、原點重合、周期不等的拋物線柵疊合 90二、原點不重合、等周期的拋物線柵疊合 90三、原點不重合、周期不等的拋物線柵疊合 91四、等變周期、原點不重合的拋物線柵疊合 91五、不等變周期、原點不重合的拋物線柵疊合 94第五節 雙曲線柵及其莫爾條紋 95第六節 螺線柵疊合的莫爾條紋 95一、螺線柵的極坐標和直角坐標表示 96二、中心重合、角周期不同的螺線柵的莫爾條紋 98三、中心不重合、角周期相等的螺線柵疊合的莫爾條紋 99四、中心不重合、角周期不相等的螺線柵疊合的莫爾條紋 101五、葵花紋的獲得 101六、由費馬螺線族構成的太極圖 102第七節 高次曲線柵及其莫爾條紋 103一、玫瑰線柵的莫爾條紋 103二、心臟線柵的莫爾條紋 104三、帕斯卡蝸線柵的莫爾條紋 106四、圓內旋輪線柵的莫爾條紋 108五、心臟線柵與正弦線柵疊合的莫爾條紋 111計算程序 112Program31 112Program32 112Program33 113Program34 113Program35 114Program36 114Program37 114Program38 115Program39 115Program310 116Program311 116Program312 116Program313 116Program314 117Program315 117第四章　隨機點柵莫爾條紋 118第一節 概述 119第二節 不動點定理與莫爾條紋 121第三節 仿射變換下的不動點及其莫爾條紋 122一、純平移變換 123二、純拉伸變換 123三、旋轉映射 123四、旋轉映射+平移下的隨機點柵和網格柵的莫爾條紋 124五、拉伸+平移變換下的隨機點柵和網格柵的莫爾條紋 125六、旋轉+拉伸+平移下的隨機點柵和網格柵的莫爾條紋 127第四節 二階多項式映射下的不動點及其莫爾條紋 128一、二階多項式映射下的不動點 128二、二階多項式映射下的莫爾條紋 130三、隨機點柵疊合形成的二次曲線莫爾條紋 132第五節 雙層映射下的互不動點及其莫爾條紋 137一、雙曲變換疊合橢圓變換 137二、雙曲變換疊合拋物線變換 139三、橢圓變換疊合拋物線變換 140四、拋物線變換疊合仿射變換 140第六節 近不動點及其微觀結構 142一、同心圓環族圖案生成及近不動點 142二、近不動點的軌跡方程 146三、近不動點的軌跡方程驗證舉例 147小結 161計算程序 161Program41 161Program42 162Program43 164Program44 165Program45 166第五章　晶體結構的莫爾條紋呈現 168第一節 晶體基本知識 169一、晶體結構及基元 169二、節點與點陣 170三、三種元胞 170第二節 二維晶體結構的莫爾呈現 170一、基矢與柵 170二、實現各種結構的程序 171三、針對不同對稱性模擬晶體結構 171四、改進的程序 172五、復式格子石墨烯的實現 173第三節 三維晶體結構的莫爾呈現 176一、三維情況相關基礎知識 176二、實現程序 180三、實現效果 180計算程序 182Program51 182Program52 183Program53 184Program54 185第六章　莫爾條紋的應用 188第一節 莫爾條紋傳感器 189一、工作原理 189二、直線透射式光柵 191三、辨向與細分 191四、圓光柵 192第二節 莫爾法測折射率 194一、基本原理 194二、實驗裝置 195三、莫爾條紋與折射率梯度的關係 196四、莫爾條紋表征透鏡特性 197第三節 莫爾條紋加密 197一、莫爾條紋印刷品加密信息技術 197二、函數組圖案可調設計 200三、莫爾條紋文字加密 205第四節 莫爾條紋萬花筒、魔球燈、水底花紋設計 206一、三維可調莫爾條紋萬花筒 206二、與音樂同步的莫爾條紋魔球燈 209三、水底花紋設計 211四、莫爾條紋藝術 211第五節 扭轉電子學 212一、“撕裂和堆疊”技術 212二、vdW 外延 214三、玻色-愛因斯坦凝聚 214計算程序 216Program61 216Program62 216Program63 218Program64 219參考文獻 221