微分幾何講義（簡體書）

本書是在作者一系列演講的講稿基礎上整理而成的，已成為整體微分幾何方面的一本經典著作。它以拓撲、代數幾何為基礎，以分析為主要工具，論述了幾何學中的某些線性和非線性問題。本書內容包括：比較定理與梯度估計、負曲率流形上的調和函數、Reimann流形上的特征值問題、ReImann流形上的熱核、純量曲率的共形形變、局部共形平坦流形等。書中還包括了丘成桐教授撰寫的幾何中的非線性分析、幾何中未解決的問題、幾何學未來的發展、幾何與分析回顧、復幾何的歷史及前景等綜合性論述與演講辭，宏觀和精辟地描述了幾何學中的重要問題，展示了該學科的歷史和未來發展前景。
本書可供高等院校數學系高年級學生、研究生作教學用書，也可供現代幾何和分析方面的教師及研究人員參考。

第一章 比較定理與梯度估計
1.1 比較定理
1.2 分裂定理
1.3 梯度估計
1.4 具非負Ricci曲率的完備Riemann流形
第二章　負曲率流形上的調和函數
2.1　幾何邊界S(**)及Dirichlet問題的可解性
2.2　Harnack不等式與Poisson核
2.3　Martin邊界與Martin積分表示
2.4　Harhack不等式的證明
2.5　更一般流形上的調和函數
2.6　次調和函數與次中值公式
附錄 整體Green函數的存在性
第三章　特徵值問題
3.1　特徵值的基本性質
3.2　Riemann流形的熱核
3.3　第一特徵值上界估計
3.4　第一特徵值下界估計
3.5　高階特徵值的估計
3.6　結點集與特徵值的重數
　3.7　相鄰兩特徵值之空隙
　3.8　與曲面有關的特徵值問題
第四章　Riemann流形上的熱核
4.1　熱方程的梯度估計
4.2　Harnack不等式與熱核的估計
4.3　熱核估計的應用
第五章　純量曲率的共形形變
5.1　三維情形
5.2　Yamalbe問題與共形不變量A(M)
5.3　共形正規坐標與Green函數的漸近展開
5.4　Yamabe問題的解決
附錄 Sobolev不等式中的最佳常數
第六章 局部共形平坦流形
6.1　共形變換與局部共形平坦流形
6.2　共形不變量
6.3　局部共形平坦流形在Sn上的嵌入
6.4　局部共形平坦流形的拓撲
6.5　與偏微分方程的關係
參考文獻(第一至第六章)
第七章　問題集
7.1　曲率及流形上的拓撲
7.2　曲率與復結構
7.3　子流形
7.4　譜
7.5　與測地線有關的問題
7.6　極小子流形
7.7　廣義相對論和Yang—Milh方程
　參考文獻
第八章　幾何中的非線性分析
第九章　幾何中未解決的問題
附錄I　幾何學的未來發展
附錄II　幾何與分析回顧
附錄III　復幾何的歷史及前景
索引