動手做幾何

黃敏晃教授「數學素養系列3」

你覺得自己的幾何與空間能力好不好？可能有超過半數的人回答「不好」。歸根究柢，無論是一般成年人或是在學的學生，在學「幾何」的時候，90%以上恐怕都用背的，不求理解。這可不是學習幾何最好的方法。
要學幾何，就要動手操作。《動手做幾何》這本書，是黃敏晃老師為基礎幾何教學的最佳示範，你會看到如何透過遊戲式的、能夠具體操作的活動，以及思考探索，來學到有用的幾何與空間能力。

學生能力的成長，最要緊的其實不是教材，而是老師跟他所採用的教學法。
－－黃敏晃

黃敏晃

美國印地安納州普度大學（Purdue University）數學哲學博士。國立台灣大學數學系副教授（1998年退休）。
1974年及1993年小學數學課程標準委員會召集人，並在上述課程標準下國立編譯館出版之小學數學教科用書編輯小組擔任召集人。
2001年九年一貫國中小學數學課程暫定課綱委員。
1972年及1985年國中數學課程標準委員會委員，並在上述課程標準下國立編譯館出版之國中數學教科用書編輯小組擔任組員。
1971～73年編寫完成一套高中數學教科書《新編高中數學》。
1992年和好友朱建正教授合力推展「數學步道」之概念與實務。

編著的一般性書籍有：
《數學世界中的萬花筒》（牛頓，1986，已絕版）《數學解題規則》（牛頓，1986，已絕版）《數學年夜飯》（心理，1998，已絕版）
《規律的尋求》（心理，2000）
《人間處處有數學》（天下文化，2003）
《讓我們來玩數學吧》（小天下，2005）
《資優數學的星光大道－玩弄數學問題》（翰品，2011）
《另類數學教室》（天下文化，2013）
《生活數學故事》（天下文化，2013）

本書收集了十篇跟幾何相關的文章。這些文章的素材、構想和活動設計，大多是我們小組團隊合作的成果。我們每兩週開會一次，熱烈討論如何幫助中、小學生學數學。只是其他人都學孔老夫子「述而不作」，故最後總由我寫出來。團隊成員都是已退休的中、小學數學老師，這裡先謝謝他們。他們是

戴寶蓮　許文化　林志忠　張凰蕙　陳彩鳳　蔡淑英
呂玉英　李和淑　宋立忠　楊守容　李信仲　莊月嬌

他們除了拿文章所描述的材料做實驗教學外，還分擔了出書前最後的校對，繪製正確的圖形，提供附錄上的解答（對書上寫到，但未加處理的題目），以及設計本書會附的一些紙板教具。所以他們實際上是本書沒列名的共同作者。
數學裡的素材，基本上只有數（含代數）和幾何兩大部門。量可分離散量和連續量，離散量的處理是數的應用，而連續量是用數來表徵幾何物件大小的處理過程和結果。另外，數量關係則是用比較宏觀的角度，來追究和歸納兩個以上的數學物件之間的連結，看看結果對諸多的類型是否有其一致性。
談到幾何，許多人會聯想到二千多年前古希臘歐幾里得的《幾何原本》。此著作從大家都熟悉的五條公理（postulate）和五條公設（axiom）出發，推論出現代數學裡的歐幾里得空間中的許多精采的定理（theorem）。甚至於外顯不那麼清楚，以及極其複雜的幾何定理（例如，一個三角形的外心、重心和垂心三點共線；此線叫做尤拉線），也可以如此證出。
由假設出發，純粹用邏輯推論而得到結果的方式，慢慢的變成人類文明最重要的成分之一。所以，世界各國的幾何教學，不可避免的特別強調此典範。但是，形式的推論是很難的，尤其是在推論幾何引入的年段──八、九年級。照筆者知道的資訊，八、九年級的學生論證幾何，90%以上都用背的，不甚理解。
凡‧希理（Van Hiele）夫婦認為幾何的學習是有階段的，他們提出的五階段論，在現在的數學教育界是大家都熟知的，概述如下：
第一期為視覺期（Visualization），此期兒童只能就看到的幾何物件之整體外貌，辨認其不同的形體。
第二期為分析期（Analysis），此期的兒童能經由觀察和簡單的實驗，認識幾何形體的外顯特徵（初期例如有幾個頂點、幾條邊等等），垂直、平行、線段等長、角和形的全等（後期）的掌握。
第三期為非形式化的推論期（Informal Deduction），此期的學童能做一些簡單的（譬如說三、四步驟）推論，粗略的建立並掌握圖形屬性的一些內在關係，也能夠進一步對幾何形體加以分類。
第四期為形式推論期（Formal Deduction），此期的學生能夠做比較嚴格的形式論證，即有層次的靠邏輯由已知推到要證明的結果。他們也能夠瞭解並掌握充分和必要條件，以及正逆命題之間的差異等。
第五期為系統知識期（Systematic），此期可以說是專家期。他們能夠理解幾何的系統是由公理、公設所建立的幾何知識體系，並進一步做各種幾何體系（如歐幾里得空間及非歐氏空間）之間的比較等。
不難看到，國中、小學的幾何學習大致上是由第一期到第二期（小學），以及由第二期到第三期（國中）。把學生由第三期提升到第四期，應該是高中（也許大學部）的任務；至於到第五期，則只能在大學數學系和研究所才能去講究的。
如何帶領學生由較低的認知層級，提升到較高的認知層級，這是教育的真正意涵，也是所有數學教師不可推卸的神聖任務。怎麼做？
以第二期到第三期的情形，我們不能只要求學生做一些無趣的，像考試那樣的推論練習，而要透過遊戲式的，能夠具體操作的活動，期間要求講道理等，才能慢慢達到。本書所介紹的這十篇文章，幾乎都是由遊戲式的活動編織而成的，所以有這樣的功能。希望老師們能夠在自己的課堂中試用看看，學生應該是會喜歡的。

本書架構
〈組合正方體的塗色問題〉是適合小學四年級以上的活動，連結了一個正方體（可延伸到長方體）是由8個頂點、12條稜邊和6個面等要素構成的知識。活動中由具體而形式，是最典範的教學活動。
蔡淑英老師未退休前，和她台北市立教育大學附設實驗小學的同事，用〈一塊花布〉寫了一份教案（她們在事前已做了多年實驗教學），參加教育部第三屆全國特殊教育教材教具輔具暨電腦輔具教學軟體設計的比賽，在教材教具組得到優等獎。教案放在該文後面的附錄，有興趣的讀者可以參考。這份文件也可以幫助本書預期讀者群中最大部分的老師，看到如何將本書中的文章改編成一份可以執行的教案。
〈互納盒〉的活動牽涉到兩個不同顏色的盒子，可以互相收藏在對方裡面。由這個帶著一點魔術味道的開端，引伸出讓學生探索：如何的條件（長方體盒子的長、寬、高三維需要有怎樣的關係，以及盒子該如何擺置）才能變出這樣的魔法？
談到魔法，〈漫談平面圖形的變幻〉也有那麼一點味道。內容是將一個正方形切割後重組成另一個正方形，其面積竟然有差異。文章中我帶著一群國中數學老師，探索其中的奧妙：怎樣的切割，如何的重組，會使面積產生多變的變化？
〈足球和截角正多面體〉是古典的教材。二千多年前，古希臘數學家就知道：只有五種正多面體，即正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。他們是用各種正多邊形板，具體拼湊出來的。
我在小學做實驗教學時也是如此（市面上賣的百力智慧片，已經改進到第四版了，非常好用），但對於國中以上的學生，我堅持他們一定也要用列方程式（很不容易）的方式，形式地計算出來。這是提升他們數學能力的良好機會，我當然不會輕易的浪費掉。
把正多面體凸出的角，以一致的方式切割掉（如在稜邊的中點或三分之一點），會得到令人驚豔的多種立體造形，足球就是其中一種（正二十面體，在每邊的三分之一點截角）。在本文題材的討論中，出現了如同構（isomorphic）和偶配（duality）等通常只在大學數學系二年級的「高等代數」課才會出現的名詞，讓我們看到了它們所代表的抽象（上述課裡很少給實例）概念之具體案例。
〈模擬撞球遊戲〉是在紙上畫一個長和寬都是整數單位的長方形，來模擬撞球（假設長方形球檯四角有洞）：球在左下洞口以45角擊出，球撞邊後也以45角反彈，若球不會因摩擦力而停止，問(1)球是否一定會進洞？(2)會進哪個洞？(3)進洞前會反彈幾次？
本文描述一群小學六年級的小朋友，在分組合作的狀況下，花了一整個下午，努力解決上述問題的過程。他們經過多次的實驗，歷練了失敗的挫折，也嘗到局部發現的喜悅，最後排除萬難終於成功解題，可以說是個典範的探索過程。
〈閒話幾何與空間能力〉是本書最早寫就的文章。在我們小組的例會中，閒聊出了共識：我們的中、小學生非常缺乏幾何和空間能力（事實上，大人和外國的狀況也沒好多少，是全球性的通病）。整個上午，我們就圍繞著這個主題閒談，本文算是該次談話的記錄。當然，同時也為本書做了規畫。
〈正方體的平面截面〉所描述的是，如何利用實驗的手法，解答標題中的截面可以是怎樣的平面圖形？學校裡學過的各種有名有姓的平面圖形，到底哪些會出現？哪些不會出現？若會出現的話，如何讓它出現？不能出現的話，又是為什麼？
某些現象為什麼「不會出現」？這種題材一般很少在中、小學的制式數學課程中出現。學生因此體驗到不是我們大家都沒辦法弄出來，就不存在，而是透過一些道理來證明不可能出現，用到的知識只是畢氏定理和簡單的式子運算。
閱讀本文的障礙，在需要道具──一個正方體的透明容器，裝水（滴進紅或藍墨水更清楚）來表徵平面的截面。還好全台大多數的中、小學，都配有一公升的容器，一個邊長10公分的正方體，正好借用。
比較傷腦筋的是〈隱形金字塔〉，此文中所討論的活動，全要靠一個特別設計製作的道具，它是由我和好友朱建正（已過世多年）幫信誼基金會研發「新數學寶盒」時引進來的。故信誼基金會有獨家權，有時他們還不肯單獨賣此盒教具。
隱形金字塔是立體版的「七巧板」。七巧板是將一個正方形切割成七塊大家都熟悉的三角形和四邊形；將這些小塊重新拼組，可以得到許多造形。因為造形多樣化（有數百種），可引起小孩探索的興趣，故受歡迎。
模仿這種做法，將一個正方體切割成十七塊大小不同的兩種三角錐，使我們可用之拼湊出多種立體造形，其中一種就是「金字塔」。其中可以引發各式各樣的討論，增進學生對立體幾何的認識。
〈人面獅身談複製〉是由一個獨特的平面造形所引發的一系列活動。此平面造形是一個正三角形六連塊（六個全等正三角形連在一起，相鄰的兩個三角形要有一個邊完全重疊），外形有點像埃及金字塔旁的人面獅身而得名（由美國有名的數學科普作家Gardner所命名）。
活動的一個概念叫做「複製放大」，即把某個平面圖形當作是原形（不能再切割）。好幾個原形是否能拼組成該原形的幾倍放大圖？譬如說，四塊人面獅身可以拼組成一個唯一的兩倍放大圖，叫做四獅。九隻小獅共有四種方式拼組成三倍放大圖，叫做九獅，……。
是否任何倍數的放大圖，人面獅身都可做到？在討論此課題時我們發現，用兩倍的放大圖做原形，以拼組成九獅的方式，可以拼組出六倍大的放大圖，……。如此把因數分解的概念，和圖形的複製放大，連結在一起，是非常有趣的。
因此，質數倍的放大複製是解決上述問題的關鍵。我們還找不到證明，說人面獅身的任何倍數的放大複製，是可以或是不可能。但小孩在進行此活動的過程中，又玩出一個花樣，即「獅包含獅」的玩法：大獅（如二十五獅）中是否能含有非最小原形的小獅（如四獅或九獅）？
我們在實驗教學時發現，若小孩喜歡玩某種活動，玩久了真會玩出一些我們從沒想過的花樣，這才是真正的玩數學。能這樣玩數學的小孩一定喜歡數學，因此，他的數學能力也必然會隨著提高。
是否任何平面圖形都能做任何倍數的放大複製？學生幫我們找到一個案例，是一個正方形的四連塊，它無法做2倍大的放大複製，但卻可以做4倍大的放大複製。有趣！這方面的資料還非常欠缺，歡迎有興趣的讀者，加入一起玩。

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學生能力的成長，最要緊的其實不是教材，而是老師跟他所採用的教學法。筆者認為講述教學的效果不彰，故這十篇文章都把我們這群人在多個不同場合，對不同的學生所做的實驗教學，做了粗略的描述。想展現的是讓學生做探索的歷程，學生合作解題，小組和全班性的討論，以及學生碰到困難時老師的介入等，供讀者參考。
老師要有心理準備，沒有任何的教學活動能立竿見影。即使你清楚告訴學生一些事實和道理，他也暫時可以覆述（表示他有聽懂），一段時間（到考試前）他還是會忘記的。故期待長期努力吧，學生能力的提升，本來就不是那麼簡單的事。

逆運作走回頭路

地圖是現代人很重要的工具，故現代教育很強調讀圖的能力。學生在這種能力的培育，並不只是地理課的責任；數學課中的坐標，應該也和讀圖有密切的關係。問題在我們數學老師，常把這種教材教得太形式，使學生完全沒感覺，以至我國公民的讀圖能力不強。
製圖的制式規格是把北方放在視線的上方，南方在視線下方（東和西因此而被定位在視線的右方和左方）。在傳統的讀圖教育（傳統相對於多元觀點，我們曾有位教育部長杜正勝說過，可以把台灣的地圖橫過來看，把東方的太平洋放在上方，大陸放在下方，立刻被人罵個要死，其實他只在凸顯多元觀點而已）下成長的我們，東西南北所形成的十字軸線，在我們腦中已經形成深層的烙印，這和專司平行垂直的腦細胞，會幫我們建構出互補的方位系統。所以，題目中有關東、西、南、北的方位描述，對我們都變得簡單。
從認知的角度來說，以東西南北為腦中參考坐標的主軸，則東南、西北等只是做這些主軸之90角的平分線而已。任意角的「角等分線」其實並不容易做，但是45角是一般人從小就從三角板上熟知的「特別角」，故東北、西南等的方位，也算是不難的啦。
在我們的討論有談到另一種迷路的狀況，牽涉到「逆運作」的思考模式。比如說，你從某個入口進入一個幅員遼闊的地區，沿著一條路線作了部分的參觀，由於時間的限制你必須沿來路回去；若這不是你熟悉的場域，地形路線又稍嫌曲折複雜，則這不見得是容易完成的任務。
筆者夫婦就曾在澳洲的雪梨動物園，如此迷過路。由於當天早上我們先趕了個行程，下午才去動物園。該園依山傍水占地甚大，到了傍晚才覺悟到走不完，於是想沿來路出園。但來時沒特別注意路標（land mark），左、右轉的時機和順序也沒記。所以，逆向走回頭路時，實在亂無章法，難怪迷路。
通常迷路的最佳解法，是「路在嘴上」即問人。但當天非例假日，遊客本少，時間又晚到關園前，半個遊客也不見，只好慢慢摸索，最後是被園方的巡邏人員找到（他們有入園、出園人數的電腦點算機制，故知有人留園內）。我們表達謝意後，園方人員表示這是他們的責任，因為他們怕我們會傷害園內動物（而非怕我們被動物傷害）！
走回頭路這樣任務，在我們的認知上可以說是「逆運作」，其項目可分成如下幾個：

1. 回想來時的路線，多少轉彎，如何轉（左或右轉）；在腦中還得把順序倒轉，左、右轉互換。
2. 路上有什麼顯著的地標，它們出現的順序，以及它們在不同的方位上顯現的外形，究竟是如何。

上面的第2項，牽涉到幾何物件的視圖，以及物件之間的相對位置關係，是很正統的幾何能力。討論這些，稍費口舌，讓我們暫且延後，先談跟路線有關的事務，以及腦袋中如何逆轉順序的運作方式。
（摘錄自第一章，更多精彩內容，請見本書）