概率論與數理統計（簡體書）

本書內容主要包括： 概率論的基本概念、隨機變量與多維隨機變量及其分布、隨機變量的數字特征、大數定律與中心極限定理、數理統計的基本概念、參數估計、假設檢驗、隨機過程的基本概念.書中標題帶*號的內容為選講內容，每章均有應用案例或試驗，附錄中給出了常用的概率分布表及概率論與數理統計中常用的MATLAB基本命令等.

本書可作為高等院校非數學專業概率論與數理統計課程和概率論與隨機過程課程的教材，也可供數學專業學生及廣大工程技術人員參考.

潘顯兵，男，1971年生，副教授，西南大學碩士畢業，主要研究領域為數學與應用數學，主編和參編教材5部，在國內外核心及其以上刊物發表科研論文10余篇，主持和主研省部級教研科研項目5項，獲國家使用新型專利5項。高校任教20余年，主講《高等數學》、《線性代數》、《概率論與數理統計》、《復變函數》、《數值分析》等本專科課程。

目錄

第1章事件與概率

1.1隨機事件

1.1.1隨機試驗

1.1.2樣本空間和樣本點

1.1.3隨機事件

1.1.4事件的關系與運算

1.1.5事件的運算律

1.2概率的定義與計算

1.2.1頻率與概率的統計定義

1.2.2概率的公理化定義及性質

1.2.3古典概型

1.2.4幾何概型

1.3條件概率

1.3.1條件概率

1.3.2乘法定理

1.3.3全概率公式與貝葉斯公式

1.4獨立性

1.4.1兩個事件的獨立性

1.4.2多個事件的獨立性

1.5應用案例與試驗

1.5.1常染色體遺傳模型

1.5.2硬幣試驗

1.5.3Galton釘板試驗

本章小結

習題一

第2章隨機變量

2.1隨機變量及其分布函數

2.1.1隨機變量的概念

2.1.2隨機變量的分布函數

2.2離散型隨機變量及其分布

2.2.1離散型隨機變量的定義與性質

2.2.2幾種常見的離散型隨機變量分布

2.3連續型隨機變量及其分布

2.3.1連續型隨機變量的定義與性質

2.3.2幾種常見的連續型分布

2.4隨機變量函數的分布

2.4.1離散型隨機變量函數的分布

2.4.2連續型隨機變量函數的分布

2.5應用案例

本章小結

習題二

第3章多維隨機變量

3.1二維隨機變量及其分布函數

3.1.1二維隨機變量的概念

3.1.2二維隨機變量的分布函數及其邊緣分布函數

3.1.3兩個隨機變量的獨立性

3.2二維離散型隨機變量及其分布

3.2.1二維離散型隨機變量及其聯合分布律

3.2.2邊緣分布律及其與獨立性的關系

3.2.3條件分布律

3.3二維連續型隨機變量及其分布

3.3.1二維連續型隨機變量及其聯合概率密度函數

3.3.2邊緣密度函數及其與獨立性的關系

*3.3.3條件密度函數

*3.4兩個隨機變量函數的分布

3.4.1二維離散型隨機變量函數的分布

3.4.2二維連續型隨機變量函數的分布

3.5應用案例與試驗

3.5.1路程估計問題

3.5.2及時接車問題

本章小結

習題三

第4章隨機變量的數字特征

4.1數學期望

4.1.1隨機變量的數學期望

4.1.2隨機變量函數的數學期望

4.1.3數學期望的性質

4.2方差

4.2.1隨機變量的方差

4.2.2隨機變量方差的性質

4.2.3常用分布的期望和方差

4.3協方差、相關系數及矩

4.3.1協方差及其性質

4.3.2相關系數及其性質

4.3.3矩的概念

4.4大數定律與中心極限定理

4.4.1切比雪夫不等式

4.4.2大數定律

4.4.3中心極限定理

4.5應用案例與試驗

4.5.1風險決策問題

4.5.2報童問題

4.5.3蒙特卡羅模擬

本章小結

習題四

第5章數理統計基礎

5.1基本概念

5.1.1總體與樣本

5.1.2統計量

5.2統計量的分布

5.2.1χ2分布

5.2.2t分布

5.2.3F分布

5.3正態總體的樣本均值與樣本方差的分布

5.4直方圖

5.5試驗

本章小結

習題五

第6章參數估計

6.1點估計

6.1.1點估計問題的提出

6.1.2矩估計法

6.1.3極（最）大似然估計法

6.1.4估計量的評選標準

6.2區間估計

6.2.1區間估計的相關概念

6.2.2單個正態總體數學期望的置信區間

6.2.3單個正態總體方差的置信區間

*6.2.4兩個正態總體的均值之差的置信區間

*6.2.5兩個正態總體方差比的置信區間

6.3案例分析

本章小結

習題六

第7章假設檢驗

7.1假設檢驗的基本概念

7.2正態總體均值與方差的假設檢驗

7.3非正態總體參數的假設檢驗

7.4應用案例

本章小結

習題七

第8章隨機過程初步

8.1隨機過程的概念

8.2平穩隨機過程

8.3馬爾可夫鏈

8.4應用案例

本章小結

習題八

附錄A概率論與數理統計中常用的MATLAB基本命令

附錄B常見概率分布表

附表1泊松分布數值表

附表2標準正態分布表

附表3t分布表

附表4χ2分布臨界值表

附表5F分布臨界值表

習題參考答案

第1章事件與概率

自然界和社會上發生的現象是各式各樣的，有一類現象，在一定條件下必然發生，這類現象稱為確定性現象.例如，太陽從東方升起;水在標準大氣壓下溫度達到100℃時必然沸騰;同性電荷相互排斥，異性電荷相互吸引等.在自然界和社會上也存在另一類現象,在一定的條件下，可能出現這樣的結果，也可能出現那樣的結果，且在試驗或觀察之前不能確定哪一個結果會出現，這類現象稱為隨機現象.例如,擲一枚均勻的硬幣，其結果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次拋擲之前無法確定拋擲的結果是什么;又如,在軍訓射擊時，用同一步槍向同一目標射擊，每次彈著點不盡相同，且在每一次射擊之前無法預測彈著點的確切位置.

人們經過長期的實踐和深入研究后，發現隨機現象在大量重復試驗或觀察下，結果呈現出某種規律性.例如，多次重復擲一枚均勻硬幣得到正面朝上的結果大致有一半;同一步槍射擊同一目標的彈著點按照一定的規律分布.隨機現象的這種在大量重復試驗或觀察中所呈現出的固有規律性，我們稱為隨機現象的統計規律性.概率論與數理統計就是研究和揭示隨機現象統計規律性的一門數學科學.

1.1隨機事件

1.1.1隨機試驗

人們是通過觀察和試驗來研究隨機現象的，為對隨機現象加以研究所進行的觀察或試驗，稱為試驗.若一個試驗具有下列三個特點：

(1)可以在相同的條件下重復地進行；

(2)每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果；

(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現，

則稱這一試驗為隨機試驗（randomtrial），通常用E表示.

例1.1.1隨機試驗的例子.

(1)E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現的情況.

(2)E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現的情況.

(3)E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面出現的次數.

(4)E4：記錄一天內進入某商場的顧客數.

(5)E5：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命.

(6)E6：記錄某一地區一晝夜的最低溫度和最高溫度.

1.1.2樣本空間和樣本點

對于隨機試驗，盡管在每次試驗之前不能確定試驗的結果，但試驗的所有可能結果是已知的，我們將隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間(Space)，記為S.樣本空間的元素，即E的每個結果，稱為樣本點.

例1.1.2請給出例1.1.1中隨機試驗的樣本空間.

解(1)S1={H,T}；

(2)S2={HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT}；

(3)S3={0,1,2,3}；

(4)S4={0,1,2,…}；

(5)S5={t|t≥0}；

(6)S6={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},這里x表示最低溫度，y表示最高溫度，并設這一地區溫度不會小于T0也不會大于T1.

需要注意的是：

(1)樣本空間中的元素可以是數，也可以不是數.

(2)樣本空間中的元素個數可以是有限的，也可以是無限的，但至少含有兩個元素.

(3)樣本空間中的元素由試驗目的確定.

1.1.3隨機事件

一般地，我們稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件，簡稱事件，通常用大寫字母A,B,C，…表示.在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時，稱這一事件發生,否則稱事件不發生.例如，在擲骰子的試驗中，可以用A表示“出現點數為偶數”這個事件，若試驗結果是“出現6點”，就稱事件A發生;若試驗結果是“出現1點”，就稱事件A不發生.

特別地，由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件.例如，在擲骰子的試驗中有六個基本事件{1}，{2}，…，{6}.每次試驗中都必然發生的事件，稱為必然事件.由于樣本空間S包含所有的樣本點，它是S自身的子集，且在每次試驗中都必然發生的，故它就是一個必然事件.因而必然事件我們也用S表示.在每次試驗中都不可能發生的事件稱為不可能事件.空集不包含任何樣本點，它作為樣本空間的子集，在每次試驗中都不可能發生，故它就是一個不可能事件.因而不可能事件也用表示.

例1.1.3在擲一顆骰子觀察點數的試驗中,令事件A表示“出現的點數是奇數”，事件B表示“出現的點數是偶數”，事件C表示“出現的點數小于5”，事件D表示“出現的點數是不小于3的偶數”.請寫出隨機試驗的樣本空間及事件包含的樣本點.

解S={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4}，D={4,6}.

1.1.4事件的關系與運算

事件是一個集合，因而事件間的關系與運算自然按照集合論中集合之間的關系和運算來處理.根據“事件發生”的含義，給出它們在概率論中的含義.設試驗E的樣本空間為S，而A,B,Ak(k=1,2,…)是S的子集.

1.包含關系若事件A發生必然導致事件B發生，則稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)，記為BA(或AB)(見圖1.1.1).

為了方便起見，規定對于任一事件A，有AS.

2.相等關系若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB,則稱事件A與事件B相等，記為A=B.

3.事件的和事件A與事件B至少有一個發生，這一事件稱為事件A與事件B的并(和)，記為A∪B(見圖1.1.2).