數學也可以這樣學（2）：跟大自然學幾何(電子書)

這是一本最美麗的數學書！
換個方式認識幾何，你會讚嘆大自然的智慧與設計
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石榴石晶體是美麗的菱形十二面體，
松果與蘇鐵的錐體上帶有神祕雙螺旋，
葉子、蘭花、蝴蝶及人類身上都找得到兩側對稱性，
在大自然的一草一物中發現幾何，探索各種不同的形式
華德福式自然學習法，超過500幅彩色照片與圖表
 
本書以「射影幾何學」作為「看見」自然中的數學之工具，是同一類型數學普及書籍中的罕見之作。――台灣師範大學數學系退休教授洪萬生

科學是概念世界與現象世界的交織，這正是本書採取的認知模型，出發點則是幾何學。
 
作者約翰．布雷克伍德曾任教於華德福教育體系，藉由細膩的觀察和巧妙的作圖，橫跨礦物界、植物界、動物界到人類世界，向讀者展示了大自然中繽紛絢爛的樣貌，探究這些多樣性是否正確反映出基本的幾何形式。

書中主要運用射影幾何學（projective geometry），不同於歐幾里得幾何學，它不依賴測量；測量和形式會從射影幾何的簡單變換中出現。

主題包括︰笛沙格定理、幾何元素、對稱性、賦向、螺線、四面體、路徑曲線、三維射影幾何等。
 
對教師和家長而言，讓孩子從生活環境中學習更勝於填鴨教學。
 
對學生而言，幾何可以不只是數學難題，而是探索與理解自然的方式。

約翰．布雷克伍德John Blackwood
擁有近三十年的機械工程設計經驗，後來受到射影幾何學（Projective Geometry）家勞倫斯．愛德華（Lawrence Edwards）的啟發，開始研究植物幾何學。
曾於澳洲雪梨的史泰納學校（Glenaeon Rudolf Steiner School）教書，設計數學課程。他為十一及十二年級學生設計開發的課程，獲新南威爾斯省的教育部採用。
出版品有︰Mathematics in Nature, Space and Time, 2011; Geometry in Nature, 2012。

譯者簡介
林倉億

國立台灣師大數學系、數學所畢業，主修數學史。現任國立台南一中數學教師，曾任國立家齊女中數學教師、台南一中數理資優班導師，多次指導學生參加各種數學競賽、科展。喜歡在教學中引導、挑戰學生思考數學，並分享數學發展中具啟發性的想法與事件。與台灣HPM團隊合著《數之起源：中國數學史開章《筭數書》，合譯《爺爺的證明題：上帝存在嗎？》、《溫柔數學史：從古埃及到超級電腦》。另有多篇與數學教學或數學史相關的文章登載於《HPM通訊》及《教育部高中數學學科中心電子報》。

蘇惠玉

國立台灣師範大學數學系碩士班畢業，現任教於台北市立西松高中，《HPM通訊》主編，致力於應用數學史於學生的數學學習上。

蘇俊鴻

畢業於師大數學系博士班，主修數學史。現為臺北市立北一女中數學科教師。研究專業為明清數學史、數學史融入數學教學（HPM），對於各種能將數學豐富面向傳遞給學生的作法，充滿了好奇與嘗試的精神，現致力於推廣數學普及讀物的閱讀。

第一章 導論
1.1 機械中的思維
1.2 大自然的形式
1.3 自然界的方向
 
第二章 笛沙格和影子
2.1 笛沙格三角形定理
2.2 一系列的三角形
2.3 變異和特殊情形
2.4 兩側對稱
2.5 平移對稱
2.6 旋轉對稱
2.7 對偶與配極
 
第三章 幾何元素和它們的形態
3.1 平面元素
3.2 直線元素
3.3 點元素
3.4元素的相互依賴
 
第四章 大自然中的對稱
4.1植物中的兩側對稱
4.2礦物中的兩側對稱
4.3動物和人類中的兩側對稱
4.4大自然中的旋轉對稱及其形式
4.5花形中的旋轉
4.6旋轉與兩側對稱的結合
4.7大自然中的平移對稱
4.8 中心、外圍與兩種度量
4.9兩種二維性
 
第五章 不對稱的旋轉
5.1 不對稱的葉子
5.2 不對稱的花
5.2 浩瀚宇宙
 
第六章 直線的方向
6.1 礦物領域
6.2 植物界
6. 3 動物界
6.4 挺直的地球主人
6.5 結語
 
第七章 直線的測度
7.1 直線上的變換
7.2 成長測度
7.3 環繞測度與階段測度
7.4 包含一直線的平面
 
第八章 自然界的螺線
8.1 阿基米德螺線
8.2 等角或對數螺線
8.3 一般螺線
8.4 正則等角螺線
8.5 平面上的大自然螺線
8.6 一點上的二維性
8.7 一點上的自然螺線
 
第九章 三維的射影幾何
9.1 最簡單的三維形式
9.2 空氣漩渦與水漩渦
9.3 實四面體與正四面體
9.4 極端退化四面體
 
第十章 凸路徑曲線
10.1 一般的實三角形
10.2 一點在無窮遠處的實三角形
10.3 半虛三角形或複三角形
10.4 芽苞
10.5 蛋形
10.6 樹的邊界線
10.7 海膽
 
第十一章 凹路徑曲線
11.1 草樹和棕櫚葉
11.2 凹與凸的相互作用
 
第十二章 礦物界的形式
12.1 全實四面體的場域
12.2 無限大的全實四面體
12.3晶體結構
 
第十三章 植物界的形式
13.1半虛四面體
13.2 λ、ε和節點律動
13.3植物形態
13.4形態場
13.5 芽苞隨著時間的轉變
13.6蘇鐵葉的變換
 
第十四章 動物界的形式
14.1 蛋的螺線
14.2魚類
14.3 魚類形式的四面體
14.4 鱗片模式
14.5 生命的形式
 
第十五章 結論
15.1人類領域的幾何學
15.2不同領域的幾何學概述
15.3智能設計？

第一章 導論
本書的假設是，如果我們對事物能有一番思維（thoughts），那必定是該事物內秉的。這不是一個新的概念。要看出這些思維到底是什麼或許並不容易，但問題未必出在事物或思維本身，可能是我們自身的不足。
與某個現象有關的思維，可能過了一天、一年、甚至一個世紀，我們都還未必會發現它，但這並不意味它不在那裡。有某種重要的東西引導、構建、設計與支持著我們所見的事物，無論我們要不要去確認它。物理學家尤金‧維格納（Eugene Wigner）和許多人一樣，對於數學觀念與現實世界之間的奇妙關聯感到驚訝，他在一九六○年寫了一篇文章，名為〈數學在自然科學中不合理的有效性〉（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）。對我來說，如果數學不是有效的，那才是不合理！魯道夫‧史泰納（Rudolf Steiner, 1861-1925）在《自由哲學》（The Philosophy of Freedom）中表示，唯有當我們真正找到這樣的思維時，才會開始尋找真實（reality）。克拉克‧馬克士威爾（Clerk Maxwell, 1831-1879）憑借他的數學才能發現光傳播的定律，然後才是實驗驗證。然而，康德（Immanuel Kant, 1724-1804）卻認為這種真實永遠無法被找到。

1.1 機械中的思維

對於我們自己製造出來的機械裝置，了解其內含的思維一點也不困難，因為那是我們一開始就放進去的，不然它就無法運作。這世界的其他部分也是這樣子運作的嗎？如果不是，為什麼不是？我們可以藉由自己的心智想像來改變這個世界的一些面貌，不就證明了我們內在之物可以在外在世界找到一席之地。
我相信，我們不需要受限於莎士比亞所謂的「蒼白的思維」（pale cast of thought）。思維或許會開始黯淡，且持續一段很長的時間，但不必然就是我們的處境。有時候，一個想法就可以讓我們振奮起來――人們甚至會為了一個想法或理想而死。現今有蒼白的思維嗎？當然。只要看看某些人對於以「智能」（intelligent）一詞指稱世界時所爆發的狂怒，更不用說大自然裡有難以言喻的智慧。多麼「蒼白」啊！
教宗本篤十六世說：「世界是一個智能計畫（an intelligent project）。」就此而言，我恰好與他意見一致。但這不表示著我有絲毫認同基要主義者（fundamentalist）的創世論觀點或唯物主義的意識形態。非常不幸地，「科學」一詞（如同許多詞彙一樣）被獨占與箝制了。「科學」意指知曉，而非單指物質知識。我們每天經常使用的數學，計數與幾何，就屬於「非物質」的知識。「科學」一詞已經被物質的自然科學綁架了。這種人為的劃分，最好的情況就僅是一種限制，但最壞的情況就成為一種沒有絕對可信度的意識形態，如同其他信念體系一樣。喬思‧韋呂勒（Jos Verhulst）在他的生物學研究中煞費苦心地指出，許多標榜為科學的，其實只不過是一種潛在有害的意識形態。談及「許多專家熟知的達爾文學說的內在問題」時，他說：「在我看來，這種系統性漠視正當的反對意見，就等同於集體填鴨。」（維呂勒《發展動力學》〔Developmental Dynamics〕，頁360）
這本書並不是要討論認識論的細節，然而在我們想的與能感知到的兩者之間，似乎有某種聯結，這就是本書試著去探索的領域。誠然，這是真正的科學。我的信念是，科學是概念世界與現象世界的交織，這也是我在書中採用的認知模型。儘管概念與現象存在著本質上的差異，但它們必須要被適當權衡，原因很簡單，它們就是事物的一體兩面。
本書的出發點是幾何學――純粹概念的國度。我們從射影幾何學（projective geometry）開始，不同於歐幾里得幾何學，它並不依賴測量；測量和形式會從射影幾何的簡單變換中出現。在本書中，我們將針對大自然中發現的形式，探究其是否正確反映這些幾何形式。
幾何學的基本元素是點（point）、線（line）、面（plane）。我們每天觀看世界時，傾向將點視為最重要的，至於線和面則是由一系列的點構造出來。然而，我常常在想，我們能不能不要把我們的世界想成只由點構成，換句話說，不是只有點，而是「點與線」、「線與面」這種成對的元素，或是「點線面」這種三元一組的元素。如此一來，我們就不難理解如何使用這些複合元素及其運動來描述一個面（surface）。比方說，圖1.4中展示的「體」（field），就是由「點與線」自身有序的運動建立的，而不單單只有點。（在第八章關於路徑曲線中有更詳細的介紹。）

1.2 大自然的形式

本章接下來的目的是描述一些大自然形式的特徵。儘管我們十分熟悉周遭所見到的許多形式，但正因為熟悉，讓我們錯過了一些基本的東西。僅僅是知道並非真正的認識和理解。那麼，有理解自然結構的方法嗎？我們能從看到的各種形式中找出系統性嗎？
這裡有一些例子提醒我們有許多各式各樣的形式。例如，是什麼引導大葉南洋杉的枝葉生長成那種形式？是什麼安排棕櫚樹開展成那樣的形式？
同樣地，是什麼把哺乳動物的頭部構造成具有兩側對稱性？這種對稱性怎麼會在動物、植物和礦物界中無所不在？在人類世界中，我們亦視其為理所當然。白蟻的體型與大部分昆蟲一樣，呈現出腹部、胸部和頭部，這背後是否存在一個基本的模式？這是否證明了生物界內在的原始結構？除了顯而易見的五角星形，海星的形式是否有其打算？它的幾何是什麼？抑或，海膽的幾何是什麼？這些具有從嘴到背後縱向生長棘刺及節點的海膽，真的是蛋形而不是螺旋形嗎？
那葉子呢？葉子有什麼樣的葉脈？它們的各種分叉是否讓人聯想到混沌理論的概念？這是大自然如何從葉子節點（或莖節）走到葉子邊緣的足跡嗎？竹節上是否有什麼機制？如果有的話，它趨向什麼？那帝王花（protea）更迭出現的葉子呢？這種情況常見嗎？是典型的、可以解釋的嗎？那雞蛋的形式呢？松果與蘇鐵錐體上的神祕雙螺旋有值得探索的地方嗎？在這兩種顯然不同的物體上，有什麼本質上的相似之處嗎？
此外，一定有某種有規則的性質對應石英的美麗形式。從微觀的角度，科學對這些形式有非常充分的認識，然而是否仍有被忽略或未被談論過的觀點？例如，石榴石晶體是如何形成一個完整而清晰的菱形十二面體（即使有一點破損），而不只是許多雜亂的小菱形十二面體聚集在一個分子堆中？是不是因為平面與多面體形成的關聯比我們知道的還多？
還有，動物的華麗外觀、器官形式、循環系統、多樣細胞、外表圖樣、器官配置和交互作用之中，是不是有個支配一切的引導原型（guiding archetype），包含所有的形式、物種及其特化過程（specialisation）。這裡正好有兩個代表例子︰一隻漂亮的紅綠鸚鵡與（塔朗加）西部平原動物園裡的雄偉老虎。有沒有某種形式，所有動物世界的物種都由它發散而出，但又趨近於它？
我們能大膽地認為這種動物想要趨近卻已發散的形式，就是人類的形式嗎？這是其他動物想要達到卻都失敗的形式？或許這想法會被咒罵，但科學界從沒認真考慮過它。
每個人都有名字，每個人都是他或她自己的特有種，但每種動物卻都是透過其物種名稱才被認識。我不相信我們是動物，而且我也不相信我們曾經是：我們一直處於人類發展的階段，而不僅僅是一個倖存的動物。

1.3 自然界的方向（大標）

大自然裡的每個界域似乎都與特定方向（或賦向）有著密切的關係，這些方向又在許多重要方面彼此關聯。幾何學的核心元素是線，線與自然界有什麼關係呢？
線的幾何就是成對的連結（a paired articulation），無論是靜態的還是動態的，這反映在大自然之中。儘管礦物界仍然讓我費解，但是在生物界中，有兩個焦點位於一條像脊椎般的線上。在植物界裡，它們是鉛直線的兩端（冠層和下胚軸）；而在動物界中，則是一條傾向水平的線的兩端（頭部和尾部）。
接下來，則是關於平移、鏡射和旋轉這三種主要對稱的祕密。它們是如何散佈在自然界之中？在植物界，平移消失了，剩下鏡射（葉子）與旋轉（分支節點上）；而在動物界，平移和旋轉消失了，剩下鏡射。
一株植物或一棵樹的大方向是環繞直立莖向上生長的；而在動物界裡，一般來說脊椎是水平方向的，即便是那些看起來好像是直立的動物，例如企鵝、袋鼠或大猩猩，仔細觀察就會發現，當企鵝游泳、袋鼠跳躍或大猩猩四腳奔跑時，水平方向才是主宰。然而，人類在直立姿態中，展現的是鉛直賦向，這再一次顯示人類與動物的截然不同。