水源性傳染病模型研究以及數值計算

眾所周知，傳染病是人類健康的大敵，是由各種病原體引起的能在人與人、動物與動物或人與動物之間相互傳播的一類疾病。
為了更好地研究傳染病流行的規律，描述傳染病的傳播過程，分析被感染人數的變化規律，預測傳染病未來爆發的情況，研究並找出控制疾病流行的方法，研究者建立能反應傳染病動力學特性的數學模型，可以把傳染病的主要特徵、重要因素之間的聯繫通過各種參數、變量和它們之間的聯繫清晰地揭示出來，加以討論，從而為政府部門決策提供強有力的理論基礎。這是一件利國利民、非常有意義的工作。
本書偏重於該類水源性模型的定性研究。全書共分8章。第1-2章介紹一些傳染病的基本知識、建模思想等。第3章介紹水源性傳染病的特點以及目前一些經典的研究該類傳染病的模型，為初學者奠定良好的基礎。後面5章將分時滯模型、離散模型、最優控制等專題進行系統的介紹。
要掌握本書中的知識， 需要具備一些基本的計算數學、常微分和偏微分方程數值解和生物數學的知識。本書適合廣大從事生物數學的研究者和動力學系統的研究者作為參考書，也可供計算數學專業高年級本科學生和研究生作為學習資料。

楊煒明，統計學教授，著有《水源性傳染病模型研究以及數值計算》。

前言
傳染病防治是關係到國計民生的重大問題，針對各種傳染病進行建模、分析、數值模擬和後期預測制定防治措施是一件利國利民的重要工作。本書針對一類具有多種傳播途徑的水源性傳染病進行研究，此類傳染病的特點是其傳播方式不但包含人與人之間的直接傳播，還包含人與環境之間的間接傳播。本書研究水源性傳染病的流行規律，描述其傳播過程，分析被感染人數的變化規律，預測該傳染病未來爆發的情況，並積極尋找有效控制策略，從而為公共衛生部門提供一些決策的理論支持。
本書偏重於該類水源性模型的定性研究。全書共分8章。第1-2章介紹一些傳染病的基本知識、建模思想等。第3章介紹水源性傳染病的特點以及目前一些經典的研究該類傳染病的模型，為初學者奠定良好的基礎。後面5章將分時滯模型、離散模型、最優控制等專題進行系統的介紹。要掌握本書中的知識， 需要具備一些基本的計算數學、常微分和偏微分方程數值解和生物數學的知識。本書適合廣大從事生物數學的研究者和動力學系統的研究者作為參考書，也可供計算數學專業高年級本科學生和研究生作為學習資料。
本書由楊煒明教授設計體系，負責統稿並編寫第1-4章，由廖書教授編寫第5-8章。在寫作過程中，編者參閱了大量的參考文獻，在此對參考文獻的作者表示誠摯的謝意！
由於編者水準有限，撰寫倉促，書中難免存在疏漏和不足之處，所引用的結果和文獻也會有所遺漏， 懇請讀者批評指正。
楊煒明

1簡介
2數學背景
2.1基本再生數R0
2.2穩定性
2.3全局穩定性
2.4模型的分支與分支圖
3穩定性分析
3.1無病平衡點和基本再生數R0
3.1.1 Hartley的模型
3.1.2 Mukandavire的模型
3.2地方病平衡點
3.2.1 Hartley的模型
3.2.2 Mukandavire的模型
3.2.3分支圖形
3.3數值模擬
4一般霍亂模型
4.1模型構造
4.2再生矩陣分析
4.3 DFE全局穩定性
4.4地方病平衡點
4.5地方病平衡點的穩定性
4.5.1局部穩定性
4.5.2圖形分支
4.6舉例應用
5全局穩定性分析
5.1地方病平衡點的穩定性
5.2組合模型
5.3 Hartley的模型
5.4數值模擬
6帶時滯模型
6.1單時滯霍亂模型
6.1.1時滯模型
6.1.2無病平衡點的穩定性
6.1.3當τ=0時， 地方病平衡點穩定性
6.1.4當τ≠0 時， 地方病平衡點穩定性
6.1.5數值模擬
6.2雙時滯霍亂模型
6.2.1雙時滯模型
6.2.2穩定性分析和Hopf分支
6.2.3穩定性分析和週期解
7離散模型
7.1 ODE模型
7.1.1模型
7.1.2 NSFD離散化模型
7.1.3 NSFD無病平衡點的穩定性
7.1.4地方病平衡點
7.1.5數值模擬
7.2帶擴散項的離散模型
7.2.1 ODE模型
7.2.2離散化模型
7.2.3無病平衡點的全局穩定性
7.2.4地方病平衡點的全局穩定性
7.2.5數值模擬
7.3帶擴散項和時滯模型的週期解
7.3.1帶擴散項和時滯的模型
7.3.2模型的穩定性分析和Hopf分支
7.3.3穩定性分析和週期解
7.3.4數值模擬
8最優控制
8.1添加控制的模型
8.1.1 Codeco模型無病平衡點
8.1.2 Codeco模型地方病平衡點
8.2帶控制的一般模型
8.3最優控制的霍亂模型
8.3.1最優控制模型
8.3.2無病平衡點
8.3.3地方病平衡點
8.3.4最優控制的計算
8.3.5模型模擬
參考文獻

雙時滯霍亂模型
近年來隨著社會的不斷進步，科學技術的不斷發展，大眾媒體如電視、廣播、網路、手機、數位媒體等也隨之蓬勃發展起來。一些研究者注意到媒體效應在傳染病防控中起到了舉足輕重的作用。媒體傳播以其獨有的傳播優勢幫助人們不受時間和空間的限制，以最快的速度和最高的效率傳遞信息與知識，加速人與人之間的交流。當傳染病爆發時，不管身處何地，人們都能迅速通過媒體途徑瞭解傳染病的相關信息，包括感染原因、傳播方式、預防方法等，這些正確的信息可以引導人們積極防範疾病、規避風險、穩定情緒，從而控制傳染病的流行。例如，H1N1流感自2009年從墨西哥爆發後，公共媒體對感染症狀、感染者數量、死亡病例數量和預防措施等信息及時進行報導，人們的行為和習慣因此受到影響，自發地開始戴口罩、勤洗手、盡量少去人多的公眾場合等，從而減少疾病傳播的有效接觸率，直接降低了感染者的數量。所以研究媒體信息傳播對傳染病的預防控制具有重要意義。
2007年Liu首次引入媒體報導這一因素建立一個EIH模型， 引入媒體影響因子函數f(E, I, H)=e-a1E-a2I-a3H，研究媒體報導對傳染病多次爆發或持續週期震盪帶來的影響。但該模型並沒有考慮到總人口數量的變化。Misra等建立了利用媒體效應來控制傳染病的SISM模型，考慮到了易感者在媒體宣傳作用下成為一類有防控意識的易感者，感染者人數先慢慢降低，但隨著時間推移，一些採取自我保護措施的易感者的預防意識會淡化，並逐漸轉化為無防範意識的易感者，因而感染者又會隨之增加。Cui改進了模型，也就媒體報導對傳染病控制的影響進行了系統的研究，並考慮到當傳染病爆發時，由於媒體獲取信息需要一段時間，從而建立時滯模型。其研究結果表明媒體影響會導致疾病傳播的震盪減弱，從而減少感染者人數。Collinson等在H1N1模型中引入媒體報導因素，確認隨著媒體的深入報導和正面引導會極大降低病毒的接觸率。但當媒體宣傳慢慢疲勞減弱的時候，又會抑制這些正面影響。Misra等也是考慮到了執行媒體宣傳時的時滯影響，從而建立一個具有媒體效應的時滯模型。該文的研究結果表明媒體效應起到很重要的防控作用，且時滯會引起Hopf分支。
劉玉英和肖燕妮建立了一個受媒體影響且具有分段感染率的傳染病模型，用一個非光滑函數刻畫媒體影響因子，當染病者人數低於函數臨界值時，影響因子函數隨著染病者人數的增加成指數遞減的趨勢；但當染病者數量達到或超過臨界值時，影響因子始終為一固定值。最後該文還根據基本再生數的大小分析了各平衡態的局部和全局漸近穩定性。Sun等討論了儘管媒體宣傳並不是控制傳染病流行的決定性因素， 但還是起著不可忽視的重要作用。張素霞和周義倉研究了由於媒體影響而導致易感性不同的一個SEI傳染病模型並分析了模型可能出現的後向分支及其平衡點的穩定性和持久性，以及討論媒體的宣傳作用對易感者人群進行影響的最優控制策略。最近，Greenhalgh等建立了多時滯模型，分析了其穩定性並採用肺炎為例進行數值模擬。

離散模型
前面章節中所有提到的與霍亂相關的模型全是按照時間建立的連續模型，相對連續傳染病模型， 離散傳染病模型的研究還處於探索階段，離散模型比連續模型具有更明顯的優勢。首先離散模型可以呈現更複雜的動力學性態；其次傳染病的統計數據通常是在一定的時間間隔下得到的， 不具有連續性，而離散模型恰恰能以任意時間步長為單位，可以更有效地採用離散統計數據；最後運用離散模型計算結果更精確，參數的估計和初值的選取更簡潔明瞭。Frank和Abdul-Azizyakubu建立了一個SIS離散傳染病模型，並展示Hopf分支現象。Sekiguchi和Ishiwata對帶時滯的SIRS傳染病模型構造了離散格式，並求解全局穩定性的充分條件。Allen計算了時滯傳染病模型的基本再生數。
但要注意到模型離散化後動力學行為變得非常複雜， 選擇正確的離散方法至關重要。而Euler方法，Runge-Kutta方法等通常不能很好地保持原連續模型的動力學行為和性質，或者解會產生一些不穩定性，引起分支或者振動等。有限差分方法指的是給定一組統一的網格點，在這些網格點上用網格函數替代連續函數，用差商代替微分方程的導數，從而得到一個差分方程，差分方程的解即為微分方程的解的近似。有限差分方法由於引入步長從而導致所生成的參數空間比相應的微分方程的參數空間要大。當用數值方法求解偏微分方程時，如何構造偏微分方程的動力學相容的數值方法是一個需要重點解決的問題。為了在離散的過程中保持原連續模型的動力學性質，包括解的正性、有界性、單調性、週期解以及分支行為等，並得到更精確的解，Mickens提出非標準有限差分方法（NSFD），並將精確有限差分方法和標準有限差分方法作對比，給出幾個能夠消除數值不穩定性的規則，然後利用這些規則來構造有限差分方法，從而產生非標準有限差分方法，規則如下：
（１） 離散導數的階應等於原微分方程的導數的階。
（２） 離散導數的分母函數必須是由關於步長的函數組成，且形式要更為複雜。
（３） 非線性項一般情況下應由非局部的離散表達式代替。
（４） 有限差分格式產生的數值解也應滿足微分方程的解滿足的特殊條件。
（５） 有限差分格式不能引入與原微分方程不相關的解或僞解。
（６） 對有n>2項的微分方程，一般對各個子方程構造由mVillanueva等發展NSFD方法對肥胖人口動態進行數值解和分析，Jodar等採用NSFD法離散流感模型，離散模型和原連續模型保持一致動力學性質，但是他們的文章中並沒有給出模型穩定性的證明。Guerrero等利用NSFD的方法離散了西班牙吸菸模型，並與RK4方法進行比較，得出NSFD法更優的結論。Suryanto等利用NSFD的方法離散SIR模型，數值模擬表明運用NSFD方法可以採用較大的步長以節約計算成本。本書考慮到離散傳染病模型可以更現實更精確地理解霍亂的傳播和流行機制，制定防禦策略，故採用Mickens的非標準有限差分方法（NSFD）來離散建立的霍亂連續模型，構造其離散數值系統，並與其對應的原始連續模型保持一致的平衡點、正性和有界性等特性。當基本再生數小於1時，系統的無病平衡點是局部漸近穩定和全局漸近穩定的。當基本再生數大於1時， 通過構造適當的Lyapunov函數，地方病平衡點也是全局漸近穩定的。最後再用該離散模型來描述和數值模擬2008年的津巴布韋霍亂。