阿基米德經典著作集（簡體書）

導讀

凌復華

一、 阿基米德是誰?

一提起阿基米德,許多讀者會立刻想到關於他的三個故事。

第一個故事,說的是阿基米德在澡盆裡泡澡時,突然悟出了如何解決敘拉古國王希倫(Hieron)交給他的難題:在不損壞王冠的前提下,檢驗王冠是否為純金。找到答案後,他激動不已,來不及穿上衣服就光著身子在大街上狂奔,邊跑邊喊:“尤裡卡(Eureka)! 尤裡卡(Eureka)!”意思是“找到了! 找到了!”這個故事引出了我們現在熟知的“浮力定律”。

第二個故事,阿基米德聲稱:給我一個支點,我就能撬動地球。這也是出於希倫國王的要求,阿基米德向他演示如何用很小的力,移動很重的物體。在國王和眾多市民的矚目之下,阿基米德借助一套複雜的曲柄滑輪機械,以一己之力移動了一艘大船,然後就說出了“給我一個支點,我就能撬動地球”這句豪言壯語。

這個故事引出了我們現在熟知的“杠桿原理”。

第三個故事,說的是阿基米德癡迷於幾何學。癡迷到什麼程度呢? 當敘拉古被羅馬大軍攻破時,他渾然不覺,仍專注於自己在地面上描畫的幾何圖形。羅馬士兵破門而入,他大聲呵責:“不要碰壞我的圖!”阿基米德因此激怒羅馬士兵而被殺害。(關於阿基米德被殺害經過,有多種版本,但大同小異。)

這三個故事,給世人留下了深刻的印象。

阿基米德的一位朋友赫拉克利德斯(Heracleides),曾撰寫過阿基米德的生平傳記,但該傳記未能存留至今。因此,我們對阿基米德的生活細節不甚清楚,例如,他是否結婚? 有無子嗣? 這些都不清楚。不過,比較確切知道的有以下事實:

第一,阿基米德在他的著作《數沙者》中提到,他父親是一位天文學家,名為菲迪亞斯(Pheidias)。

第二,阿基米德與敘拉古國王希倫和王子革隆(Gelon)之間的關係十分密切,他們很可能是親戚。

第三,亞歷山大城是當時的希臘文化中心,有一座聞名於世的亞歷山大圖書館,云集了各地慕名而來的學者。阿基米德曾在亞歷山大城待過一段時間,在那裡學習和做研究。這意味著,他曾與大數學家歐幾裡得的學生一起做過研究工作。在亞歷山大城,阿基米德結識了當時的著名學者———來自薩摩斯的科農(Conon)和數學家厄拉多塞。阿基米德習慣於在發表新成果之前與科農溝通,也曾把“牛群問題”的要點寄給厄拉多塞。他還把自己的幾部作品題獻給另一位朋友,來自佩魯西烏姆的多西休斯(Dositheus),他是科農的學生,也住在亞歷山大。

第四,從繁華的亞歷山大城回到故鄉敘拉古以後,阿基米德再也沒有離開過。他把全部精力用於研究幾何學,順便又發明了許多精巧的機械。但這些機械對他而言只是“幾何之余的消遣” ,他並不看重。

第五,阿基米德發明的一些機械,讓攻打敘拉古的羅馬士兵聞風喪膽,主帥不得不轉而圍城。三年後,敘拉古因為防務出現漏洞而被攻破。

第六,敘拉古陷落後,陷入一片混亂之中,但阿基米德仍全神貫注於他在沙地上繪製的幾何圖形。他被一名羅馬士兵所殺,但那名士兵並不知道被殺者是誰。

第七,阿基米德曾請求他的朋友和親戚,在他的墓上放置一個內部有相切圓球的圓柱體,並在其上鐫刻圓柱體與圓球的體積之比及面積之比(均為3∶2)。

可見,他把這個比值的發現,看作他一生最重要的成就。公元前75年,即他去世137年後,時任西西裡島財務官的羅馬政治家、演說家西塞羅(Cicero),找到了被廢棄的阿基米德墓,看到了墓碑上鐫刻的銘文詩句。西塞羅隨後對墓地進行了修繕。

除此之外,還有許多關於阿基米德的傳說,如他會忘記食物和其他生活必需品,他會在爐灰或者在抹油的身上勾畫幾何圖形;再如上面提到的測量王冠、杠桿拖動大船,以及後面將要講到的用鏡面和大吊車摧毀羅馬戰船,等等。雖然有的略顯夸張,但很能體現這位偉大科學家的性格和智能。

……

五、 對阿基米德著作的保存、傳播和研究

希臘學者的書最初寫在紙草上，不易保存，傳世很少。約公元前170年，人們發明了羊皮紙，公元3世紀起，羊皮紙在歐洲廣泛應用，直到14世紀被中國紙替代。迄今為止，尚未發現阿基米德本人的手稿。

公元5世紀，西羅馬帝國滅亡後，西歐進入黑暗時期，懂希臘語的人寥寥無幾。6世紀時常見的阿基米德著作，不過兩三種而已。那時有少量拉丁語譯本，保存於修道院圖書館中。6世紀阿拉伯人崛起後，不少希臘語著作被譯為阿拉伯語。10世紀中葉開始，大量希臘語著作被翻譯為拉丁語，首先便是借助已有的阿拉伯語譯本。

阿基米德著作的希臘語原本被不斷轉抄，但它們都源自9—10世紀的所謂瓦拉手抄本，遺憾的是它已無跡可尋。瓦拉(Georga Valla)於1486至1499年間執教於威尼斯;他本人翻譯了阿基米德和尤托西烏斯的部分著作。我們只知道，瓦拉的阿基米德原本，看起來是根據屬於一位精通數學人士的原稿，細心抄寫而成的。但原稿從何而來，又是如何編輯而成的，便不得而知了。瓦拉的阿基米德原本，收集了十余本專著，遠多於幾個世紀前可以找到的，真是十分幸運，但其來源不詳，令人猜測。此外，阿基米德著作拉丁語譯本的印刷，始於1544年巴塞爾首印版。

丹麥學者海貝格(Johan Heiberg，1854—1928)，在1879年的博士論文《解讀阿基米德》中，探討了阿基米德著作的各種版本。此後不久，他推出一個令人滿意、至今沿用的希臘語版本。1906年，海貝格又在君士坦丁堡發現了抄寫在阿基米德的書上的一本祈禱書。幸運的是，抄寫者未能把原文完全抹去，原來的文字仍然或多或少可以辨認。特別是，書中包含了一直以為佚失的《方法》，還有被稱為阿基米德盒子的拼圖智力遊戲。

讀者現在看到的這本《阿基米德經典著作集》，包括了阿基米德所有的存世著作。這些著作包括:

《論球與圓柱》《圓的度量》《論擬圓錐與旋轉橢球》《論螺線》《論平面圖形的平衡或平面圖形的重心》《數沙者》《拋物線弓形求積》《論浮體》《引理匯編》《牛群問題》《阿基米德的方法》。

還有一些阿基米德的著作在文獻中有比較確鑿的記載，但已佚失。帕普斯(Pappus，約290—約350)描述了阿基米德發現的13種半正多面體，由等邊、等角但不相似的多邊形面構成;《論平衡或杠桿》;一本內容與算術有關的書，標題為《原理》;一部光學方面的著作;《論球的製作》，描述了如何製作水力驅動的天象儀;《論重心》《論曲面軌跡》。又根據喜帕恰斯所述，阿基米德一定寫過關於日歷或年的長度的書。

一些阿拉伯學者認為，阿基米德還寫了以下幾本書，但除了第一個主題的內容見於文獻外，其他並無確證。這些書是: 《論圓周上的七邊形》《論相切的圓》《論平行線》《論三角形》《論直角三角形的性質》以及關於數的書。

在保存、傳播和研究阿基米德著作方面有重大貢獻的學者中，除了海貝格之外，首推本書英文原版的編寫者，英國學者希思(T.L.Heath，1861—1940)。他是20世紀最負盛名的古希臘數學史研究者，自1885年開始寫了十余本書，涵蓋了所有主要的古希臘數學家，包括歐幾裡得、阿基米德和阿波羅尼奧斯。本書的英語原版於1897年出版，包括了當時已知的13篇阿基米德著作，1912年第二版又補充了新發現的一篇。

英語原版不是簡單的翻譯，而是在忠於原著的基礎上重新編寫，還加入了一些歷史資料，並采用現代記法，以便於閱讀。該書還有一篇詳盡的引言，篇幅約為正文的四分之一，除了介紹書中的內容，也補充了不少其他資料，更有編者本人和其他學者多年來對阿基米德工作的研究和分析。這些使該書成為當今數學界應用最廣的阿基米德著作英文版本。

數沙者

“革隆國王,有人認為,沙的數量是巨大無窮的;然而我所說的沙所在的地方,還不只是敘拉古附近和西西裡的其余部分,也包括每個有人居住或荒無人煙的區域。也有一些人,他們不認為這個數量是無窮的,只是還沒有人命名一個數字,足以超出沙的巨大數量而已。很明顯,那些持有這種觀點的人,若他們想象由沙子構成的一個大團,像地球那樣大,其中包括地球上的所有海洋和所有空地,充滿了沙子直到最高的山頂,他們會承認,距離找到任何數字來表達這些沙的數量,還相差很遠。

但我試圖借助您可以理解的幾何論證向您說明,我寄給宙克西帕斯的文章中給出的數字命名,有一些不僅超出了上述把地球充滿的沙的數量,也超出了把全宇宙充滿的沙的數量。您現在知道‘宇宙’是由大多數天文學家給出的一個球的名稱,其中心位於地球的中心,其半徑等於太陽的中心與地球的中心之間的距離。這是您從天文學家那裡聽到的通常的說法。但薩摩斯的阿利斯塔克寫的一本書包含了一些假設,導致的結論是,宇宙比現在所認為的要大好多倍。他的假設是,太陽和恒星是固定不動的,地球在以太陽為中心的圓周軌道上環繞太陽旋轉,而恒星位於與太陽有相同中心的球面上,他假定地球的環行圓周是如此之大,以致它與到恒星的距離之比,如同球心與球面之比。

現在容易看出這是不可能的;因為球心沒有大小,不能設想它與球面有任何比例。但我們必須認為阿利斯塔克的意思是: 因為我們設想地球從來就是宇宙的中心,地球與我們所述的‘宇宙’之比,與包含他假設的地球環行圓的球與恒星所在的球之比相同。因為他在證明他的結果時采用了這種類型的假設,尤其是他假定用來表示地球運動的球的大小,似乎等於我們所說的‘宇宙’。

於是我說,即使用沙做成的球的大小與阿利斯塔克假定的恒星的球相同,我仍然可以證明,在《原理》中命名的數字裡面,有一些超出了所述大小的球中沙的數目好多倍,如果作以下假設。

1. 地球的周邊約3000000 斯塔德（注：希臘人喜用的一個長度單位，等於185~192米）但並不更大。

如您所知,確實有許多人試圖證明所述的周邊是300000斯塔德。但我更進一步,取地球的大小為前人設想的十倍,約3000000斯塔德,但並不更大。

2. 地球的直徑大於月球的直徑,太陽的直徑大於地球的直徑在本假設中,我遵循大多數前輩天文學家。

3. 太陽的直徑約為月球直徑的30 倍,但並不更大。

事實上,前輩天文學家歐多克斯認為約9倍大,我的父親菲迪亞斯認為是12倍,而阿利斯塔克試圖證明,太陽的直徑大於月球直徑的18倍,但小於20倍。而我比阿利斯塔克更進一步,為了可以無爭議地確立我的命題的真實性,我假定太陽的直徑約為月球直徑的30倍,但並不更大。

4. 太陽的直徑大於宇宙(球)大圓內接1000 邊形的一邊。

我做這個假設的原因在於,阿利斯塔克發現太陽看起來約為黃道圓的1720,而我自己曾試圖借助我現在將描述的一種方法,用實驗找到頂點在人眼時太陽的張角,即視角。

實驗結果表明,太陽直徑的視角小於直角的1164,大於直角的 1200。

下面證明(對本假設)太陽的直徑大於宇宙(球)大圓內接1000 邊形的一邊。

假定當太陽剛升起浮出地平線之上時,紙面是通過太陽中心、地球中心與眼睛的平面。設該平面截地球於圓EHL 及截太陽於圓FKG,地球與太陽的中心分別是C,O,而E 是眼睛的位置。

進而,設截‘宇宙’球(即中心在C,半徑為CO 的球)的平面就是大圓AOB所在的平面。由E 作圓FKG 的兩條切線相切於P ,Q,又由C 作同一圓的另外兩條切線,相切於F,G。

設CO 與地球的截線和太陽的截線分別相交於H ,K ;並設CF,CG 的延長線與大圓AOB 相交於A ,B。

連接EO,OF,OG,OP ,OQ,AB,並設AB 與CO 相交於M 。

現在CO>EO,因為太陽恰好在地平線之上。因此

∠PEQ>∠FCG