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《Sturm-Liouville問題及其逆問題》介紹Sturm-Liouville問題誘導出的常微分算子(即Sturm-ouville算子), 以及其譜的定性和定量分析？特徵函數係的完備性？按特徵函數展開？特徵函數的振動性, 以及Sturm-Liouville逆問題,包括Ambarzumian定理？Borg-Levinson定理？半逆譜問題？確定勢函數的封閉性條件？逆譜數據問題？逆節點問題及勢函數的重構. 此外, 《Sturm-Liouville問題及其逆問題》還簡單介紹Jacobi矩陣(即離散化的Sturm-Liouville問題) 的特徵值與逆問題等.
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目次
第1章Sturm-Liouville問題的物理背景1
1.1有限長均勻細管的熱傳導問題1
1.2非均勻弦的自由振動問題4
1.3桿的軸向振動與扭轉振動問題6
1.4微博傳輸問題9
1.5一維定態Schr6dinger方程11
1.6KdV方程的Lax對12
第2章Sturm-Liouville問題14
2.1Sturm-Liouville算子及其特徵值的定性分析14
2.1.1Sturm-Liouville算子與Liouville變換14
2.1.2Sturm-Liouville算子的特徵函數與廣義特徵函數17
2.1.3Sturm-Liouville算子特徵值的定性分析23
2.1.4預解式與Green函數27
2.2Sturm-Liouville算子特徵值的定量分析31
2.2.1基本解的積分方程表達形式31
2.2.2基本解的變換算子表達形式32
2.2.3基本解和m-函數的漸近式45
2.2.4特徵值的定量分析50
2.2.5特徵值？對應特徵函數及規範常數的漸近式55
2.3特徵函數係的完備性與特徵展開62
2.4特徵值的交錯性與特徵函數的振動性65
2.4.1特徵值的交錯性65
2.4.2特徵函數的振動性66
2.4.3與直和問題特徵值的交錯性72
第3章Sturm-Liouville逆問題78
3.1基本78
3.2唯一性的基本定理79
3.2.1Ambarzumian定理79
3.2.2整函數H(A)80
3.2.3Borg-Levinson定理86
3.3部分區間上的唯一性89
3.3 .1半逆譜問題89
3.3.2部分譜逆問題90
3.3.3具有相同下標的逆特徵值問題99
3.4確定勢函數的封閉性條件100
3.4.1封閉性充分條件100
3.4.2封閉性條件的應用104
3.4.3封閉性必要條件108
3.5直和空間上的逆譜問題116
3.6缺少有限個特徵值時勢函數的差異121
3.7逆譜數據問題和逆結點問題136
3.7.1逆譜數據問題136
3.7.2逆結點問題137
3.8勢函數的重構139
3.8.1Gelfand-Levitan方程139
3.8.2由譜數據重構Sturm-Liouville問題147
3.8.3由兩組譜重構Sturm-Liouville問題148
第4章離散Sturm-Liouville問題及逆問題150
4.1Jacobi矩陣150
4.1.1Sturm-Liouville問題的離散化150
4.1.2簡單振動系統151
4.2Jacobi矩陣的特徵值問題153
4.2.1Jacobi矩陣特徵值的性質153
4.2.2Jacobi矩陣特徵向量的變號數155
4.2.3Jacobi矩陣的m-函數158
4.2.4Jacobi矩陣特徵值對元素的連續依賴性162
4.2.5與Sturm-Liouville算子的比較164
4.3Jacobi矩陣的逆問題164
4.3.1兩組譜的逆特徵值問題165
4.3.2廣對稱情形的逆特徵值問題169
4.3.3Jacobi矩陣的逆譜數據問題173
4.3.4Jacobi矩陣的半逆特徵值問題178
4.3.5最大和最小特徵值的逆問題180
4.3.6關於Jacobi矩陣逆特徵值問題的小結與猜想182
4.4逆問題的算子描述183
參考文獻186
附錄A複分析196
A.1整函數的階196
A.2Phragmen-Lindelof定理197
A.3積？199
A.4Hadamard因子分解定理201
A.5Mittag-Leffler展式209
A.6指數函數係的封閉性211
A.6.1Jensen公式212
A.6.2指數函數係封閉的充分條件213
A.7Herglotz函數215
附錄B雙曲微分方程220
索引224
1.1有限長均勻細管的熱傳導問題1
1.2非均勻弦的自由振動問題4
1.3桿的軸向振動與扭轉振動問題6
1.4微博傳輸問題9
1.5一維定態Schr6dinger方程11
1.6KdV方程的Lax對12
第2章Sturm-Liouville問題14
2.1Sturm-Liouville算子及其特徵值的定性分析14
2.1.1Sturm-Liouville算子與Liouville變換14
2.1.2Sturm-Liouville算子的特徵函數與廣義特徵函數17
2.1.3Sturm-Liouville算子特徵值的定性分析23
2.1.4預解式與Green函數27
2.2Sturm-Liouville算子特徵值的定量分析31
2.2.1基本解的積分方程表達形式31
2.2.2基本解的變換算子表達形式32
2.2.3基本解和m-函數的漸近式45
2.2.4特徵值的定量分析50
2.2.5特徵值？對應特徵函數及規範常數的漸近式55
2.3特徵函數係的完備性與特徵展開62
2.4特徵值的交錯性與特徵函數的振動性65
2.4.1特徵值的交錯性65
2.4.2特徵函數的振動性66
2.4.3與直和問題特徵值的交錯性72
第3章Sturm-Liouville逆問題78
3.1基本78
3.2唯一性的基本定理79
3.2.1Ambarzumian定理79
3.2.2整函數H(A)80
3.2.3Borg-Levinson定理86
3.3部分區間上的唯一性89
3.3 .1半逆譜問題89
3.3.2部分譜逆問題90
3.3.3具有相同下標的逆特徵值問題99
3.4確定勢函數的封閉性條件100
3.4.1封閉性充分條件100
3.4.2封閉性條件的應用104
3.4.3封閉性必要條件108
3.5直和空間上的逆譜問題116
3.6缺少有限個特徵值時勢函數的差異121
3.7逆譜數據問題和逆結點問題136
3.7.1逆譜數據問題136
3.7.2逆結點問題137
3.8勢函數的重構139
3.8.1Gelfand-Levitan方程139
3.8.2由譜數據重構Sturm-Liouville問題147
3.8.3由兩組譜重構Sturm-Liouville問題148
第4章離散Sturm-Liouville問題及逆問題150
4.1Jacobi矩陣150
4.1.1Sturm-Liouville問題的離散化150
4.1.2簡單振動系統151
4.2Jacobi矩陣的特徵值問題153
4.2.1Jacobi矩陣特徵值的性質153
4.2.2Jacobi矩陣特徵向量的變號數155
4.2.3Jacobi矩陣的m-函數158
4.2.4Jacobi矩陣特徵值對元素的連續依賴性162
4.2.5與Sturm-Liouville算子的比較164
4.3Jacobi矩陣的逆問題164
4.3.1兩組譜的逆特徵值問題165
4.3.2廣對稱情形的逆特徵值問題169
4.3.3Jacobi矩陣的逆譜數據問題173
4.3.4Jacobi矩陣的半逆特徵值問題178
4.3.5最大和最小特徵值的逆問題180
4.3.6關於Jacobi矩陣逆特徵值問題的小結與猜想182
4.4逆問題的算子描述183
參考文獻186
附錄A複分析196
A.1整函數的階196
A.2Phragmen-Lindelof定理197
A.3積？199
A.4Hadamard因子分解定理201
A.5Mittag-Leffler展式209
A.6指數函數係的封閉性211
A.6.1Jensen公式212
A.6.2指數函數係封閉的充分條件213
A.7Herglotz函數215
附錄B雙曲微分方程220
索引224
書摘/試閱
第1章Sturm-Liouville問題的物理背景
經典Sturm-Liouville問題（簡稱SL問題）的一般形式
其中，首項係數（the first coefficient) p(x)，勢函數(potential) q(x)和權函數都是區間[a，b]上的實值函數，幾乎處處為正.
邊條件分別表示分別稱為在端點a和&處滿足Dirichlet邊條件；稱為Neumann邊條件.
使SL問題存在非平凡解的A e C稱為SL問題的特徵值(eigenvalue)，對應的非平凡解稱為對應於A的特徵函數（也稱為特徵向量，eigen？function) .
SL問題起源於19世紀初求解固體熱傳導模型的Fourier方法，C. Sturm和J. Liouville將J. Fourier的方法進行推廣，形成了SL問題理論.它是解決振動方程、波動方程和熱傳導方程等數學物理方程定解問題的基礎.為便於讀者了解SL問題的具體應用，這裡對它的若干物理背景做一簡述.
1.1有限長均勻細管的熱傳導問題
設有一段有限長的絕熱細管放置在x軸上，兩端點坐標分別為a和6 (6 > a).在x處，記其截面積為處)，密度分佈為p⑷，其熱傳導率為fc㈦，其比熱（即單位質量的物體升高單位溫度所需吸收的熱量）為令t時刻x點處截面上的溫度為時溫度分佈為且設管中無熱源.
考慮從a;到z + dbr的微元（圖1.1.1)，由Fourier傳熱定律：熱流流速單位時間內流過單位面積的熱量，與溫度的梯度成正比，比例常數k>0稱為熱傳導率，故t時刻到時間段內從左到右流過o:點截面的熱量為
其中負號“ -”表示熱流方向與溫度的梯度方向相反，即若>0，則熱流的實際方向是從右向左.
圖1.1.1細桿熱流傳導示意圖
類似地，單位時間內從左到右流過點截面的熱量為
由熱量守恆定律，並註意到管的側面絕熱且桿中無熱源，則有“微元升溫所需熱量=流過兩個截面後留下的熱量”，即
因此幻滿足方程
不妨假設外界環境的溫度為0 (如果外界溫度為T，那麼以= u(x，t)-T代替u( x，t)即可).根據熱傳導的Newton定律，端點處的散熱量與端點處和外界的溫差成正比（該比例係數稱為熱交換係數)，以及熱量守恆定律，即端點處流出到外界的熱量與管內流向該端點的熱量相等，結合流過截面的熱量公式（1.1.1)即得其中常數h， H分別為在兩端管內外介質間的熱交換係數（由於在a端散熱方向是從右向左，所以a點的邊界條件(1.1.3)左端取正號).
特別地，若端點處也絕熱，則邊界條件為= 0，= 0，即為邊界
條件(1.1.4 )當/^ F = 0的特殊情形;若端點處的溫度始終保持與外界相同，則
用分離變量法求解方程（1.1.2).令= e_A可以證明（參見第2章)，SL問題有可數個單重的實特徵值，滿足
記對應於每一個特徵值An的特徵函數為如卜)，則
都是方程(1.1.2)滿足邊界條件(1.1.4)的解.由於方程(1.1.2)和邊界條件(1.1.4)都是齊次的，所以它們的任意線性組合
若能收斂到可微函數U(x，t)，則u(x，t)也是邊值問題（1.1.2)-(1.1_4)的解？要使u(x，t)滿足初始條件，則需其係數{c？}滿足
因此，求解上述熱傳導問題，就化歸為求解SL方程(1.1.5)-(1.1.7)的特徵值{An}和對應的特徵函數{%&)}，以及函數/⑷按特徵函數係{u？(x)|n = 0，1， }展開的譜問題.
1.2非均勻弦的自由振動問題
假設一段拉緊的非均勻弦，兩端固定在z軸上，端點坐標分別為a和6 (6 > a)，設其線密度函數為切Or)，張力為r(x).假設振動過程中沒有外界作用力，且設弦僅在垂直於x軸的方向做微小振動（也稱為橫向振動)，用表示t時刻x點偏離0；軸的位移.
考慮從x到的微兀（圖1.2.1)，端點x和x + dx的張力的水平分量相等，以保持弦在平行於x軸的方向沒有位移.由於振動微小，故弦的切線的傾角ai和喲都很接近於0.因此工點張力在垂直方向的分量為
其中負號表示該點張力的方向與切線方向相反.x + dx點張力在垂直方向的分量為
這兩個分力的合力引起該微元段的振動，由Newton第二定律可得
即得弦振動的機械運動方程邊界條件顯然是
由於兩端固定，所以振動方程(1.2.2)的解可以看成正波和反波形成的駐波
(公式中符號“”的含義是“將A定義為B”或“用A表示B” )代入振動方程(1.2.2)可得
上式左邊僅依賴於t，而右邊只依賴於坐標X，所以它一定等於一個常量，記為-A，這樣得到+)的SL特徵值問題
再由邊界條件(1.2.3)可得同樣可證SL問題（1.2.5)-(1.2.6)有可數個單重的實特徵值記對應於每一個特徵值K的特徵函數為同時令SL問題對應於A？的解為
其中An和Bn是待定係數.於是= (pn(t) vn(x)是方程(1.2.2)滿足邊界條件(1.2.3)的特解.再由疊加原理知，級數還是方程（1.2.2)滿足邊界條件（1.2.3)的解.代入初始條件（1.2.4)即有
因而求解振動系統（1.2.2)-(1.2.4)的解就轉化成求解SL問題（1.2.5)-(1.2.6)的特徵值An，對應的特徵函數及/⑷和s⑷按該特徵函數係展開的問題.
對於SL問題（1_2.5)-(1.2_6)的所有特徵值An，稱叫為是系統的固有頻率，對應的特徵函數Wn(X)稱為振型函數，表示弦對應於固有頻率的主振動.
若弦的一端（比如的那端）在垂直於X軸的直線上自由滑動，則由於沒有外界作用力，故該端微元左端在垂直方向上張力的分量為0，因此，根據式(1.2.1)就可得到自由邊界條件（也稱為Neumann邊界條件）
此時SL問題（I.2.5)的邊界條件(1.2.6)變成
若弦的一端（比如的那端）固定在z軸上的彈性支承，則弦對支承的拉力在垂直方向上的分量為由Hooke定律得到邊界條件（稱為Robin邊界條件）
其中k為支承的彈性係數.此時SL問題（1.2.5)的邊界條件(1.2.6)變成注在右端點，弦對支承的拉力與弦在該點的切線方向相反，所以在垂直方向上的分量要加符號“一”.
截面不均勻的水道中，根據質量守恆定律和動量方程可得到，沿水道軸向流動的水的自由面髙度u(x，t)也滿足方程( 1.2.2).此時係數了⑷=9 S{x)，其中是水道的截面積，g是重力加速度，w{x)對應著靜止時水道自由面的寬度.利用分離變量法也可轉化為同樣的SL問題.
1.3桿的軸向振動與扭轉振動問題
桿(或梁）的軸向振動問題具有相當大的工程意義，如飛機、汽車、火箭等受到
經典Sturm-Liouville問題（簡稱SL問題）的一般形式
其中，首項係數（the first coefficient) p(x)，勢函數(potential) q(x)和權函數都是區間[a，b]上的實值函數，幾乎處處為正.
邊條件分別表示分別稱為在端點a和&處滿足Dirichlet邊條件；稱為Neumann邊條件.
使SL問題存在非平凡解的A e C稱為SL問題的特徵值(eigenvalue)，對應的非平凡解稱為對應於A的特徵函數（也稱為特徵向量，eigen？function) .
SL問題起源於19世紀初求解固體熱傳導模型的Fourier方法，C. Sturm和J. Liouville將J. Fourier的方法進行推廣，形成了SL問題理論.它是解決振動方程、波動方程和熱傳導方程等數學物理方程定解問題的基礎.為便於讀者了解SL問題的具體應用，這裡對它的若干物理背景做一簡述.
1.1有限長均勻細管的熱傳導問題
設有一段有限長的絕熱細管放置在x軸上，兩端點坐標分別為a和6 (6 > a).在x處，記其截面積為處)，密度分佈為p⑷，其熱傳導率為fc㈦，其比熱（即單位質量的物體升高單位溫度所需吸收的熱量）為令t時刻x點處截面上的溫度為時溫度分佈為且設管中無熱源.
考慮從a;到z + dbr的微元（圖1.1.1)，由Fourier傳熱定律：熱流流速單位時間內流過單位面積的熱量，與溫度的梯度成正比，比例常數k>0稱為熱傳導率，故t時刻到時間段內從左到右流過o:點截面的熱量為
其中負號“ -”表示熱流方向與溫度的梯度方向相反，即若>0，則熱流的實際方向是從右向左.
圖1.1.1細桿熱流傳導示意圖
類似地，單位時間內從左到右流過點截面的熱量為
由熱量守恆定律，並註意到管的側面絕熱且桿中無熱源，則有“微元升溫所需熱量=流過兩個截面後留下的熱量”，即
因此幻滿足方程
不妨假設外界環境的溫度為0 (如果外界溫度為T，那麼以= u(x，t)-T代替u( x，t)即可).根據熱傳導的Newton定律，端點處的散熱量與端點處和外界的溫差成正比（該比例係數稱為熱交換係數)，以及熱量守恆定律，即端點處流出到外界的熱量與管內流向該端點的熱量相等，結合流過截面的熱量公式（1.1.1)即得其中常數h， H分別為在兩端管內外介質間的熱交換係數（由於在a端散熱方向是從右向左，所以a點的邊界條件(1.1.3)左端取正號).
特別地，若端點處也絕熱，則邊界條件為= 0，= 0，即為邊界
條件(1.1.4 )當/^ F = 0的特殊情形;若端點處的溫度始終保持與外界相同，則
用分離變量法求解方程（1.1.2).令= e_A可以證明（參見第2章)，SL問題有可數個單重的實特徵值，滿足
記對應於每一個特徵值An的特徵函數為如卜)，則
都是方程(1.1.2)滿足邊界條件(1.1.4)的解.由於方程(1.1.2)和邊界條件(1.1.4)都是齊次的，所以它們的任意線性組合
若能收斂到可微函數U(x，t)，則u(x，t)也是邊值問題（1.1.2)-(1.1_4)的解？要使u(x，t)滿足初始條件，則需其係數{c？}滿足
因此，求解上述熱傳導問題，就化歸為求解SL方程(1.1.5)-(1.1.7)的特徵值{An}和對應的特徵函數{%&)}，以及函數/⑷按特徵函數係{u？(x)|n = 0，1， }展開的譜問題.
1.2非均勻弦的自由振動問題
假設一段拉緊的非均勻弦，兩端固定在z軸上，端點坐標分別為a和6 (6 > a)，設其線密度函數為切Or)，張力為r(x).假設振動過程中沒有外界作用力，且設弦僅在垂直於x軸的方向做微小振動（也稱為橫向振動)，用表示t時刻x點偏離0；軸的位移.
考慮從x到的微兀（圖1.2.1)，端點x和x + dx的張力的水平分量相等，以保持弦在平行於x軸的方向沒有位移.由於振動微小，故弦的切線的傾角ai和喲都很接近於0.因此工點張力在垂直方向的分量為
其中負號表示該點張力的方向與切線方向相反.x + dx點張力在垂直方向的分量為
這兩個分力的合力引起該微元段的振動，由Newton第二定律可得
即得弦振動的機械運動方程邊界條件顯然是
由於兩端固定，所以振動方程(1.2.2)的解可以看成正波和反波形成的駐波
(公式中符號“”的含義是“將A定義為B”或“用A表示B” )代入振動方程(1.2.2)可得
上式左邊僅依賴於t，而右邊只依賴於坐標X，所以它一定等於一個常量，記為-A，這樣得到+)的SL特徵值問題
再由邊界條件(1.2.3)可得同樣可證SL問題（1.2.5)-(1.2.6)有可數個單重的實特徵值記對應於每一個特徵值K的特徵函數為同時令SL問題對應於A？的解為
其中An和Bn是待定係數.於是= (pn(t) vn(x)是方程(1.2.2)滿足邊界條件(1.2.3)的特解.再由疊加原理知，級數還是方程（1.2.2)滿足邊界條件（1.2.3)的解.代入初始條件（1.2.4)即有
因而求解振動系統（1.2.2)-(1.2.4)的解就轉化成求解SL問題（1.2.5)-(1.2.6)的特徵值An，對應的特徵函數及/⑷和s⑷按該特徵函數係展開的問題.
對於SL問題（1_2.5)-(1.2_6)的所有特徵值An，稱叫為是系統的固有頻率，對應的特徵函數Wn(X)稱為振型函數，表示弦對應於固有頻率的主振動.
若弦的一端（比如的那端）在垂直於X軸的直線上自由滑動，則由於沒有外界作用力，故該端微元左端在垂直方向上張力的分量為0，因此，根據式(1.2.1)就可得到自由邊界條件（也稱為Neumann邊界條件）
此時SL問題（I.2.5)的邊界條件(1.2.6)變成
若弦的一端（比如的那端）固定在z軸上的彈性支承，則弦對支承的拉力在垂直方向上的分量為由Hooke定律得到邊界條件（稱為Robin邊界條件）
其中k為支承的彈性係數.此時SL問題（1.2.5)的邊界條件(1.2.6)變成注在右端點，弦對支承的拉力與弦在該點的切線方向相反，所以在垂直方向上的分量要加符號“一”.
截面不均勻的水道中，根據質量守恆定律和動量方程可得到，沿水道軸向流動的水的自由面髙度u(x，t)也滿足方程( 1.2.2).此時係數了⑷=9 S{x)，其中是水道的截面積，g是重力加速度，w{x)對應著靜止時水道自由面的寬度.利用分離變量法也可轉化為同樣的SL問題.
1.3桿的軸向振動與扭轉振動問題
桿(或梁）的軸向振動問題具有相當大的工程意義，如飛機、汽車、火箭等受到
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